第3卷第2期 管理科学学报 Vol.3 No.2 2000年6月 JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA Jun.2000 基于MCMC的金融市场风险VaR的估计 王春峰，万海辉，李刚 (天津大学管理学院：天津大学金融工程中心，天津300072) 摘要：针对现有VR计算中主流方法的缺陷，创新性地提出了一种基于马尔科夫链蒙特卡洛 (Markov Chain Monte Carlo,MCMC)模拟的VaR计算方法，以克服传统Monte Carlo模拟 的高维、静态性缺陷，提高估算精度.通过对美元国债的实证分析和计算，验证了MCMC方法 的优越性. 关键词：VaR:蒙特卡洛模拟：马尔可夫链蒙特卡洛模拟 中图分类号：0242.2 文献标识码：A 文章编号：1007-9807(2000)02-0054-08 0 引言 与传统的风险测量如B值相比，VaR的优点 在于其简明、综合性，它将市场风险概括为一个简 近二十年来，由于受经济全球化与金融自由 单的数字，便于高层管理者和监管机构理解.自 化、现代金融理论及信息技术进步、金融创新等因 80年代VaR首次被一些金融公司用于测量交易 素的影响，金融市场呈现出前所未有的波动性，金 性证券的市场风险后，目前VaR已成为商业银 融市场风险成为全球金融机构和监管当局关注的 行、投资银行、非金融公司、机构投资者测量市场 焦点.许多金融机构投入大量资源开发金融风险 风险的主流技术，大量基于VaR的风险测量软件 管理技术，特别是作为风险管理核心和基础的风 如J.P.Morgan公司的RiskMetrics系统已广泛 险测量技术近年来取得许多重要进展，其中VaR 投入应用：监管机构则利用VaR技术作为金融监 (Value at Risk)成为金融市场风险测量的主流模 管的工具，如《巴塞尔银行业有效监管核心原则》 型1.2】 及欧盟的资本充足度法令中，VaR被用于确定银 VaR是指在特定的持有期及置信度内，由于 行的风险资本金.此外，VaR还被金融机构用于 市场的负面波动而导致的证券组合的最大潜在损 确定市场风险的限额及评价绩效等方面 失.用数学公式来表示 然而，VaR实施中存在许多严重问题，主要 prob(△P>-VaR)=1-a (1) 表现在VaR的计算方面.VaR计算的关键在于 其中△P为证券组合在持有期△t内的损失， 确定证券组合价值变化的概率分布，而这个分布 VaR为置信水平a下处于风险中的价值. 主要由两个假定所决定：一是证券组合的价值函 例如，J.P.Morgan公司1994年年报披露， 数与市场因子间呈线性还是非线性关系：二是市 1994年该公司一天的95%VaR值为1500万美 场因子呈正态还是非正态分布.不同的假定，导致 元.其含义是指，该公司可以以95%的可能性保 不同的计算方法.目前常用的方法有-)：历史模 证，1994年每一特定时点上的证券组合在未来24 拟法、分析方法和蒙特卡洛模拟法. 小时之内，由于市场价格变动而带来的损失不会 历史模拟法直接根据市场因子的历史数据对 超过1500万美元. 证券组合的未来收益进行模拟，在给定置信度下 ①收稿日期：1999-01-08：修改日期：1999-10-18. 基金项目：国家自然科学基金重大项目(79790130)：霍英东青年教师基金：教育部跨世纪优秀人才基金：教育部优秀背年教师奖励基金：中 科院开放实验室基金资助项目. 作者简介：王春峰(1966-)，男（汉族），河北省人，博士，教授，博士生导师
