两类三阶线性微分方程的降阶条件

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1997.05.022 第19卷第5期 北京科技大学学报 Vol.19 No.5 1997年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.1997 两类三阶线性微分方程的降阶条件 李安贵吴檀 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要借助于自变量代换，得到了两种三阶线性微分方程的可降阶新类型. 关键词线性微分方程，降阶条件，通解 中图分类号0175 1研究对象 为了推出三阶变系数线性微分方程的2种新的可降阶类型，先给出1个引理. y""+p(x)y"+q(x)y'+r(x)y=0 引理1三阶变系数线性微分方程(1)经自变量代换 t=(x) (2) (这里函数在所论区间上具有连续的三阶导数，且p'(x)≠0)可化为方程 dydy、dy d++rp(0 (3) 其中， )=[p'《]-[3p"(x)+p(9p'(x] (4) )=[p(]-[p"(9+p(9p"()+q(xp(x] (5) 在式(4)，(5)中，x以t=p(x)之反函数代人， 2方程(1)的第1种可降阶新类型 引理2如果()，v()是二阶线性方程 2:”+Q(t)z=0 6 的基本解组，则三阶线性方程 dy dy r+220+2'0r=0 (7) 的通解为： =Cu+Cuv +Cv2 其中C,C,C,为任意常数（下同）. 1997.0301收稿 第一作者男46岁副教投

第1 9卷 第5 期 1 9 9 7年 1 0 月 北 京 科 技 大 学 学 报 JO u r n a l o f U n i v e r s i t y o f 反i e n c e a n d T e e h n o l o g y B e ij i n g V o l 。 1 9 N o . 5 ( k t . 1 99 7 两类 三 阶线性微分方程 的 降阶条件 李安贵 吴 檀 北京科技大学应用 科学学院 , 北京 10 0 0 8 3 摘要 借助 于 自变量代换 , 得到 了两种三阶线性微分方程的可降阶新类型 . 关键词 线性微 分方程 , 降 阶条件 , 通解 中图分类号 0 17 5 1 研究对象 、尸了. 苦 , 1. 了勺l `、`、 为了推 出三 阶变 系数 线性微 分方 程 的 2 种新 的 可降阶类 型 , 先 给 出 1 个 引理 . y `, ` + P (x) y ” + q (x) y ’ + r (x) y = 0 引理 1 三 阶变系数 线性 微分 方程 ( l) 经 自变 量代 换 t = 沪(x) (这里 函数 在所论 区 间上具 有连 续 的三 阶导数 , 且沪 ’ (x) 羊 0) 可化 为方 程 豁 (4)3(5) · A ()t 豁 · (B 。祭一(x) 〔, 、 x) , 一 , 一 0 其 中 , (A )t = 〔沪义x) ] 一 ’ 3[ 沪 ” (x) + (P x) 沪 ,( x) 〕 (B )t = 尹[ 义x) ] 一 ’ 沪[ “ ,( x) + 夕( x) 沪 ’笑x) + 叮( x) 沪义x) ] 在式 (4 ) , (5 ) 中 , x 以 t 二 沪 ( x) 之 反 函 数代 人 . 2 方程 (1 ) 的第 1 种可 降阶新类型 引理 2 如 果u( )t , v( )t 是 二 阶线性 方程 2 : `护 + Q( )t z = 0 ( 6 ) 的基本解 组 , 则三 阶线性 方程 的通 解为 : d争 _ _ _ _ 街 下下 + 2 9 ()t 不 + Q r (jt y = U Q l u ` = C l u Z + q u v + 砚 v , ( 7 ) 其中 C l , q , q 为任意 常数 (下 同 ) 19 9 7 一 0 3 一 01 收稿 第一作 者 男 4 6 岁 副教授 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1997. 05. 022

