例如单位时间内单位体积的放射性物质放射出的粒子个数[Rutherford,1910]推导：把体积为V的某块放射性物质分割成n等份△V=.假定(i)对每一小块单位放射出一个粒子的概率为p,p=μ△V,μ>0,放射出两个以上粒子的概率为0.（i）各小块是否放射出粒子相互独立记X=单位时间内单位体积的放射性物质放射出的粒子个数，P=μ=A, A=μV.)p*(1 - p)n"-kP(X = k) =n!) (1-)"-K(n -k) ()n(n-1)(n-(k-1)(1-)"(1-)k!nk1kl通常可以对时间分割，每小份△t时间内发生的次数至多为1，发生的可能性大小与△t成比例，不同小时间段是否发生相互独立，那么P(X=k）满足泊松分布.引理6.2.若npm→入>0,n→00,则-)ph(1 - pn)n-k b(k; n,pn) = (1-1证明。记入n=npn，Pn=，则入h" n(n - 1) (n -(k - 1)) (An1LHS=k!nkn故只需(1-)n→e-而[(1-)"-(1-)n=-→0.口6.2独立性定义6.4.称离散型r.V.X和Y独立，若VT.yER，X=!和Y=y独立更一般地称Xi,,X相互独立，若VaER有[Xi=ai],.，Xn=n}相互独立.评论. fxr(r,y) = fx(r)fy(y), 即 P(X =r,Y =y) =P(X =r)P(Y = y)2
例如单位时间内单位体积的放射性物质放射出的粒子个数 [Rutherford, 1910]. 推导: 把体积为 V 的某块放射性物质分割成 n 等份 ∆V = V n . 假定 (i) 对每一小块单位放射出一个粒子的概率为 p, p = µ∆V, µ > 0, 放射出 两个以上粒子的概率为 0. (ii) 各小块是否放射出粒子相互独立. 记 X = 单位时间内单位体积的放射性物质放射出的粒子个数, p = µ V n = λ n , λ = µV . P(X = k) = n k p k (1 − p) n−k = n! k!(n − k)! λ n k 1 − λ n n−k = λ k k! n(n − 1)· · ·(n − (k − 1)) nk 1 − λ n n 1 − λ n −k n→∞ −→ λ k k! e −λ . 通常可以对时间分割, 每小份 ∆t 时间内发生的次数至多为 1, 发生的可能性 大小与 ∆t 成比例, 不同小时间段是否发生相互独立, 那么 P(X = k) 满足泊 松分布. 引理 6.2. 若 npn → λ > 0, n → ∞, 则 b(k; n, pn) = n k p k n (1 − pn) n−k → λ k k! e −λ . 证明. 记 λn = npn, pn = λn n , 则 LHS = λ k n k! 1 − λn n n n(n − 1)· · ·(n − (k − 1)) nk 1 − λn n −k . 故只需 (1 − λn n ) n → e −λ . 而 1 − λn n n − 1 − λ n n ≤ λn − λ n n = |λn − λ| → 0. 6.2 独立性 定义 6.4. 称离散型 r.v. X 和 Y 独立, 若 ∀ x, y ∈ R, {X = x} 和 {Y = y} 独立. 更一般地, 称 X1, · · · , Xn 相互独立, 若 ∀ xi ∈ R 有 {X1 = x1}, · · · , {Xn = xn} 相互 独立. 评论. fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y), 即 P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y). 2
引理6.3.对离散型r.V.X和Y，有X,Y独立台 Fxr(r,y)=Fx(r)Fy(y), Vr,yER台P(X ≤r,Y ≤y) =P(X≤r)P(Y≤y)证明。”→”：7P(X≤r,Y≤y) =P(X = Li,Y =yi)iaiSr,j:yj≤yZP(X = T,Y = yi)i:ai<r,j:yiSyP(X =r) P(Y = y)i:Ti<a:yjSy=Fx(r)Fy(y)."个"(1)F(r,y) = Fx(r)Fy(y),(2)F(r- 0,y) = Fx(a- 0)Fy(y),(3)F(r,y - 0) = Fx(r)Fy(y - 0),(4)F(r- 0,y- 0) =Fx(a-0)F(y- 0).于是(1) - (2) (3) - (4)=P(X = r,Y ≤) - P(X = r,Y <y)=P(X =r)P(Y ≤y) - P(X =r)P(Y <y)=P(X = r)P(Y = y)口例6.4.Poisson翻转.投币一次,P(H)=p,记X=H的次数,Y=T的次数,则X,Y不独立,因为0 = P(X =Y = 1) + P(X = 1)P(Y = 1) = p(1 -p).若投N次,N~P(),则X,Y独立3