基于 MCMC 的金融市场风险 VaR 的估计D 王春峰 万海辉 李 刚 ( 天津大学管理学院; 天津大学金融工程中心 天津 300072) 摘要: 针对现有 VaR 计算中主流方法的缺陷 创新性地提出了一种基于马尔科夫链蒙特卡洛 ( MarkOv Chain MOnte CarlO MCMC) 模拟的 VaR 计算方法 以克服传统 MOnte CarlO 模拟 的高维~ 静态性缺陷 提高估算精度. 通过对美元国债的实证分析和计算 验证了 MCMC 方法 的优越性. 关键词: VaR; 蒙特卡洛模拟; 马尔可夫链蒙特卡洛模拟 中图分类号: O242. 2 文献标识码: A 文章编号: 1007-9807( 2000) 02-0054-08 0 引 言 近二十年来 由于受经济全球化与金融自由 化~ 现代金融理论及信息技术进步~ 金融创新等因 素的影响 金融市场呈现出前所未有的波动性 金 融市场风险成为全球金融机构和监管当局关注的 焦点. 许多金融机构投入大量资源开发金融风险 管理技术 特别是作为风险管理核心和基础的风 险测量技术近年来取得许多重要进展 其中 VaR ( Value at Risk) 成为金融市场风险测量的主流模 型[1 2] . VaR 是指在特定的持有期及置信度内 由于 市场的负面波动而导致的证券组合的最大潜在损 失. 用数学公式来表示 plob( AP >- VaR) = 1 - O ( 1) 其 中 AP 为 证 券 组 合 在 持 有 期 At 内 的 损 失 VaR 为置信水平 O 下处于风险中的价值. 例如 J. P. MOrgan 公司 1994 年年报披露 1994 年该公司一天的 95% VaR 值为 1500 万美 元. 其含义是指 该公司可以以 95% 的可能性保 证 1994 年每一特定时点上的证券组合在未来 24 小时之内 由于市场价格变动而带来的损失不会 超过 1500 万美元. 与传统的风险测量如 B 值相比 VaR 的优点 在于其简明~ 综合性 它将市场风险概括为一个简 单的数字 便于高层管理者和监管机构理解. 自 80 年代 VaR 首次被一些金融公司用于测量交易 性证券的市场风险后 目前 VaR 已成为商业银 行~ 投资银行~ 非金融公司~ 机构投资者测量市场 风险的主流技术 大量基于 VaR 的风险测量软件 如 J. P. MOrgan 公司的 RiskMetriGs 系统已广泛 投入应用; 监管机构则利用 VaR 技术作为金融监 管的工具 如< 巴塞尔银行业有效监管核心原则> 及欧盟的资本充足度法令中 VaR 被用于确定银 行的风险资本金. 此外 VaR 还被金融机构用于 确定市场风险的限额及评价绩效等方面. 然而 VaR 实施中存在许多严重问题 主要 表现在 VaR 的计算方面. VaR 计算的关键在于 确定证券组合价值变化的概率分布 而这个分布 主要由两个假定所决定: 一是证券组合的价值函 数与市场因子间呈线性还是非线性关系; 二是市 场因子呈正态还是非正态分布. 不同的假定 导致 不同的计算方法. 目前常用的方法有[1-6] : 历史模 拟法~ 分析方法和蒙特卡洛模拟法. 历史模拟法直接根据市场因子的历史数据对 证券组合的未来收益进行模拟 在给定置信度下 第 3 卷第 2 期 2000 年 6 月 管 理 科 学 学 报 JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA VOl. 3 NO. 2 Jun. 2000 D 收稿日期: 1999-01-08; 修改日期: 1999-10-18. 基金项目: 国家自然科学基金重大项目( 79790130) ; 霍英东青年教师基金; 教育部跨世纪优秀人才基金; 教育部优秀青年教师奖励基金; 中 科院开放实验室基金资助项目. 作者简介: 王春峰( 1966-) 男( 汉族) 河北省人 博士 教授 博士生导师