Vol.19 No.5 李安贵等：两类三阶线性微分方程的降阶条件 ·521· 证明：先证，uw,v2都是方程(7)的解.这里，只就y,=uv给出证明.事实上， y"+2Q(0y,+Q'(0y1=[u"v+3u"v'+3u'v"+uv"m+2Q(0[u'v+uv']+Q')uw= 22u"+0d+22w"+0J+[2u"+0d'+iu2w"+0=0 再证2，uv,v2的Wronsky行列式M)(在所论区间上)恒不为0.事实上，根据行列式的性 质，容易推得 u v )= 丰 u'v' 引理2的意义在于，求解三阶线性方程（⑦）的问题，可经求解二阶线性方程(6)得到解决 现在，来寻求一种自变量代换1=p(),以期方程(I)经过此代换可转化为方程(7)的形 式.为此，在方程(3)中，同时令 4A0=0及lp-5=B0 即： 3p"()+p(p'(=0 r(9 1dp"(9+p(9p"(因+q(9p'() (8) Lp'()=2 di [p'(x 以待定所需要的代换，并探讨()，q()及()之间应满足的条件. 由式(8)的第1式，可得所需要的自变量代换 1=p=∫er (9) 将其代入式(8)的第2式，又可得： e-引 qw-p-号inw] (10) 经整理化简，便得()，q()及r()之间应满足的条件： 2的=q因-p"(因-号rop'因-p+号(n 由此可得定理1. 定理1三阶变系数线性微分方程(I)经自变量代换 1=p(x)=e dx 可化为方程 d'y dy d+220+Q'(y=0 (其中，Q0=的-p'(的-号p]e,而x以1=p=∫end之反函数代

V o l . 19 N o . 5 李安贵等 : 两类三 阶线性微分方程 的降阶条件 证 明 : 先 证犷 , 。 ; , 矿都是 方程 (7) 的解 · 这里 , 只就 y , = 。 ; 给 出证 明 . 事 实上 , 夕1 ’ ` + Z Q( )t 夕 ` ; + Q , ( t) 夕1 = [ u ’ , , v + 3 u ` , v ` + 3 u ` v ’ , + 。 、 ’ , 〕 + ZQ( t) [ 。 , 、 + 。 v , ] + Q , ( l) 。 、 - 告 : 2一 + 。( 。 · 〕 , · + 告 · 〔2一 + 。 (。 · 〕 , + 号 〔2一 + 。 (。 · 】一 + 号 一 【Z v ” + Q( t) v』= 0 再证 “ , , 。 v , v Z 的 w or ns ky 行列 式 峨x) (在所 论 区 间上 ) 恒 不 为 0 . 事 实上 , 根据 行列式 的性 质 , 容易 推得 羊 O ,、 , 。 一 引 … 理 2 的意义 在 于 , 求 解三 阶线性 方程 现 在 , 来 寻求 一种 自变 量 代换 t = 以x) , 式 . 为 此 , 在 方程 (3 ) 中 , 同时令 (7 ) 的问题 , 可经求 解 二 阶线性方 程 (6) 得到解 决 . 以 期方 程 ( l) 经过 此 代 换可 转 化 为 方程 ( 7) 的形 (A O = 0 及 (r x) 〔沪 ,( x) ] 一 ’ 二 工刀 , (。 2 一l2 { ’ 沪期 + 」 L L甲 Lx) , P (x) 沪 ` (x) = 0 票「些丝业单华零里业竺{ ( 8 , ~ L L尹 气x) 」 」 以待定所 需要 的代换 , 并 探 讨尸(x) , q( x) 及 (r x) 之 间应 满足 的条件 . 由式 ( 8) 的第 1 式 , 可得 所需 要 的 自变量 代换 t = 沪(x) ( 9 ) 将其 代 人式 ( 8) 的第 2 式 , 又可 得 : r (x) e ] p (劝dx = 工旦「 2 d t L ( q (x) 一 J e 一 争 p (x) 、 一 告 , , (x) 一 香 , 2 (x) ) ·番`一山 1 ( 10 ) 经整理 化 简 , 便饰(x) , q( x) 及 (r x) 之 间应满 足 的条 件 : 2 (x)r 一 、 , x() 一 粤 , ” x() 一 寻x()P , , x() 一 共 : ax() 、 寻 , x() 。 x() 〕 J ` I J 由此可 得定 理 1 . 定 理 l 三 阶变系 数线 性微分 方程 l( )经 自变 量代换 一 尹(力 一 丁 一 如 p (· ha _ _ 咖 + ZQ()t而 + Q r ( )t y = U t 。 一y 飞 f . 一dd 可化 为方 程 (其 中 , Q ()t 一 喜r 、 (、 一 粤 , , (、 一 县 , 2 (、 1 。枷 \ , 而 二 以 , 一 , (、 一 卜 一 知ha 之 反 函 数代 乙 L J , J J