引理 6.3. 对离散型 r.v. X 和 Y , 有 X, Y 独立 ⇔ FX,Y (x, y) = FX(x)FY (y), ∀ x, y ∈ R ⇔ P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y). 证明. ”⇒”: P(X ≤ x, Y ≤ y) = X i: xi≤x, j : yj≤y P(X = xi , Y = yj ) = X i: xi≤x, j : yj≤y P(X = xi , Y = yj ) = X i: xi≤x P(X = xi) ! X j : yj≤y P(Y = yj ) =FX(x)FY (y). ”⇐”: F(x, y) = FX(x)FY (y), (1) F(x − 0, y) = FX(x − 0)FY (y), (2) F(x, y − 0) = FX(x)FY (y − 0), (3) F(x − 0, y − 0) = FX(x − 0)FY (y − 0). (4) 于是 (1) − (2) − ((3) − (4)) =P(X = x, Y ≤ y) − P(X = x, Y < y) =P(X = x)P(Y ≤ y) − P(X = x)P(Y < y) =P(X = x)P(Y = y). 例 6.4. Poisson 翻转. 投币一次, P(H) = p, 记 X = H 的次数, Y = T 的次数, 则 X, Y 不 独立, 因为 0 = P(X = Y = 1) ̸= P(X = 1)P(Y = 1) = p(1 − p). 若投 N 次, N ∼ P(λ), 则 X, Y 独立. 3
证明P(X = r,Y =y)=P(X = r,Y = y,N = r+y)-P(X =T,Y=yIN=T+y)P(N =T+y)Ar+y+p)y-(r+y)(pA)。-Ap(1 - p))e-α(1-P),r!y!(pA)-XpP(X =a)=P(X =r,Y =y) =a!y=000(>(1 -p))90-入(1p)ZP(X= r,Y=y)= IP(Y = y) =y!=0口定理6.4.设X,Y是离散型rv.,X,Y独立,9,h:R→R函数,则g(X),h(Y)独立评论.g(X),h(Y)是r.v.证明。(g(X)=a,h(Y)=b)=Uz:9(a)=a, y:h(g)=b{X=,Y=g)为互不相容的可数并于是ZP(X = r)P(Y = y)P(g(X) = a, h(Y) =b) =r: g(r)=a, y: h(y)=bZP(X =rP(Y =y)(y:h(y)=b2: g(r)=a=P(g(X) = a)P(h(Y) = b)口7数学期望定义7.1.离散型r.V.X的分布列pk=IP(X=k)，当kPk绝对收敛时，称该级数和为X的数学期望（Expectation)，记为EX例7.1.投资理财，10万元理财1年，收益记为X方案1为买股票-0.30.7方案ⅡI为存银行，年利率2%.4
证明. P(X = x, Y = y) =P(X = x, Y = y, N = x + y) =P(X = x, Y = y | N = x + y)P(N = x + y) = x + y x p x (1 − p) y λ x+y (x + y)!e −λ = (pλ) x x! e −λp ((1 − p)λ) y y! e −λ(1−p) . P(X = x) = X∞ y=0 P(X = x, Y = y) = (pλ) x x! e −λp . P(Y = y) = X∞ x=0 P(X = x, Y = y) = (λ(1 − p))y y! e −λ(1−p) . 定理 6.4. 设 X, Y 是离散型 r.v., X, Y 独立, g, h: R → R 函数, 则 g(X), h(Y ) 独立. 评论. g(X), h(Y ) 是 r.v. 证明. {g(X) = a, h(Y ) = b} = S x: g(x)=a, y : h(y)=b {X = x, Y = y} 为互不相容的可数并. 于是 P(g(X) = a, h(Y ) = b) = X x: g(x)=a, y : h(y)=b P(X = x)P(Y = y) = X x: g(x)=a P(X = x) X y : h(y)=b P(Y = y) =P(g(X) = a)P(h(Y ) = b). 7 数学期望 定义 7.1. 离散型 r.v. X 的分布列 pk = P(X = xk), 当 P k xkpk 绝对收敛时, 称该级数和 为 X 的数学期望 (Expectation), 记为 EX. 例 7.1. 投资理财, 10 万元理财 1 年, 收益记为 X. 方案 I 为买股票, X 7 −2 P 0.3 0.7 方案 II 为存银行, 年利率 2%. 4