第2期 王春峰等：基于MCMC的金融市场风险VaR的估计 -55- 计算潜在损失.它不需要对市场因子的统计分布 法，它将随机过程中的马尔科夫过程引入到蒙特 作出假设，但历史模拟法必须保留市场因子过去 卡洛模拟中，实现动态模拟（即抽样分布随模拟的 某个时期所有的历史数据，而且必须对证券组合 进行而改变).本质上，MCMC方法是使用马尔科 中每一个金融工具进行估价，计算量大. 夫链的蒙特卡洛积分.已知市场因子的历史数据， 分析方法是一种利用证券组合的价值函数与 实际上是已知变量的后验分布，要求的一些后验 市场因子间的近似关系、市场因子的统计分布（方 量如均值、方差、分位数可归结为对高维的后验分 差一协方差距阵)来简化计算的方法.分析模型可 布进行积分计算.具体来看，蒙特卡洛积分通过抽 分为两大类delta-类和gamma-类.在delta-类 样点{X,t=1,,n}来估计E[f(X)],其估算 中，证券组合的价值函数均取一阶近似，但不同模 公式为 型中市场因子的统计分布假定不同，如Garbade E[f(x]≈∑ (X) (1986)的delta-正态模型]中市场因子服从多元 (2) n-1 正态分布：J.P.Morgan(l994)的delta-加权正态 所以，由∫(X)的抽样均值可得到其总体均值.如 模型[幻中，使用加权正态模型(WTN)来估计市场 果抽样点{X}是独立的，则可以增加抽样次数n 因子回报的协方差矩阵：Hsieh(l993)的delta- 来达到所期望的准确度 GARCH模型[)]中，使用了GARCH模型来描述 般来讲，随机点X,来自于分布π(X),因此 市场因子.在gamma-类模型中，证券组合的价值 如何由分布π(X)得到随机点至关重要.MCMC 函数均取二阶近似，其中Wilson(1993)的 方法就是通过构造一个平稳分布为π(X)的马尔 gamma--正态模型[假定市场因子的变化服从多 科夫链来得到随机样本.假定要产生随机变量 元正态分布，而Fallon(1996)的gamma-GARCH {Xo,X,X2,…},则对任意t≥0的时刻，下一 模型使用多元GARCH模型来描述市场因子. 状态X+D来自于对分布P(X+D|X)的抽样， 分析方法简化了VaR的计算，但它要求市场因子 它只依赖于当前状态X,并不依赖于历史状态 必须服从正态分布、价值函数非线性程度低，而现 {Xo),X1),…,X-1}.这就是马尔科夫序列，其 实中经常无法满足这两个假定， 中P(·|·)称为转移核，它不依赖于时间t 针对分析方法在处理非线性证券组合时的缺 现在有一个问题是初始状态Xo对X)有什 陷，近年来蒙特卡洛模拟法成为学术界研究VaR 么影响.在给定Xo)而没有{X1),…,X-1)}的 计算的主流方法.但蒙特卡洛模拟法存在两个重 信息情况下，将X的条件分布记为P(X 要缺陷，其一是计算效率低，近年来许多工作集中 |X).在一般规律下，马尔可夫链将逐渐的忽略 在提高蒙特卡洛模拟法的计算效率方面]：其二 其初始状态，P)(X)|Xo,)将最终收敛于唯一 是维数高、静态性的缺陷.传统的蒙特卡洛模拟法 的平稳分布，它既不依赖于t也不依赖于初始状 由于采用抽样方法产生随机序列，均值和协方差 态.这说明，不管初始值取什么，X的分布收敛 矩阵不变，而经济问题中的变量都具有时变性，用 到同一个分布，即所谓的平稳分布， 静态的方法处理时变变量时必然会产生一定的偏 事实上，并不需要起始状态的边际分布就是 差：而且传统蒙特卡洛方法难于从高维的概率分 π(x),从不同的Xo,出发，链经过一段时间的迭 布函数中抽样. 代后，可以认为各个时刻的X)的边际分布都是 针对这种情况，本文提出了一种基于马尔科 平稳分布π(x),此时称它收敛了.而在收敛出现 夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,简称 以前的一段时间，比如m次迭代中，各状态的边 MCMC)的VaR计算方法，以克服传统Monte 际分布还不能认为是π(x),因此在使用式(2) Carlo模拟的高维、静态的缺陷，提高估算精度. 估计E[f(X)]时，应把前面的m个迭代值去掉， 而用后面的n一m个迭代结果来估计，即 马尔科夫链蒙特卡洛方法 E[fX)]≈，L立fx) n一m,二+1 (3) MCMC方法[1)]是一种特殊的蒙特卡洛方 上式称为遍历平均.由众知的遍历性定理，有子
