Lec5 Note of ProbabilityXuxuayame日期：2024年3月11日评论.分布函数必是某I.V.所对应的概率分布函数，评论.VER，F(-O)存在，证明与(i)类似1,≥0,.若P(X=c)=1,称X=C例4.4.常值r.v.X(w)=0,VwE2,F(r)(0,>0a.s.例 4.5. Bernolli r.v. P(X = 1) = p, P(X = 0) = q, p,q E [0, 1], p + q = 1, F(r) =>1,1.q，0≤a<1,0,<0例4.6.AEF,定义示性函数1A():Q→R1.WEA,1A(w) :(o, w±A1.α≥1,F(α)=1-P(A), 0≤<1, :0,2<0引理4.2. (i) P(X >)=1-F(r).(i) P(r<X ≤y) = F(y) - F(r).(iii) P(X=r) = F()-F(r-O)证明.(ii)取An=(r-<X≤r)()P(X = r) = P (lim An) = lim P(An)= limF(m)-F(α-)=F(n) -F(α-0)口评论.设，iEI都是2上的-代数，则niei,也是α-代数1
Lec5 Note of Probability Xuxuayame 日期：2024 年 3 月 11 日 评论. 分布函数必是某 r.v. 所对应的概率分布函数. 评论. ∀ x ∈ R, F(x − 0) 存在, 证明与 (iii) 类似. 例 4.4. 常值 r.v. X(ω) ≡ 0, ∀ ω ∈ Ω, F(x) = 1, x ≥ 0, 0, x > 0 . 若 P(X = c) = 1, 称 X = c a.s. 例 4.5. Bernolli r.v. P(X = 1) = p, P(X = 0) = q, p, q ∈ [0, 1], p + q = 1, F(x) = 1, x ≥ 1, q, 0 ≤ x < 1, 0, x < 0 . 例 4.6. A ∈ F, 定义示性函数 1A(·): Ω → R, 1A(ω) = 1, ω ∈ A, 0, ω /∈ A , F(x) = 1, x ≥ 1, 1 − P(A), 0 ≤ x < 1, 0, x < 0 . 引理 4.2. (i) P(X > x) = 1 − F(x). (ii) P(x < X ≤ y) = F(y) − F(x). (iii) P(X = x) = F(x) − F(x − 0). 证明. (iii) 取 An = {x − 1 n < X ≤ x} ↘ {x}, P(X = x) = P limn→∞ An = limn→∞ P(An) = limn→∞ F(x) − F x − 1 n = F(x) − F(x − 0). 评论. 设 Fi , i ∈ I 都是 Ω 上的 σ-代数, 则 T i∈I Fi 也是 σ-代数. 1
评论.1,2是-代数，但iU2不一定是α-代数Fi= [0,2, A, AC], F, = [0,2,B,BC], A,B EiUF2,但 An B FiUF2令C:=[(a,b]l la,bER], C= [[a,b) /a,b eR],那么B(R)：=所有包含C的最小g-代数=所有包含C的-代数的交=所有包含C的最小g-代数这里依次设为A1,A2,A3,那么有A1=A1nA2=A2VbeR, (0)=n(6-]-n[6,6+)→[a, b) = (a, 6] u[a] n[b]c eA1,(a, b] = [a,b) U(b]n (a]c e A2.引理4.3.设X为 (2,F,P)上的 r.V,则VBEB(R),有X-1(B)=wE2X(w)EB) eF.证明.记A=[AACR，X-1(A)EF),目的是证A为α-代数那么因为A中包含了所有的（a,bl[a,b),由B(R)的定义可知,B(R)CA只要证(i)REA;(ii) AEA-AC EA;(ii)AnEA,n=1,2,..-UnAnEA这是因为X-1(R) =(-00 <X <0) EFX-1(A)=(X EA) EF-(XEA)C E9- X-1(A) =(X EAC) =(X EA]C EF) =Ux-1(An) =U(X e An) =E9口评论.该引理表明r.v.定义中[X≤}可等价替换为(X<c]EF引理4.4.若X,Y都是（2,，P）上的r.V,则cXX+YXY也都是r.V.证明. 当 c>0, [cX ≤r} =X≤] E当c=0,显然当c<0, [cX ≤] =[X ≥] e.2