·522· 北京科技大学学报 1997年第5期 人)的充分必要条件是： p”因+2p(时b(网+号p)-9(1=3g()-2认1 (11) 证明：方程(1)经代换式(9)可化为方程 正+ig对-p-出 d'y di+r(x)elrary =0 (12) 必要性：设方程(12)即为（⑦），则由式(10)可知，条件(11)成立. 充分性：设条件(11)成立，则由 e-r-pr-p-p+号9]e [go-p'-音pr+号ot-pr因-号pt)]小e= o肉-号iw]e-c闲-pow-ptem] 即知方程(12)就是方程(7). 定理1及引理2表明，满足条件(11)的三阶线性方程(1)是1种可降阶方程，其通解可由 二阶线性方程(6)，即： (13) (其中x以1=p(的=厂eatd的反函数代人)的基本解组给出. 例求解y"+”1中少 8x 1+少=0 解：易知所给方程满足条件(11).由 [u网-吉p四-号]e=-41+2的=-40+2g0: 2 可知（传之相应的）方程(0)为普-(1+2g动：=0.即：华sc9° dF-ec12=0.此二阶线性方程 的基本解组为u=secl,v=sinl+1sect,故所给方程的通解为： y=C,sec't+C,sect (sint tsect)+C(sint t sect)= C,(l++C,x+(l+)Darct+十x+(0+r7acg对 3方程(1)的第2种可降阶新类型 引理3如果z(④，乙()是二阶线性方程 ”-2A'(0)z=0 (14)

北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 7年 第 5期 人 ) 的充 分 必要条 件是 : 2 p ” ( x) + 翔 ( x) 沙 ` (Xj + 天 p ` (x) 一 q (xj J = j l q ’ ( x) 一 艺r ( x) J , ( 1 1) 证明 :方 程 l( ) 经代 换 式 (9) 可 化为方 程 豁 · 〔、 (x) 一 合 , , (x) 一 昌 , 2 (x) 」·蚤`一“ 宗一 (x) · `一 夕 一 。 ( 12 ) 必要 性 : 设方程 ( 1 2) 即为 ( 7) , 则 由式 ( 10) 可 知 , 条 件 ( 1 1) 成立 . 充分 性 : 设条件 ( 1 ) 成立 , 则 由 犷 ( x) · , 一告l 。 , (x) 一 合 , , , (x) 一 号 , ( x) , , ( x) 一 去 , 3 ( x) + 号 , (x) 、 (x) 1 · ` 尸 (一 告l ( 、 , (x) 一 合 , , , (x) 一 普 , (x) , , ( x) 卜 号 : (x) ( 、 (x) 一 合 , , (x) 一 号 , 2 (x) ) 」 · `一 合最! (。 (x) 一 告 , , (x) 一 香 , 2 ( x) ) ·号, · “ dx」 ·奋` ·`” “ 一 告录l ( 、 (x) 一 奋 , , (x) 一 号 , 2 (x) ) ·号` ·`” dx」 即知 方程 ( 1 2 )就是方 程 (7 ) 定理 1及 引理 2 表 明 , 二 阶线性 方程 (6 ) , 即 : d Z z 满足 条件 ( n ) 的三 阶线性 方程 (l ) 是 1 种 可降 阶方 程 , 其 通解 可 由 壹} a(x) 一 合 , x,() 一 昌 , x()z 1渺气 一 。 ( 13 ) (其 中 x 以 t 二 抓 x) 号` p (” “ 诫 反 函数 代人 )的基 本解 组给 出 . 例 : 求解夕川 + 了一万 y 十 X 2 l + 犷 8 X ( l + 犷) , y = 0 一时 ! x 一6 解 : 易 知所给 方程 满足条 件 ( 1 ) . 