计算潜在损失. 它不需要对市场因子的统计分布 作出假设 但历史模拟法必须保留市场因子过去 某个时期所有的历史数据 而且必须对证券组合 中每一个金融工具进行估价 计算量大. 分析方法是一种利用证券组合的价值函数与 市场因子间的近似关系~ 市场因子的统计分布( 方 差-协方差距阵) 来简化计算的方法. 分析模型可 分 为 两 大 类 delta-类 和 gamma-类. 在 delta-类 中 证券组合的价值函数均取一阶近似 但不同模 型中市场因子的统计分布假定不同 如 Garbade ( 1986) 的 delta-正态模型[7]中市场因子服从多元 正态分布; J. P. Morgan( 1994) 的 delta-加权正态 模型[2]中 使用加权正态模型( WTN) 来估计市场 因子 回 报 的 协 方 差 矩 阵; Hsieh ( 1993) 的 deltaGARCH 模型[8]中 使用了 GARCH 模型来描述 市场因子. 在 gamma-类模型中 证券组合的价值 函 数 均 取 二 阶 近 似 其 中 Wilson ( 1993 ) 的 gamma-正态模型[9]假定市场因子的变化服从多 元正态分布 而 Fallon( 1996) 的 gamma-GARCH 模型[10]使用多元 GARCH 模型来描述市场因子. 分析方法简化了 VaR 的计算 但它要求市场因子 必须服从正态分布~ 价值函数非线性程度低 而现 实中经常无法满足这两个假定. 针对分析方法在处理非线性证券组合时的缺 陷 近年来蒙特卡洛模拟法成为学术界研究 VaR 计算的主流方法. 但蒙特卡洛模拟法存在两个重 要缺陷 其一是计算效率低 近年来许多工作集中 在提高蒙特卡洛模拟法的计算效率方面[11] ; 其二 是维数高~ 静态性的缺陷. 传统的蒙特卡洛模拟法 由于采用抽样方法产生随机序列 均值和协方差 矩阵不变 而经济问题中的变量都具有时变性 用 静态的方法处理时变变量时必然会产生一定的偏 差; 而且传统蒙特卡洛方法难于从高维的概率分 布函数中抽样. 针对这种情况 本文提出了一种基于马尔科 夫链蒙特卡洛( Markov Chain Monte Carlo 简称 MCMC) 的 VaR 计 算 方 法 以 克 服 传 统 Monte Carlo 模拟的高维~ 静态的缺陷 提高估算精度. 1 马尔科夫链蒙特卡洛方法 MCMC 方 法[12] 是 一 种 特 殊 的 蒙 特 卡 洛 方 法 它将随机过程中的马尔科夫过程引入到蒙特 卡洛模拟中 实现动态模拟( 即抽样分布随模拟的 进行而改变). 本质上 MCMC 方法是使用马尔科 夫链的蒙特卡洛积分. 已知市场因子的历史数据 实际上是已知变量的后验分布 要求的一些后验 量如均值~ 方差~ 分位数可归结为对高维的后验分 布进行积分计算. 具体来看 蒙特卡洛积分通过抽 样点 {X( t) t = 1 ~ n} 来估计 E[f( X) ] 其估算 公式为 E[f(I) ] N 1 n n t= 1 f( X( t) ) ( 2) 所以 由 f( X) 的抽样均值可得到其总体均值. 如 果抽样点{X( t) } 是独立的 则可以增加抽样次数 n 来达到所期望的准确度. 一般来讲 随机点 Xt 来自于分布 T( X) 因此 如何由分布 T( X) 得到随机点至关重要. MCMC 方法就是通过构造一个平稳分布为 T( X) 的马尔 科 夫链来得到随机样本. 假定要产生随机变量 {X( 0) X( 1) X( 2) ~ } 则对任意 t B 0 的时刻 下一 状态 X( t+ 1) 来自于对分布 P( X( t+ 1) I X( t) ) 的抽样 它只依赖于当前状态 Xt 并不依赖于历史状态 {X( 0) X( 1) ~ X( t-1) }. 这就是马尔科夫序列 其 中 P( I ) 称为转移核 它不依赖于时间 t. 现在有一个问题是初始状态 X( 0) 对 X( t) 有什 么影响. 在给定 X( 0) 而没有 { X( 1) ~ X( t-1) } 的 信息 情 况 下 将 X( t) 的 条 件 分 布 记 为 P( t) ( X( t) I X( 0) ). 