评论. F1, F2 是 σ-代数, 但 F1 ∪ F2 不一定是 σ-代数. F1 = {∅, Ω, A, AC}, F2 = {∅, Ω, B, BC}, A, B ∈ F1 ∪ F2, 但 A ∩ B /∈ F1 ∪ F2. 令 C := {(a, b] | a, b ∈ R}, Ce = {[a, b) | a, b ∈ R}, 那么 B(R) := 所有包含C的最小σ-代数 = 所有包含C的σ-代数的交 = 所有包含Ce的最小σ-代数. 这里依次设为 A1, A2, A3, 那么有 A1 = A1 ∩ A2 = A2. ∀ b ∈ R, {b} = \∞ n=1 b − 1 n , b = \∞ n=1 b, b + 1 n ⇒[a, b) = (a, b] ∪ {a} ∩ {b} C ∈ A1, (a, b] = [a, b) ∪ {b} ∩ {a} C ∈ A2. 引理 4.3. 设 X 为 (Ω, F, P) 上的 r.v., 则 ∀ B ∈ B(R), 有 X−1 (B) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B} ∈ F. 证明. 记 A = {A | A ⊂ R, X−1 (A) ∈ F}, 目的是证 A 为 σ-代数. 那么因为 A 中包含了所有的 (a, b], [a, b), 由 B(R) 的定义可知, B(R) ⊂ A. 只要证 (i) R ∈ A; (ii) A ∈ A ⇒ AC ∈ A; (iii) An ∈ A, n = 1, 2, · · · ⇒ S n An ∈ A. 这是因为 X −1 (R) = {−∞ < X < ∞} ∈ F. X −1 (A) = {X ∈ A} ∈ F ⇒ {X ∈ A} C ∈ F ⇒ X −1 (A C ) = {X ∈ A C } = {X ∈ A} C ∈ F. X −1 [ n An ! = [ n X −1 (An) = [ n {X ∈ An} = ( X ∈ [ n An ) ∈ F. 评论. 该引理表明 r.v. 定义中 {X ≤ x} 可等价替换为 {X < x} ∈ F. 引理 4.4. 若 X, Y 都是 (Ω, F, P) 上的 r.v., 则 cX, X + Y, XY 也都是 r.v. 证明. 当 c > 0, {cX ≤ x} = {X ≤ x c } ∈ F. 当 c = 0, 显然. 当 c < 0, {cX ≤ x} = {X ≥ x c } ∈ F. 2
[X +Y ≤r) =n-((X ≤rn) U[Y≤a -rn))i.e. (X +Y >) =Um-((X >rn)nY>-rn)),这里r为Q的一个排序.注意到X+Y>rn+(α-rn)=a,从而RHSCLHS; 而 X>-Y -Ern EQs.t. X>rn>-Y -LHSC RHS.由XY=区+Y"=(X-，只需证X?为r.v.即可而o.T<0,EF.[x?≤r] =-V≤X≤VE,≥0口4.2离散型，连续型r.v定义4.3.X只取至多可数个不同的值12,*，k，，记pk=P(X=ak),则称X为离散型r.v.(Discreter.v.),pk，k=1,2,.为X的分布列评论.对离散型r.v.Pk=1,其分布函数F(a）=k：<Pk，在=a1,2,处有跳跃，跳的高度分别为P1,P2，….XC2CkCPP1p2Pk例 4.7. Bernoulli r.v. p,q e[0, 1], p +q= 1X定义4.4.对r.vX若存在非负可积函数f(r)s.t.F(α)=P(X≤）=f(u)du,则称X为连续性r.v.（Continuousr.v.)，f称为X的概率密度函数(Densityfunction)评论。 (i) Vro, E(o+-F(c) = ro+ (u)du.A若ro为f(r)的连续点,则P(ro < X ≤ro +△r)→f(ro)Ari.e.P(ro<X≤ao+△a)=f(ro)△c.这是密度函数的直观解释(i）密度函数改变有限多个点的取值后仍为密度函数(ii) limr→+ F(r) = 1 =→ J+ f(u)du = 1.VaR, P(X=a)≤P(a-<≤a+)= JI f(u)du→0(iv）当X为连续型r.v.时,F()为连续函数当Ena,0≤F(r)-F(an)=Jf(u)du0ie.F(an)F(r),可见左连续(v）若除有限个点之外，F(c)存在且连续，则X为连续性r.v.且F(a)即为密度函数3
{X + Y ≤ x} = T∞ n=1({X ≤ rn} ∪ {Y ≤ x − rn}) i.e. {X + Y > x} = S∞ n=1({X > rn} ∩ {Y > x − rn}), 这里 ri 为 Q 的一个排序. 注意到 X + Y > rn + (x − rn) = x, 从而 RHS ⊂ LHS; 而 X > x − Y ⇒ ∃ rn ∈ Q s.t. X > rn > x − Y ⇒ LHS ⊂ RHS. 由 XY = (X+Y ) 2−(X−Y ) 2 4 , 只需证 X2 为 r.v. 即可. 而 {X 2 ≤ x} = ∅, x < 0, − √ x ≤ X ≤ √ x, x ≥ 0 ∈ F. 4.2 离散型, 连续型 r.v. 定义 4.3. X 只取至多可数个不同的值 x1, x2, · · · , xk, · · · , 记 pk = P(X = xk), 则称 X 为 离散型 r.v. (Discrete r.v.), pk, k = 1, 2, · · · 为 X 的分布列. 评论. 对离散型 r.v., P k pk = 1, 其分布函数 F(x) = P k : xk≤x pk, 在 x = x1, x2, · · · 处有 跳跃, 跳的高度分别为 p1, p2, · · · . X x1 x2 · · · xk · · · P p1 p2 · · · pk · · · 例 4.7. Bernoulli r.v. p, q ∈ [0, 1], p + q = 1. X 0 1 P q p 定义 4.4. 对 r.v X 若存在非负可积函数 f(x) s.t. F(x) = P(X ≤ x) = R x −∞ f(u)du, 则称 X 为连续性 r.v. (Continuous r.v.), f 称为 X 的概率密度函数 (Density function). 评论. (i) ∀ x0, F(x0+∆x)−F(x0) ∆x = 1 ∆x R x0+∆x x0 f(u)du. 若 x0 为 f(x) 的连续点, 则 P(x0 < X ≤ x0 + ∆x) ∆x → f(x0) i.e. P(x0 < X ≤ x0 + ∆x) ≃ f(x0)∆x. 这是密度函数的直观解释. (ii) 密度函数改变有限多个点的取值后仍为密度函数. (iii) limx→+∞ F(x) = 1 ⇒ R +∞ −∞ f(u)du = 1. ∀ a ∈ R, P(X = a) ≤ P(a − 1 n < x ≤ a + 1 n ) = R a+ 1 n a− 1 n f(u)du → 0. (iv) 当 X 为连续型 r.v. 时, F(x) 为连续函数. 当 xn ↗ x, 0 ≤ F(x) − F(xn) = R x xn f(u)du ↘ 0 i.e. F(xn) ↗ F(x), 可见左连续. (v) 若除有限个点之外, F ′ (x) 存在且连续, 则 X 为连续性 r.v. 且 F ′ (x) 即为密度函数. 3
(vi)X为连续型r.v.台F为绝对连续函数.注意F(α)连续不意味着X为连续型r.v..例4.8.2=[0,2),=B(R)n2,P(A)=,[AI是Lebesgue 测度,令X(w)=w,X:2→R,Y(w)=w2,则X,Y都是r.v.且1,X≥2元，1,9 ≥ 4元2,，E[0, 2m),F(0) =%Fx(r) =(,ye[0,4元2), .0,<00,y<oy E (0, 4元2), [0,2元),2元4元Vg密度函数fx(c)fr(y)=[0,(0,elseelse4
