1.2紧双曲曲面上Laplace特征函数我们还可以在曲面上考虑台球系统的类比，即测地流系统。此时一个典型的混沌测地流的例子是负曲率曲面，特别地，我们可以考虑双曲曲面，即曲率恒为-1的曲面M=H2/T
1.2 紧双曲曲面上 Laplace 特征函数 我们还可以在曲面上考虑台球系统的类比，即测地流系统。此时 一个典型的混沌测地流的例子是负曲率曲面，特别地，我们可以 考虑双曲曲面，即曲率恒为 −1 的曲面 M = H2/Γ
紧双曲曲面上Laplace特征函数的半经典测度Rudnick-Sarnak量子唯一遍历猜想：半经典测度μ一定是Liouville测度；前人的工作主要考虑半经典测度的“炳”的下界：S*M上所有不变测度u的炳都介于0和1之间：测地流的一条闭轨道给出的。测度的炳为0：Liouville测度是唯一炳为1的不变测度。Bourgain-Lindenstrauss在算术曲面的情形给出“Hecke形式”对应的Laplace特征函数的半经典测度炳的下界，由此Lindenstrauss给出了算术量子唯一遍历猜想的证明。Anantharaman，Anantharaman-Nonnenmacher，Riviere利用“炳不确定性原理”给出一般负曲率流形上半经典测度的下界。对双曲曲面，炳至少是1/2。Dyatlov-J.，Dyatlov-J.-Nonnenmacher利用“分形不确定性原理”给出suppμ=S*M
紧双曲曲面上 Laplace 特征函数的半经典测度 I Rudnick–Sarnak 量子唯一遍历猜想：半经典测度 µ 一定是 Liouville 测度； I 前人的工作主要考虑半经典测度 µ 的“熵”的下界： I S ∗M 上所有不变测度 µ 的熵都介于 0 和 1 之间； I 测地流的一条闭轨道给出的 δ 测度的熵为 0； I Liouville 测度是唯一熵为 1 的不变测度。 I Bourgain–Lindenstrauss 在算术曲面的情形给出“Hecke 形 式”对应的 Laplace 特征函数的半经典测度熵的下界，由此 Lindenstrauss 给出了算术量子唯一遍历猜想的证明。 I Anantharaman，Anantharaman–Nonnenmacher，Rivière 利用 “熵不确定性原理”给出一般负曲率流形上半经典测度熵的 下界。对双曲曲面，熵至少是 1/2。 I Dyatlov–J.，Dyatlov–J.–Nonnenmacher 利用“分形不确定性 原理”给出 supp µ = S ∗M
主要结论及进一步应用定理[Dyatlov-J.2018]如果M是一个紧双曲曲面，aEC(TM)，并且asM丰0，则存在C,ho>0，只依赖于M和a使得对任意的hE(O,ho）以及uEH(M),Clog(1/h) (-2△ - 1)ull/2.Iull/2≤COph(a)ullz2+h一些推论/应用■半经典测度一定满足SuPPμ=S*M;特征函数的“控制”：所有特征函数在给定开集上L2范数有一致下界；>Galkowski-Zelditch：特征函数在曲线上的“控制”：所有特征函数在给定曲线上的Cauchy初值的L2范数有一致下界：线性Schrodinger方程的“能观性”与“能控性”；阻尼波方程能量的指数衰减
主要结论及进一步应用 定理 [Dyatlov–J. 2018] 如果 M 是一个紧双曲曲面，a ∈ C∞ c (T ∗M)，并且 a|S∗M 6≡ 0，则 存在 C, h0 > 0，只依赖于 M 和 a 使得对任意的 h ∈ (0, h0) 以及 u ∈ H 2 (M)， kukL2 ≤ Ck Oph (a)ukL2 + C log(1/h) h k(−h 2∆ − 1)ukL2 . 一些推论/应用 I 半经典测度一定满足 supp µ = S ∗M； I 特征函数的“控制”：所有特征函数在给定开集上 L 2 范数有 一致下界； I Galkowski–Zelditch：特征函数在曲线上的“控制”：所有特 征函数在给定曲线上的 Cauchy 初值的 L 2 范数有一致下界； I 线性 Schrödinger 方程的“能观性”与“能控性”； I 阻尼波方程能量的指数衰减
分形不确定性原理量子物理中Heisenberg不确定性原理说明一个粒子的位置和动量不能同时以任意的精度被确定。在调和分析中，这一结论可以用（酉）半经典Fourier变换给出：1e-ix-EFhp(S) = 7x)dx(2元h)1/2 JRhI1xp()l/=/F ho(E) l/2 ≥ 2:换言之，与Fho不能同时集中在0附近
分形不确定性原理 量子物理中 Heisenberg 不确定性原理说明一个粒子的位置和动 量不能同时以任意的精度被确定。在调和分析中，这一结论可以 用（酉）半经典 Fourier 变换给出： Fhφ(ξ) = 1 (2πh) 1/2 Z R e −ix·ξ/hφ(x)dx. kxφ(x)kL2 kξFhφ(ξ)kL2 ≥ h 2 . 换言之，φ 与 Fhφ 不能同时集中在 0 附近。 分形不确定性原理 则说明 φ 与 Fhφ 不能同时集中在一个“分形集”附近：如果 X, Y ⊂ [0, 1] 是两个分形集，则 k1X+[−h,h]Fh1Y+[−h,h]kL2→L2 ≤ Ch β . I X = Y = {0} 时，β = 1/2，这可以看作 Heisenberg 不确定 原理的另一个解释； I X = Y = [0, 1] 时，β = 0
分形不确定性原理量子物理中Heisenberg不确定性原理说明一个粒子的位置和动量不能同时以任意的精度被确定。在调和分析中，这一结论可以用（酉）半经典Fourier变换给出：1e-ix-EFhp()= 7(x)dx(2元h)1/2 JRhIx(x)/= / hp()/2 ≥ 2:换言之，与Fhp不能同时集中在0附近。分形不确定性原理则说明与Fh不能同时集中在一个“分形集”附近：如果X.YC[0.1]是两个分形集，则Il1 +[-h,h]-F 1 +[-h,l/2→L2 ≤ Chβ.X=Y={0]时，β=1/2，这可以看作Heisenberg不确定原理的另一个解释；>X=Y=[0,1]时，B=0
分形不确定性原理 量子物理中 Heisenberg 不确定性原理说明一个粒子的位置和动 量不能同时以任意的精度被确定。在调和分析中，这一结论可以 用（酉）半经典 Fourier 变换给出： Fhφ(ξ) = 1 (2πh) 1/2 Z R e −ix·ξ/hφ(x)dx. kxφ(x)kL2 kξFhφ(ξ)kL2 ≥ h 2 . 换言之，φ 与 Fhφ 不能同时集中在 0 附近。分形不确定性原理 则说明 φ 与 Fhφ 不能同时集中在一个“分形集”附近：如果 X, Y ⊂ [0, 1] 是两个分形集，则 k1X+[−h,h]Fh1Y+[−h,h]kL2→L2 ≤ Chβ . I X = Y = {0} 时，β = 1/2，这可以看作 Heisenberg 不确定 原理的另一个解释； I X = Y = [0, 1] 时，β = 0