在一般规律下 马尔可夫链将逐渐的忽略 其初始状态 P( t) ( X( t) I X( 0) ) 将最终收敛于唯一 的平稳分布 它既不依赖于 t 也不依赖于初始状 态. 这说明 不管初始值取什么 X( t) 的分布收敛 到同一个分布 即所谓的平稳分布. 事 实上 并不需要起始状态的边际分布就是 T( I ) 从不同的 X( 0) 出发 链经过一段时间的迭 代后 可以认为各个时刻的 X( t) 的边际分布都是 平稳分布 T( I ) 此时称它收敛了. 而在收敛出现 以 前的一段时间 比如 m 次迭代中 各状态的边 际分布还不能认为是 T( I ) 因此在使用式( 2) 估计 E [f ( X) ]时 应把前面的 m 个迭代值去掉 而用后面的 n - m 个迭代结果来估计 即 E[f( X) ] N 1 n - m n t= m+ 1 f( X( t) ) ( 3) 上式称为遍历平均. 由众知的遍历性定理 有 f ^ mn 第 2 期 王春峰等, 基于 MCMC 的金融市场风险 VaR 的估计
-56- 管理科学学报 2000年6月 →E[f(X)],n→oo. 1953年提出了一种构造转移核的方法，Hastings 从模拟计算的角度看，构造的转移核使已知 随后对之加以推广，形成Metropolis-Hastings方 的概率分布π(x)为平稳分布.因此，在采用 法，其思路如下 MCMC方法时，转移核的构造具有至关重要的作 任意选择一个不可约转移概率q(·|·)以及 用.不同的转移核的构造方法，导致不同的 一个函数(·，·)，0<a(·,)≤1，对任一组合( MCMC方法，如Metropolis方法、Gibbs抽样方 x,x')(x≠x')定义 法等. p(xlx')=q(xlx')a(x,x'),xx' 至此，可以把MCMC方法概括为如下三步： 则p(xx)形成一个转移核. 1)在X上选一个“合适”的马尔科夫链，使其 此方法的实施比较直观：如果链在时刻t处 转移核为(·|·)，这里“合适”的含义主要指π( 于状态x,即X=x,则首先由q(￥|x)产生一 x)应是其相应的平稳分布： 个潜在的转移x→x,然后根据概率a(x,x')决 2)由X中某一点X出发，用(1)中的马尔 定是否转移.也就是说，在潜在转移点找到后，以 科夫链产生点序列X1》,…,X: 概率a(x,x)接受x作为链在下一时刻的状态 3)对某个m和大的n,任一函数f(x)的期 值，而以概率1一a(x,x)拒绝转移到x',从而链 望估计如下 在下一时刻仍处于状态x.于是，在有了x'后，可 Ef(X)]-m ∑f(X) 在抽取一个[0,1]上均匀分布的随机数，则 X+1)= x',u≤a(x,x') x, u>a(x,x') 2 抽样方法 转移核的构造 一 般，分布g(|x)称为建议分布(proposal distribution).因为目的是使后验分布π(x)成为 MCMC主要应用在多变量、非标准形式、且 平稳分布，因此，在有了q(·|·)后，应选择一个 各变量间相互不独立时分布的模拟.由于在 a(·,·)使相应的p(xx')以π(x)为其平稳分布， MCMC方法中，转移核的构造起着决定性的作 一个最常用的选择是 用，所以本部分将详细讨论这个问题 a(x,x')=min π(x')q(x'|x) 2.1 Metropolis-Hastings方法 (4) π(x)g(x|x) 在MCMC中最一般化的抽样方法是 Metropolis-Hastings方法.Metropolis等人在 此时，p(xx')为 (g(xlx') π(x)q(x'|x)≥π(x)q(x|x') p(xlx')= (2'( π(x)’ π(x)q(x'|x)<π(x)q(x|x) 下面讨论q(xx)的选择问题. 一个转移核q(x,→xx-),固定X'-=X-=x- 同时产生整个X有时是困难的，而将X根据 不变，由q(x,→x,x-)产生一个可能的x,然后 其分量进行逐个抽样则简单的多，这就要用到条件 以概率X'-,=X-=x-不变，由q(x·x',x-) 分布，特别是满条件分布. 