110 高等数学重点难点100讲 第35讲秦物中值定理(3) 利用泰勒公式证明不等式 例1设1m(z2=1,且(x)>0,试证:f(x)≥x 证从分析题目的条件入手由limf(x)=1,知mf(x)=0 r·0 又由∫(x)的连续性知:f(0)=limf(x)=0. 由导数定义知,f()= lim f(x)=f(0)=1 x-0 写出f(x)在x=0处的泰勒展开式: f(x)=f(0)+f(0)x+x2f()=x+2x2P()(在0与x之间) 2≥0,P"()>0,·2x()≥0,于是,f(x)≥x 分析总结例1我们可以看出用泰勒公式证明函数不等式的思路分为三步: 第一步:将f(x)展开成n(n为奇数,n+1为偶数)阶泰勒公式形式: f(x)=f(x0)+f(xo)(x-x0)+…+ (x-x。)” f(n+1)(日) (x-x0)”记为 P(x)+r(x) (n+1) 在上式中由于n+1为偶数,故恒有(x-x0)1>0成立,注意:选择展开点x=x0是 证题成功的关键,如例1,关于x=0处的信息量最大:我们推出f(0)=0,f(0)=1从而在 x=0处展开f(x)得到的表达式最简便 第二步:f+)(4)>0(或f(+1)()<0)恒成立的结论已由题设给出,或可由f1(x) 的形式推导出,如例1.“門"(x)>0恒成立”作为已知条件已给出 第三步:结论:当f+)()>0时,余项Rn(x)>0,从而f(x)>P(x);当f()<0 时,余项Rn(x)<0,从而f(x)<Pn(x).如例1,尸"()>0,于是f(x)>P(x)=x 例2已知f(x)在(a,b)内存在,且恒有f"(x)≥0,又点x1,x2,…,xn∈(a,b).试证: x1+x2+…+x|<f(x1)+f( +f(x) ≤ 证点x0=十2十“在x1,…,x的最大值与最小值之间从而x∈(ab)就 在点x处将f(x)展为一阶泰勒公式形式 f(x)=f(x)+f(xo)(x-x)+y"(6) (x-x0)2≥f(x)+f(x)( 2! 把x=x1,x2,…,xn分别代人上式得 f(r)>f(ro)+f'(ro)(x: -To) f(rx)>f(xo)+f(ro)(2-To) fc)>f(xo)+f(ro)(I-Io 上述n个等式两边相加得∫(x1)+f(x2)、+…+f(x)≥n(x)+
第35讲泰勒中值定理(3) 111 f(xo)[(x1+…+xn)一nx。] 注意到x1+…+xn-nx=0,得f(x1)+f(x2)+…f(xn)≥nf(x), 即 x+…+x≤f(x)+…+f(xn) 例3若∫(x)在(0,1)二阶可导,且有最大值1,最小值0,试证:在(0,1)内至少有一点 6,使f"(6)>2. 证设在x1∈(0,1)处,f(x)取到最大值f(x1)=1,则f(x1)=0. 设在x2∈(0,1)处,f(x)取到最小值f(x2)=0,则f(x2)=0,比较x1,x2两点处的信 息量知:选择在x=x2处展开f(x)将得到更为简便的展开式: f(x)=f(x)+P(x2)(x-x2)+P((x-x2=P(x-x2)(7在x与x2之间) 将x=x1代入上式得 1=f(x1)= f() (x1-x2)2<()(因|x1-x2<1,在x1与x2之间), 即有￡∈(0,1),使f()>2. 例4设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且|f(x)≤a,∫"(x)≤b,其中a,b都是非 负常数,试证:对任c∈(0,1),有|f(c)≤2a+ 证题设条件中f(x)二阶可导,一般可考虑用二阶泰勒屐开式,本题要证f(c)≤ 2a+自然联想到f(x)在x=c点的泰勒展式,所以任意指定c∈(0,1),在x=c处展 开f(x)得: f(x)=f(c)+f'(c) )+f() (在x与c之间,0≤x≤1) (35.1) 将x=0,x=1分别代入(35.1)式得 f(0)=f(c)+f(c)(-c)+f"(1)(-c)2,(0<<c), (35.2) f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+tf(2)(1-c),(c<5<1), (35.3) (35.3)式-(35.2)式得 f(1)-f(0)=f(c)+2f(2)(1-c)-1 f"(1)c2, (35.4 由(35.4)式结合已给条件得 f()|≤f(1)+|f(0)1+b[(1-c)2+c2]≤2a+2[(1-c)+c], b 而g()=-Q+在0,1上的最大值为1最小值为去,故|厂()≤20+2 二、利用泰勒公式判定方程根的存在性 例5设∫(x)在[a,+∞)上可微分两次,f(a)>0,f(a)<0,f(x)<0,试证方程 f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个根 证因为(x)<0,所以f(x)单调减少.从而f(x)<f(a)(当x>a时),又因 为f(a)<0故f(x)<0,从而知f(x)单调减少 故f(x)=0若有根则在[a,+∞)内只能有一个根
112 高等数学重点难点100讲 注意到f(a)>0,下面利用泰勒公式证明存在x∈(0,+∞),使f(x0)<0 在x=a处展开∫(x),得 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+()(x-a)2(a<5<x), 因邝()<0,(x-a)2>0,故f(6)(x-a)2<0. 故f(x)<f(a)-af(a)+f(a)·x 令x→+∞,由于f(a)<0,所以有f(a)-af(a)+f(a)x→-∞,更有f(x)→-∞ 所以存在x∈(0,+∞),使∫(x0)<0 由连续函数的介值定理知,f(x)=0在(0,x)C(0,+∞)内有一根. 例6设f(x)在(-∞,+∞)内2n阶可导,且f2n(x)>0,当k为奇数时,f(0)< 0,当k为偶数时,f)(0)>0,(k=0,1,2,…,2n-1),试证方程f(x)=0无负实根 证在x=0处展开f(x),得 f(x)=f(0)+f(0)x+m(0)x+“(2n-Dx21+ (2n-1)(0) f2n)(6x)x2(0<6<1). 2! 由已给条件知:当x<0时,f(x)>0恒成立,故f(x)在(一∞,0)内无零点 例7设f(x)是n次多项式:f(x)=a0+a1x+…+anx(an≠0),且f(x0)=f(x) 小∵=f"(x)=0,(x)≠0(m<n-1),试证x=x0是方程f(x)=0的m 证由已给条件,显然应在x=x。处展开f(x),得 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+ f+(x) +1) … (m+1)! (x-x0)m+1+… n m+1) (m+1)!(m+2) (x-x0)+ f”( n I m+1) m+2) )+… (m+1)!(m+2)! 则f(x)=(x-x0)m+)g(x)(g(x0)≠0),故x=x是f(x)的m+1重零点