西安电子科技大学：《分析力学》课程教学资源（讲稿）第三章 能量原理及其应用

dλ= Ndx EA d N2dx dWN 2 2EA dx 1=M Mdx d0= P El M 1 M'dx 2 2EI

N N dλ dWN Nd 2 1  Ndx d EA   2 2 N dx EA  dθ dx M  1 M dθ ρ dx d   Mdx EI  2 1 2 2 M M dx dW Md EI    EI M   1

Yo Q dn-yd-tds KO 剪应力不是均匀分布， G 故乘一个系数K KO'dx 2GA 计算K 单位体积能量 02(S)2 一一比能 2y= 2G 2G12b2 ∫w:=jw=小g芳=g 其中 矩形K=1.2

Q dη γ0 0 0 d dx dx G      KQ dx GA  剪应力不是均匀分布， 故乘一个系数K 2 1 2 2 Q KQ dx dW Qd GA    计算K 单位体积能量 ——比能 G u 2 2 1 2     2 2 2 2 2 ( ) GI b Q Sz   Ib QS z    2 2 2 2 ( ) ( ) 2 z Q Q S A dW udV dA dx GA I b        2GI b 2 2 KQ dx GA   其中 dA I b S A K z    2 2 2 ( ) 矩形K=1.2

dW内=dWN+dWM+dWo 职Σr在Σ旷Σ GA *平面问题（未考虑扭矩） 若把弹性体看成许多微段，它所接受的功等于内力在微段 变形位移上所作的功，即内力实功 另一方面，若把弹性体看成整体，则它所接受的功等于外力 在位移上所做的功，即外力实功。由此可得出实功原理

N M Q dW dW dW dW 内          2 2 2 1 1 1 2 2 2 N x dx M x dx kQ x dx W EA EI GA 内          * 平面问题（未考虑扭矩） 另一方面,若把弹性体看成整体，则它所接受的功等于外力 在位移上所做的功，即外力实功。由此可得出实功原理。 若把弹性体看成许多微段，它所接受的功等于内力在微段 变形位移上所作的功,即内力实功

三、应变能 W外=UW内=U∴.W外=W内=U 弹性体的实功原理：外力在位移上所做实功等于内力 在相应的变形上所作实功，两者又都等于储存在弹性 体内的应变能。 u-*g在24gΣo8 公式说明 1)以弹性平衡状态作为应变能零点 2)适用于直杆或小曲率的曲杆

W U 内  三、应变能 W U 外  W = W 外 内  U       2 2 2 N x dx M x dx kQ x dx 弹性体的实功原理：外力在位移上所做实功等于内力 在相应的变形上所作实功，两者又都等于储存在弹性 体内的应变能。 公式说明 1）以弹性平衡状态作为应变能零点 2）适用于直杆或小曲率的曲杆       2 2 2 1 1 1 2 2 2 N x dx M x dx kQ x dx U EA EI GA         

杆的应变能（只有轴向载荷和位移）： N(x)=4o(x)=EAE(x)=E4 du(x) dx -i(

杆的应变能（只有轴向载荷和位移）：     2 2 1 1 N x dx d   u x             du x  N x A x EA x EA dx      1 1     2 2 N x dx d U EA dx EA x u x d            