产生一个可能的x:,然后以概率 考虑X,lX-,i=1,2,…,n的条件分布，选择 a;(x;x':x-)=min 1, (x)q:(x',→x|x-) π(x)q(x之xx-) 决定是否接受x'作为链的下一状态，这就是 Hastings方法中取q(x·x)为π(x,lx-i),容易验 单元素Metropolis-Hastings算法. 证，此时a(x→x)=1. 2.2 Gibbs抽样 在Gibbs抽样的构造之初，假设X具有密度 Gibbs抽样实际上是一种特殊的单元素函数π(x),这在实际中往往做不到，但这并不影响 Metropolis-Hastings算法，它是在Metropolis--Gibbs抽样的实施.应用中，可以对i=l,·,n重
- [f( X) ] n - . 从 模拟计算的角度看 构造的转移核使已知 的概率分布 T ( s ) 为平稳分 布. 因 此 在 采 用 MCMC 方法时 转移核的构造具有至关重要的作 用. 不 同 的 转 移 核 的 构 造 方 法 导 致 不 同 的 MCMC 方法 如 MetrOpOlis 方法 Gibbs 抽样方 法等. 至此 可以把 MCMC 方法概括为如下三步: 1) 在 X 上选一个 合适 的马尔科夫链 使其 转移核为 p(- l - ) 这里 合适 的含义主要指 T ( s ) 应是其相应的平稳分布; 2) 由 X 中某一点 X( O) 出发 用( 1) 中的马尔 科夫链产生点序列 X( 1) X( n) ; 3) 对某个 m 和大的 n 任一函数 f ( s ) 的期 望估计如下 [f( X) ] = 1 n - m n t= m-1 f( X( t) ) 2 抽样方法 转移核的构造 MCMC 主要应用在多变量 非标准形式 且 各 变 量 间 相 互 不 独 立 时 分 布 的 模 拟. 由 于 在 MCMC 方法中 转移核的构造起着决定性的作 用 所以本部分将详细讨论这个问题. 2. 1 MetrOpOlis-Hastings 方法 在 MCMC 中 最 一 般 化 的 抽 样 方 法 是 MetrOpOlis-Hastings 方 法. MetrOpOlis 等 人 在 1953 年提出了一种构造转移核的方法 Hastings 随后对之加以推广 形成 MetrOpOlis-Hastings 方 法 其思路如下. 任意选择一个不可约转移概率 G( - l - ) 以及 一个函数 D( - - ) O < D( - - ) S 1 对任一组合 ( s s/ ) ( s S s/ ) 定义 p( sl s/ ) = G( sl s/ ) D( s s/ ) s S s/ 则 p( sl s/ ) 形成一个转移核. 此方法的实施比较直观: 如果链在时刻 t 处 于状态 s 即 X( t) = s 则首先由 G( l s) 产生一 个潜在的转移 s - s/ 然后根据概率 D( s s/ ) 决 定 是否转移. 也就是说 在潜在转移点找到后 以 概率 D( s s/ ) 接受 s/ 作为链在下一时刻的状态 值 而以概率 1 - D( s s/ ) 拒绝转移到 s/ 从而链 在下一时刻仍处于状态 s. 于是 在有了 s/ 后 可 在抽取一个[O 1] 上均匀分布的随机数 u 则 X( t-1) = s/ u S D( s s/ ) { s u > D( s s/ ) 一 般 分 布 G( l s) 称 为 建 议 分 布 ( prOpOsal distributiOn). 因为目的是使后验分布 T( s) 成为 平 稳分布 因此 在有了 G( - l - ) 后 应选择一个 D( - - ) 使相应的 p( sl s/ ) 以 T( s) 为其平稳分布 一个最常用的选择是 D( s s/ ) = min 1 T( s/ ) G( s/ l s) { T( s) G( sl s/ ) } ( 4) 此时 p( sl s/ ) 为 p( sl s/ ) = G( sl s/ ) T( s/ ) G( s/ l s) 2 T( s) G( sl s/ ) G( s/ l s) T( s/ ) T( s) L T( s/ ) G( s/ l s) < T( s) G( sl s/ ) 下面讨论 G( sl s/ ) 的选择问题. 