对于MANOVA问题（g个正态总体均值检验问题）：渐近分布Xi,Xmiid~N,(u,z)，样本均值和方差：x,Sid~N,(u。2)样本均值和方差：x。,S[Xgo.,Xgng0= (μ1..μg,2),O。= (μ=μ, =...=μg,2)·原假设成立时，极大似然估计为：。=x，2。=B+W)/n.没有限制时，极大似然估计：=x,k=1.….g,2=W/n，max L(0)[Wp/2L(。,2)[2m/2Qe00A=L(,.,pg,2)2。n/2B+W p/2max L(0)QeO[WA*[B+WI由Wilks定理，-2log(A)=-nlog(A')=-nlo6
6 { ,., , }, { . , }. ,., ~ , , , . ,., ~ , , , MANOVA 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 g g g gn p g g g n p iid N S iid N S g g μ μ μ μ μ x x μ x x x μ x 样本均值和方差： 样本均值和方差： 对于 问题（ 个正态总体均值检验问题）：/ 2 / 2 / 2 0 / 2 1 0 0 0 0 | | | | | ˆ | | ˆ | )ˆ (ˆ ,., ˆ ,) ˆ (ˆ , max ( ) max ( ) / ˆ ˆ , 1,., ,( )/ , ˆ ˆ , 0 n n nn g k k B WW L L LL k g W n B W n μ μ μ θθ μ xμ x θθ 没有限制时，极大似然估计： ， 原假设成立时，极大似然估计为： | | | | * B WW 渐近 分布 由 定理， * (2 1) 。 | | | | Wilks 2log( ) log( ) log g p d B WW n n
令Wilks检验统计量（WilksLambda）One-waydet(W)MANOVA:A*Wilks'检验det(W + B)则 H,成立时 T=-nlog^'-→xig-1)p， n→00当g>2且p>时：当T≥×(g-1（α）时，在α水平下否定原假设。Barle修正: T, =-(n-1-P+)log A*→xig-)pO注意：当g=1,2或p=1时，没必要应用上述近似检验。g=2时,-2logΛ=nlog(1+T2 /(n +nz-2)，其中T2_n(区,-,)TS,(,-,)服从cF分布(精确分布)np=1时，B/W服从cF分布(精确分布)
7 One-way MANOVA： Wilks’检验 当 且 时：当 （ ）时，在 水平下否定原假设。 则 成立时 ， 令 检验统计量 ） 2 ( 1) 2 ( 1) * 0 2 1 log det( ) det( ) * Wilks (Wilks' Lambda p g g p d g p T H T n n W B W )log * , 2 Bartlett ( 1 2 2 ( g 1) p d p g T n 修正： 1 / ( ). ( ) ( ) ( ) 2 2log log(1 /( 2)) 1,2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 时， 服从 分布 精确分布 服从 分布 精确分布 时， ，其中 注意：当 或 时，没必要应用上述近似检验。 p B W cF S cF n n n T g n T n n g p p x x x x T
g=2时，两样本HotellingT2检验与Wilks检验1-1对应，单正态总体情形也是如此：例1.设x,,,iid~N,(μ,)，H。μ=μo(μ己知),则Wilks"等价于?;1AT2 = n(x-μo)Ts-'(x-μo)1+T?/(n-1)=(x,-)(x,-x),原假设下,=(x,)(x,-o),故证：分解Z(x, -μo)(x,-μo)T-(x, -x)(x, -x)T +n(X-μo)(x-μo),-之(区, - X)(x, - x)Tdetdet(2)所以人Hdet(2.)[2(α, X)(x, ) + (- 0)(-μ0)detdet(s)1det(S+n(x-μo)(x-μo) /(n-1)det(I, +n(x-μo)(x-μo)s-" /(n-1)111+n(x-μo)s-(x-μo)/(n-1) 1+T2 (n-1)8
8 ( ) ( ) 1 /( 1) 1 1. ,., ~ , , : , Wilks 0 1 0 2 2 * * 2 1 0 0 0 x μ x μ x x μ μ μ μ T n S T n n iid Np H T ， T 例 设 （ 已知）则 等价于 ： 𝑔 = 2时，两样本Hotelling T2检验与Wilks检验1-1对应，单正态总体 情形也是如此： . 1 /( 1) 1 1 ( ) ( )/( 1) 1 det ( )( ) /( 1) 1 det ( )( ) /( 1) det det ( )( ) ( )( ) det ( )( ) ) det(ˆ ) det(ˆ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , 1 ˆ ( )( ) , 1 ˆ 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 * 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 n S n T n S n n I n S n S n n n n p i i n i i i n i i i n i i i n i i i n i i i n i x μ x μ x μ x μ x μ x μ x x x x x μ x μ x x x x x μ x μ x x x x x μ x μ x x x x x μ x μ T T T T T T T T T T T 所以 分解 ， 证： 原假设下， 故
因为B.W都是矩阵，WilksA*其它检验1I WI^*=IW+BI|I,+BW-"以行列式度量B相对于W是否接近0，其它检验方法还有：?Lawley-Hotelling trace : tr(BW-l)·Phillai trace:tr(B(B+ W)-')·Roy'slargestroot(最大特征根)：max(W(B+W)-l)
9 Roy'slargest root( ): (W(B W) ) Phillai trace : (B(B W) ) Lawley- Hotelling trace : (BW ) B W 0 | I BW | 1 | W B| | W | * B,W Wilks * 1 max 1 1 1 最大特征根 以行列式度量 相对于 是否接近 ，其它检验方法还有： ， 因为 都是矩阵， tr tr p 其它检验