(vi) X 为连续型 r.v.⇔ F 为绝对连续函数. 注意 F(x) 连续不意味着 X 为连续型 r.v. 例 4.8. Ω = [0, 2π), F = B(R) ∩ Ω, P(A) = |A| 2π , |A| 是 Lebesgue 测度, 令 X(ω) = ω, X : Ω → R, Y (ω) = ω 2 , 则 X, Y 都是 r.v. 且 FX(x) = 1, X ≥ 2π, x 2π , x ∈ [0, 2π), 0, x < 0 , FY (y) = 1, y ≥ 4π 2 , √y 2π , y ∈ [0, 4π 2 ), 0, y < 0 . 密度函数 fX(x) = 1 2π , x ∈ [0, 2π), 0, else , fY (y) = 1 4π √y , y ∈ (0, 4π 2 ), 0, else . 4
Lec6 Note of ProbabilityXuxuayame日期：2024年3月12日例4.9.是否所有1.v.都为离散型或者连续性？答案是否定的因为对Fi为离散型r.v.的分布函数,F2为连续型r.v.的分布函数,F(c)=αiFi(a)+α2F2()，αE(0,1)，2-,Qi=1便不属于二者1,y>1≥0即恒为零的常值 r.v.与如 F(r) =量+%，yE[0,1],对F(a)1T<00.[0,y<o>1F2(r) =，[0,1],有F()=F()+F2()0,<0Question:构造r.v.Ys.t.Y的分布函数为FTE (0,1)投币，若H则Y=0,若T则设连续型r.v.X有密度函数f(e）=[0,elseY=X,那么对任意yE(0,1)11P(Y ≤y) = P(Y ≤y / H)P(H) +P(Y ≤y T)P(T) =2×1+×y2评论.补充分布函数F的性质(i)F单调→F至多可数个不连续点(ii）实变Lebesgue分解定理：F=QFa+Q2F+Q3Fs,这里Fa为离散型r.V.,F。为连续型r.V.,F为奇异型r.V.例4.10.r.v.X的密度函数f()=ce-，ER.问常数c?以及X落在(O,1)上的概率解f(u)du = 1e-dr=1→c21?C:2b1
Lec6 Note of Probability Xuxuayame 日期：2024 年 3 月 12 日 例 4.9. 是否所有 r.v. 都为离散型或者连续性? 答案是否定的. 因为对 F1 为离散型 r.v. 的分布函数, F2 为连续型 r.v. 的分布函数, F(x) = α1F1(x) + α2F2(x), αi ∈ (0, 1), ∑2 i=1 αi = 1 便不属于二者. 如 F(x) = 1, y > 1 1 2 + y 2 , y ∈ [0, 1] 0, y < 0 , 对 F1(x) = 1, x ≥ 0 0, x < 0 即恒为零的常值 r.v. 与 F2(x) = 1, x > 1 x, x ∈ [0, 1] 0, x < 0 , 有 F(x) = 1 2 F1(x) + 1 2 F2(x). Question: 构造 r.v. Y s.t. Y 的分布函数为 F. 设连续型 r.v. X 有密度函数 f(x) = 1, x ∈ (0, 1) 0, else , 投币, 若 H 则 Y = 0, 若 T 则 Y = X, 那么对任意 y ∈ (0, 1), P(Y ≤ y) = P(Y ≤ y | H)P(H) + P(Y ≤ y | T)P(T) = 1 2 × 1 + 1 2 × y. 评论. 补充分布函数 F 的性质. (i) F 单调 ⇒ F 至多可数个不连续点. (ii) 实变 Lebesgue 分解定理: F = α1Fd + α2Fc + α3Fs, 这里 Fd 为离散型 r.v., Fc 为连续型 r.v., Fs 为奇异型 r.v. 例 4.10. r.v. X 的密度函数 f(x) = ce− |x| b , x ∈ R. 问常数 c? 以及 X 落在 (0, 1) 上的概率. 解. ∫ +∞ −∞ f(u)du = 1 ⇒c2 ∫ +∞ 0 e − x b dx = 1 ⇒c = 1 2b . 1