由 f 一 上「竺上 dx _ 「 dx = le ’ ` ’ + ` 山 二 ! 丁二一一万 = a er gt x, J J l 十 X 「 、 (、 一 粤 , , (、 一 县 , 2 (、 1 。蚤` 刀 “ 一 4 ( 1 + 2、 ) 一 4 (卜 2 堪 2。 , L J , 」 _ . 、 , _ _ , , 、 、 _ _ _ _ _ 、 , d Z z _ 。 _ 叫 知 ( 与 乙相 压 的 少万性 ( l 习 刀 : 下下 一 ( 1 + Z gt 一 t) 艺 = U, Q f 。 。 d Z z 以p : 二 , 不 . 一 d 犷 ( s e e t) “ S C C t : = 0 . 此 二 阶线性 方程 的基 本解 组 为 “ = s ce t , 、 = is nl 十 t s e t , 故 所给 方程 的通解 为 : , = C l s e e Z t + 矶 s e c r ( s i n r + t s e e l) + 砚( s i n r + t s e e )t ’ - e . (卜 、 ) + : 【· + ( 1 + 、 ) aer 、 x] + 击 〔 · + (卜 、 )一、 x] 2 3 方程 (1 ) 的第 2 种可降阶新类型 引理 3 如果 几()t , 几 ()t 是二 阶线 性方程 : ` , 一 Z A ` ( t) z = 0 ( 14 )

Vol.19 No.5 李安贵等：两类三阶线性微分方程的降阶条件 ·523· 的基本解组，则三阶线性方程 d'y dy +[4"(2=0 (15) 的通解可表为： C+C)ei di+C (16) 证明：注意到方程(15)可变形为： [陪+《小-2o[密+《0]-0 从而，有： dy +A《0y台2) z"(0-2Ar(0z0=0 由此即知引理3成立， 现在，再寻求1种自变量代换，以期方程(1)经此代换可转化为方程(15)的形式.为此，在 方程(3)中，令：0=0，(0[p(]-3=A"(0-2A(0A"(0即： p"()p(xp”(为+q(对p'(对=0 (17) r()[p'(]3=A"()-2AgA(0 (18) 首先，在(17)式中令p()=v,并取 q(=p'( (19) 则有v+p小=0，解之，可得v=eCc咖dx+G这里，要求C+C≠0.为 简单，不妨取C=0,C2=1,于是得到： 1=p(e-fnos dx (20) 这就是所需要的自变量代换，再将其代人(4)式，又可得到 A(i)=-2p(elpodx (21) 及 4网=股0-20'闭+pe咖 (22) A"()-2A)A'()=-2[p"()+8p(x)p()+6p(]e3a (23) 在(2I),(2),(23)3式中，均以：=p()=e1r之反函数代人.最后，由式(18)又可得： r()=-2[p"()+8p(9p'()+6p(] (24) 反之，也可以证明：满足条件(19)及(24)的三阶线性方程(1)经变量代换(20)能化为形如 (15)的三阶线性方程 dr2p()elra dy dF-2"(y+8p(p'()+6p(aey=0 (25) 综上所述，可得定理2

V 0 1 . 19 N d . 5 李安贵等 : 两类三 阶线性微分方 程的降阶条件 的基 本解 组 , 则 三 阶线性 方程 豁 · (A 。豁 · A[ ’,( 。 一 2 (A。 , 、 )t] , 一 。 , 一 `一 IJ ( c l· l + : : ) · `一 d ! + c3 」 ( 15 ) 的通 解可 表为 : ( 16 ) 证明 : 注 意到方 程 ( 1 5) 可 变形 为 : 刹祭 · x()A 刁 一 ZA tI<,[ 祭 · ()tA * ] 一 0 , 从而 , 有 : {业 、 { “ ` ’ t z ” (t) (A t) y 会 戏t) 一 Z A义t) 式t) = 0 由此 即知 引理 3 成立 . 