解.方案I,EX=7×0.3-2×0.7=0.7.方案I,X=10×2%=0.2.口从期望角度选方案I，但风险大！引理7.1.X为离散型r.V,9：R一→R为函数，则Eg(X)= g(a)f(r), f(n)=P(X =z),r: f(r)>0只要该级数绝对收敛证明.记Y=g(X),则U (X=r)fr(y) = P(g(X) = y) = Pr:g(r)=y= f(r).r: g(a)=y于是EY =yfr(d) = f(r)g(r)yy r:g(r)=y=EE1(m)(g)f()g(r)Y(Z1(m)() (n)g(r)N=f(r)g(r).25
解. 方案 I, EX = 7 × 0.3 − 2 × 0.7 = 0.7. 方案 II, X = 10 × 2% = 0.2. 从期望角度选方案 I, 但风险大! 引理 7.1. X 为离散型 r.v., g : R → R 为函数, 则 Eg(X) = X x: f(x)>0 g(x)f(x), f(x) = P(X = x), 只要该级数绝对收敛. 证明. 记 Y = g(X), 则 fY (y) = P(g(X) = y) = P [ x: g(x)=y {X = x} = X x: g(x)=y f(x). 于是 EY = X y yfY (y) = X y X x: g(x)=y f(x)g(x) = X y X x 1{g(x)}(y)f(x)g(x) = X x X y 1{g(x)}(y) ! f(x)g(x) = X x f(x)g(x). 5
Lec8 Note of ProbabilityXuxuayame日期：2024年3月19日评论.实际上也可以考虑分布列XriEnPf(r1)f(rn)g(X)g(r1)g(n)..定义7.2.对离散型r.v.X定义k阶矩（k-thmoment)为m&=EXkmi即为期望，通常记为μ.k阶中心矩（k-thcentralmoment)为0k=E(X -μ)k02称作方差（Variance)，通常记为Var(X)：定义标准差(Standardvariance）为VVar(X).注意Var(X)= (r-μ)°f(r)= (r?-2μr+μ)f(r)a: f(r)>0a:f(r)>0= f(a)-2μ f(r)+μ?f(a)a: f(r)>0r: f(r)>0z: f(r)>0= E(X2) - 2μ? + μ?= E(X) - E(X).例7.2.考察Bernoulli分布有EX=pE(X2)=p,Var(X)=p-p2=p(1-p)0X1-pD1
Lec8 Note of Probability Xuxuayame 日期：2024 年 3 月 19 日 评论. 实际上也可以考虑分布列 X x1 · · · xn P f(x1) · · · f(xn) g(X) g(x1) · · · g(xn) 定义 7.2. 对离散型 r.v. X, 定义 k 阶矩 (k-th moment) 为 mk = EX k . m1 即为期望, 通常记为 µ. k 阶中心矩 (k-th central moment) 为 σk = E(X − µ) k . σ2 称作方差 (Variance), 通常记为 Var(X). 定义标准差 (Standard variance) 为 σ = √ Var(X). 注意 Var(X) = ∑ x: f(x)>0 (x − µ) 2 f(x) = ∑ x: f(x)>0 (x 2 − 2µx + µ 2 )f(x) = ∑ x: f(x)>0 x 2 f(x) − 2µ ∑ x: f(x)>0 xf(x) + µ 2 ∑ x: f(x)>0 f(x) = E(X 2 ) − 2µ 2 + µ 2 = E(X 2 ) − E 2 (X). 例 7.2. 考察 Bernoulli 分布 有 EX = p, E(X2 ) = p, Var(X) = p − p 2 = p(1 − p). X 1 0 P p 1 − p 1