同时产生整个 X 有时是困难的 而将 X 根据 其分量进行逐个抽样则简单的多 这就要用到条件 分布 特别是满条件分布. 考虑 XIl X-I I = 1 2 n 的条件分布 选择 一个转移核 G( sI - s/ Il s-I) 固定 X/ -I = X-I = s-I 不变 由 G( sI - s/ Il s-I) 产生一个可能的 s/ I 然后 以概率 X/ -I = X-I = s-I不变 由 G( sI - s/ I l s-I) 产生一个可能的 s/ I 然后以概率 DI( sI - s/ Il s-I) = min 1 T( s/ ) GI( s/ I - sIl s-I) { T( s) GI( sI - s/ Il s-I) } 决定是否接受 X/ 作为链的下一状态 这就是 单元素 MetrOpOlis-Hastings 算法. 2. 2 Gibbs 抽样 Gibbs 抽 样 实 际 上 是 一 种 特 殊 的 单 元 素 MetrOpOlis-Hastings 算 法 它 是 在 MetrOpOlisHastings 方法中取 G( s/ - s) 为 T( sI l s-I) 容易验 证 此时 D( s/ - s) = 1. 在 Gibbs 抽样的构造之初 假设 X 具有密度 函数 T( s) 这在实际中往往做不到 但这并不影响 Gibbs 抽样的实施. 应用中 可以对 I = 1 n 重 5 管 理 科 学 学 报 2OOO 年 月
第2期 王春峰等：基于MCMC的金融市场风险VaR的估计 -57- 复使用Gibbs抽样，在一般的条件下，这样的迭代中，抽取x+):…从满条件分布π(xx+D, 依分布收敛到π.下面将单元素Gibbs抽样具体化x+D,…,x)中，抽取x+D. 写出. 3)设i=i+1,转到第2)步 1)确定初始点xo=(x0),…,xo),设i=0. 记x0=(x,…,x),则xD,x2,…,x, 2)从满条件分布π(x1x,x,…,x)中，…是马尔科夫链的实现值，其由x到x的转移概 抽取x+1”:从满条件分布π(x2x+D,x,…,x)率为 p(x|x')=π(x1x2,…,xn)π(x2|x'3,…,xm)…π(xn|x'1,…,x'-1) 要使Gibbs抽样具有实用性，还必须知道图可清楚地看到，在经过约4400次迭代后，Gibbs Gibbs抽样的收敛条件以及怎样对Gibbs抽样得抽样收敛了. 到的数进行分析.通常可采用两种方法对其收敛性 另一个判断Gibbs抽样收敛的方法是看遍历 进行判断. 均值是否已经收敛，比如，在由Gibbs抽样得到的 方法之一是用Gibbs抽样同时产生多个马尔链中每隔一段距离计算一次参数的遍历均值，为使 科夫链，在经过一段时间后，如果这几条链稳定下用来计算平均值的变量近似独立，通常可每隔一段 来，则Gibbs抽样收敛了.图1是这个方法的一个取一个样本，当这样算得的均值稳定后，可认为 直观说明，它用Gibbs抽样同时产生9条马尔科夫Gibbs抽样收敛.下文所要采用的就是这种方法. 链，并把其中的一个参数的实现值作成散点图，由 1.0F 0.8 "。 0.6 0.4 0.2 0.0f 1000 2000 3000 4000 5000 6000 图1 Gibbs抽样迭代过程 未来变化的情景，用定价公式计算证券组合未来的 3实证分析及评价 盯市价值及未来的潜在损益：根据潜在损益的分 布，在给定置信度下计算VaR值. 下面以美元国债为例，将前面提出的MCMC 假设持有的证券组合包括6个月、1年和2年 方法应用于VaR的计算，并与传统的蒙特卡洛模 期的零息美国国债，则基础的市场因子就是6个 拟法的结果作比较，以考察MCMC的优劣. 