现在 , 再寻 求 1 种 自变 量代 换 , 以 期方程 ( l) 经此 代换 可转 化为 方程 方 程 (3 ) 中 , 令 : 筑 t) 二 o , r (t) 〔沪 ,( x) ] 一 ’ = 才 , (t) 一 2 (A t) 才 (t) 即 : 沪 ` , , (x) 夕(x) 沪 ” ( x) + 叮(x) 沪 ` (x) = 0 (r x) 〔沪 ’ ( x) ] 一 , = ’A ,( x) 一 2 (A )t 才 ()t 首先 , 在 ( 17) 式 中令沪 ,( x) = , , 并 取 q (x) = P ’ (x) ( 1 5) 的形式 . 为此 , 在 ( 17 ) ( 18 ) 则 有 〔一 + (x)P ’v] 一 。 , 解 之 , 可得 一 俩 。 } 。丁 ·俩 。 、 + : 」 · 这 里 , 要 求。 : + c : ( 19 ) 羊 0 . 为 简单 , 不 妨取 C , 二 0 , q = 1 , 于是 得到 : 、 ., 护、户. 0 1 .1 ù`, 、了. 、 .、2 ` 一 , (x) 一 J 一 `一、 这就是所 需要 的 自变量 代换 . 再 将其代 人 ( 4) 式 , 又可得 到 (A t) 一 助x() e 扭抽 及 , , (、 一 芸瓮一 2。 , (x) + , 2 (x) , e Z` · `” dx A ` ()rt 一 2 (A )t A ’ ()t = 一 2助 ` 义x) + 8P x() ’(P x) + 6P ’ x() ] e’ xn()j dx “ ( 2` ) , ( 2 2 ) , (2 3 ) , 式 中 , 均 以 才 一 , (、 一 丁 。 一 ` p ( % 之反 函 数代人 · 最 后 , (2 2 ) (2 3) 由式 ( 18) 又可 得 : r (x) = 一 2助 , , ( x) + 8P ( x) 夕 ’ ( x) + 6P , (x) ] (2 4 ) 反之 , 也 可 以 证 明 : 满足 条件 ( 19) 及 ( 2 4) 的三 阶线性 方程 l( ) 经变 量代 换 ( 2 0) 能 化为 形如 l( 5) 的三 阶线性 方程 d加 _ _ _ , _ 。 月具加 _ r _ _ _ ` _ ` _ _ , _ _ , , f _ , 诵 月 _ 二万 一 动(x) eJ “ 回 “ 七万 一 2切 r r( x) + 印(x) P ` (x) + 如 “ (xj J e J ’ 八一y = 0 U 不 Q l ( 2 5 ) 综上 所述 , 可 得定 理 2

·524· 北京科技大学学报 1997年第5期 定理2三阶变系数线性微分方程(1)经自变量代换(20)化为形如(15)的方程(25)的充 分必要条件是p()二阶连续可微且g()=p'()及()=-2[p"()+8(p'()+6p(]同时 成立 由定理2及引理3，可得下述推论. 推论 如果z(⑨，32（④是二阶线性方程 +40'()+p'(eino%z=0 dz (其中x以：=p()=e-x之反函数代入)的基本解组，则三阶线性方程 y"+p(y"+p'(y-2[p"()+8p(xp'(对+6p(xly=0 的通解为： y=e-le[J(C+Cz)elodt+Cll-len d 其中A()由(21)式给出. 参考文献 1卡姆克E著.常微分方程手册.张鸿林译.北京：科学出版社，1977 2王柔怀，伍卓群编.常微分方程讲义.北京：人民教育出版社，1963 3钱样征编.常微分方程解题方法.长沙：湖南科学技术出版社，1984 4吴檀，车克健.关于三阶线性微分方程的可积新类型.数学的实践与认识，1995(4)：77~85 5吴檀，李安贵.三阶线性微分方程的若干新的可积类型.北京科技大学学报，1995,17(3)：289-293 6吴檀，杨晓明.一类三阶线性微分方程的可积条件.工科数学，1995,11(2)：252-254 Descending Order Condition of Two Forms of Third-order Linear Differential Equations Li Angui Wu Tan Applied Science School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Application of the transformations of independent variable,descending order conditions of two new forms of third-order linear differential equations with variable coefficients are obtained. KEY WORD linear differential equation,descending order condition,general solutions

