128 高等数学重点难点100讲 第40讲极值与最值(2) 利用极值与最值证明不等式 利用极值与最值证明不等式的方法基本上与第38讲证法相似,不过这里与所作的辅助 函数F(x)比较的不是函数在区间的端点值,而是极值与最值 例1试证:当x>0时,x>sinx 证设f(x)=x-sinx,从而f(x)=1-cosx≥0(等号在x=2kx,k=1,2,… 处成立).所以f(0)=0为f(x)在[0,+∞)上的最小值.故当x>0时,f(x)>0,即x > sinx 例2试证:x-ax≤1-a(x>0,0<a<1) 证设∫(x)=x-ax-(1-a),则f(x)=ax°1-a=a(x-1-1). 令f(x)=0,得惟一驻点x=1,又当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)< 0,从而f(1)=0是f(x)在(0,+∞)内的极大值也是最大值.即有 ax-(1-a)≤f(1)=0,或x-ax≤1-a,(x>0,0<a<1) 例3试证:1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2(-∞<x<+∞) 证设f(x)=1+xln(x+√1+x2)-√1+x2,求导数得 尸(x)=ln(x+√1+x2)+ =ln(x+√1+x2), 令f(x)=0解得惟一驻点x=0,又"(x) ∴f(0)=0是极小值也是f(x)的最小值. 即对任x∈(-∞,+∞),有f(x)≥f(0)=0,即原不等式成立 例4试证:对一切正整数n,恒有:1≤vn≤y3 1,y3分别是数列{yn}的第一项与第三项·为证不等式,考察函数y=x在(0, ∞)内的取值规律 求导得y=(=)=,1,令y=0得惟一驻点x=c 当0<x<e时,y>0,x>e时,y<0故x=e是y的极大也是最大值点·于是 1<√2<e,e>y3>y4>…>yn 又2=2}=8,3=3=9÷,所以2<3,从而3是{vn}的最大值 同时注意到:当x>e时y=x2单调减少,且limx=1(参看第36讲),从而 vn}的最小值是1.故对一切正整数n有: ≤vn≤v3 小结用极值法证不等式的解题过程一般为:(1)欲证当x∈[a,b时,f(x)≥c(或≤ ),只需求f(x)在[a,b上的最小值m(或最大值M),且证m≥c(或M≤c 2)欲证x∈[a,b]时,y(x)≥中(x)(或≤x)),只需令f(x)=gx)-(x),在[a
第40讲极值与最值(2) 129 b]上证明f(x)≥0(或∫(x)≤0) (3)当f(x)≥0(或尸(x)≤0)且等号只在[a,b]内孤立点成立时,则f(x)单调增(或 f(x)单调减),无极值,此时,f(b)和f(a)(或f(a)和∫(b))分别是最大、最小值 例5证明对一切m>0,n>0和0≤x≤,恒有 0≤sin"rcos"x≤ n2 2 证设f(x)=sin"cos"x,对x求导,得 f(x)=nsin"2os+-msin+1os°x=sin"os-x(mcox-msnx) =sin"1cos"-1x(√ n cost+√ m sinr)(√ n cosIT-√ m sinr) sin"-lxcosm-Ix( cosr+-vm sinx)·( -cosT + m sinx)·(n+m) sin"-lrcosm-Ir(sinacosx cosasinx)(sinacosr -cosasinx ).(n+ m) =sin"xos"-lx·sin(a+x)·sin(a-x)·(n+m) (其中 ina cosa Nm+n 当0≤x≤万时,由于snx≥0,cosx≥0,故f(x)≥0.而当x=0,x=2时,(x) 0,它是∫(x)的最小值 当x=a时,f(x)=0;当x<a时,f(x)>0;当x>a时,f(x)<0,故当x=a时 f(x)取最大值,而 f(a)=sin"acos"a(m +m)' m #m) 2· (m+n)2 所以当0≤x≤时, 0≤sin" TCOS J≤ n2m 2 (m+n) 、利用极值与最值判定方程根的存在性 例6研究方程e-|x+2|=0的实根个数,并确定其存在区间 解设f(x)=c2-|x+2,则f(x)=(+x+2,x<-2 e 1 分段求导得 f(x)= 显见 f(-2-0)=f(-2+0)=e2=f(-2) ∫(-2)=lim(e+1)=e-2+1, 2)=lim(e-1)=e-2-1,∫(-2)≠厂+(-2) 所以∫(x)在x=-2处连续,但不可导(参看第31讲) 令f(x)=0得驻点x=0,所以函数f(x)可能的极值点为x=-2,0
130 高等数学重点难点100讲 在(一∞,-2)内,"(x)>0,在(-2,0)内,(x)<0,在(0,+∞)内,f(x)>0,所以 f(-2)=e2是f(x)的极大值,f(0)=-1是f(x)的极小值 同时特别要注意到下面两个极限: f(- oo)= lim f(x)= lim (er+x+ 2) f(+∞)=limf(x)=lim(e-x-2)=+∞ 综合以上讨论得: (1)在(-∞,-2]内,f(x)单调地从f(-∞)=-增加至f(-2)=2>0,曲 线f(x)与x轴只有一个交点即方程f(x)=0在(一∞,-2]内仅有一根 (2)在[一2,0内,f(x)单调地从f(-2)=>0减少至f(0)=-1<0,所以f(x) 有且仅有一个零点 (3)在[0,+∞)内,f(x)单调地从f(O)=-1<0增加至f(+∞)=+∞,所以f(x) 有且只有一个零点 所以,e-|x+2|=0有3个实根,分别属于(-∞,-2),(-2,0)及(0,+∞)内 例7方程lnx=ax(a>0)有几个实根? 解设f(x)=ax-lnx f(x)的定义域为(0,+∞),容易求出极限: f(0+0)=limf(x)=+∞,f(+∞)=limf(x)=+∞ 求导数得P(x)=a-1,由P(x)=0求得惟一驻点x=2 当x∈(0,)时,f(x)<0,所以f(x)在(0,]上单调减少; 当x∈(,+∞)时,"(x)>0,所以f(x)在[a,+∞)上单调增加 f(1)=1-ln1是f(x)的极小值也是最小值,即当x>0时,f(x)≥f(a) (1)当f()=1-1n<0,即当0<a<时,也就是当曲线f(x)的最低点(a f(-))处在x轴下方时,函数f(x)有两个零点; (2)当f()=1-1 1 =0,即当 时,也就是当曲线f(x)的最低点 恰好座落在x轴上时,函数f(x)有一个零点; (3)当f()=1-h1>0时,即a>时,也就是当曲线f(x)的最低点(,f() 处在x轴上方时,函数没有零点 总之,方程lnx=ax(a>0),当0<a<时有两个实根:1时有一个实根 当a>时没有实根