· 52 4 · 北 京 科 技 大 学 学 报 19 97 年 第5期 定 理 2 三 阶变 系数线性 微分方 程 (l )经 自变量 代换 ( 2 0) 化 为形 如 ( 15) 的方程 ( 2 5) 的 充 分必 要条件是 (P x) 二 阶连续 可微且 q( x) = p ` (x) 及(r x) = 一 2助 ` , x() + 助( x)r ` (x) + 助 ’ (x) ]同时 成立 . 由定 理 2 及 引理 3 , 可得下 述推论 . 推论 如果 z1( t) , 几 ()t 是 二 阶线性方 程 矛z 丽 + 4 IP ’ ( x) + p ` (x) j “ ` ’ “ 一、 一 U (其 中 · 以 ` 一 , (。 一 丁一 ` p (。 ` 之 反 函数代人 ,的基本解 组 , 贝“三 阶线性方程 夕” , + 尸(x) 夕” + 夕 ` (x) 夕 一 2助 ” (x) + 8P (x) 尸` ( x) + 助 ’ ( x) ]少 = o 的通 解为 : , 一 。 一 I` 。` [J ( q z , + q 几) e l 戏。勺 , + q ]I , 一 r 。 一 、 。 其中 (A )t 由 (21 )式 给出 . 参 考 文 献 1 卡姆克 E 著 . 常微分方程手册 . 张鸿林译 . 北京 : 科学 出版社 , 19 7 7 2 王柔怀 , 伍卓群编 . 常微分 方程讲义 . 北京 : 人 民教育出版社 , 19 63 3 钱祥征编 . 常微分方程解题方法 . 长沙 : 湖南科学技术 出版社 , 1 9 84 4 吴植 , 车克健 . 关于三阶线性微分方程 的可积新类型 . 数学的实践 与认识 , 1 99 5(4) : 7 7一 85 5 吴植 , 李安贵 . 三阶线性微 分方程 的若 干新的可积类型 . 北京科技 大学学报 , 19 95 , 1 7 (3) : 2 89 一 2 93 6 吴植 , 杨晓明 一类三阶线性微分方程 的可积条件 . 工科数学 , 1 995 , 1 1 (2) : 2 52 一2 54 D e s e e n d i n g o r d e r C o n d it i o n o f T w o F o mr s o f T h ir d 一 o r d e r L i n e ar D i fe r e n t i a l E qu at i o n s 刀 肋g ul’ 川班 aT n A P Pl i e d cS i e nce S e h o l , US T B e ij igD , B e ij i lg l 0 0() 8 3 , C h i an A B S TR A C T c o n id it o n s o f e oc if e i e n ts a re K E Y W O R D A PP li c iat o n o f hte t l习Jl s of rm iat o ns o f i n d e pe n d e n t v iar ab l e , de s e e n d i n g o dr e r wt o ne w fo mr s o f iht 略 o dr e r line ar id fe er n it al e q au it o ns w i ht v iar abl e O b iat ne .d line ar id fe er n it al e q au it o n , de s e e n id gn o 川e r e o n d iit o n , g e ne 间 s o l u it ons