月、1年和2年的利率.所要做的第一步就是根据 3.1实证分析 利率的历史数据，运用MCMC方法估计分布的参 具体步骤如下：首先识别基础的市场因子，并数，即均值向量和协方差矩阵，这是问题的关键之 用市场因子表示出证券组合中各个金融工具的盯所在 市价值：假设市场因子的变化服从的分布（如多元 我们的数据集合取为1996年1月2日至 正态分布)，运用MCMC方法估计分布的参数（如1996年5月22日共100个交易日利率的历史数 均值向量和协方差矩阵)：根据参数模拟市场因子：据.由于VR考察的是证券组合的收益（或损失）
复使用 GibbS 抽样 在一般的条件下 这样的迭代 依分布收敛到 T. 下面将单元素 GibbS 抽样具体化 写出. 1) 确定初始点 I( 0) = (I( 0) 1 ~ I( 0) n ) 设 z = 0. 2) 从满条件分 布 T(I1 I I( z) 2 I( z) 3 ~ I( z) n ) 中 抽取 I( z+ 1) 1 ; 从满条件分布 T(I2 I I( z+ 1) 1 I( z) 3 ~ I( z) n ) 中 抽 取 I( z+ 1) 2 ; ~ 从 满 条 件 分 布 T(In I I( z+ 1) 1 I( z+ 1) 2 ~ I( z+ 1) n-1 ) 中 抽取 I( z+ 1) n . 3) 设 z = z + 1 转到第 2) 步. 记 I( t) = (I( t) 1 ~ I( t) n ) 则 I( 1) I( 2) ~ I( t) ~ 是马尔科夫链的实现值 其由 I 到 I/ 的转移概 率为 (II I/ ) = T(I1 I I2 ~ In ) T(I2 I I/ 3 ~ In ) ~ T(In I I/ 1 ~ I/ n-1 ) 要 使 GibbS 抽 样 具 有 实 用 性 还 必 须 知 道 GibbS 抽样的收敛条件以及怎样对 GibbS 抽样得 到的数进行分析. 通常可采用两种方法对其收敛性 进行判断. 方法之一是用 GibbS 抽样同时产生多个马尔 科夫链 在经过一段时间后 如果这几条链稳定下 来 则 GibbS 抽样收敛了. 图 1 是这个方法的一个 直观说明 它用 GibbS 抽样同时产生 9 条马尔科夫 链 并把其中的一个参数的实现值作成散点图 由 图可清楚地看到 在经过约 4400 次迭代后 GibbS 抽样收敛了. 另一个判断 GibbS 抽样收敛的方法是看遍历 均值是否已经收敛 比如 在由 GibbS 抽样得到的 链中每隔一段距离计算一次参数的遍历均值 为使 用来计算平均值的变量近似独立 通常可每隔一段 取 一 个 样 本 当 这 样 算 得 的 均 值 稳 定 后 可 认 为 GibbS 抽样收敛. 下文所要采用的就是这种方法. 图 1 GibbS 抽样迭代过程 3 实证分析及评价 下面以美元国债为例 将前面提出的 MCMC 方法应用于 VaR 的计算 并与传统的蒙特卡洛模 拟法的结果作比较 以考察 MCMC 的优劣. 3. 1 实证分析 具体步骤如下: 首先识别基础的市场因子 并 用市场因子表示出证券组合中各个金融工具的盯 市价值; 假设市场因子的变化服从的分布( 如多元 正态分布) 运用 MCMC 方法估计分布的参数( 如 均值向量和协方差矩阵); 根据参数模拟市场因子 未来变化的情景 用定价公式计算证券组合未来的 盯市价值及未来的潜在损益; 根据潜在损益的分 布 在给定置信度下计算 VaR 值. 假设持有的证券组合包括 6 个月~ 1 年和 2 年 期的零息美国国债 则基础的市场因子就是 6 个 月~ 1 年和 2 年的利率. 所要做的第一步就是根据 利率的历史数据 运用 MCMC 方法估计分布的参 数 即均值向量和协方差矩阵 这是问题的关键之 所在. 我 们 的 数 据 集 合 取 为 1996 年 1 月 2 日 至 1996 年 5 月 22 日共 100 个交易日利率的历史数 据. 由于 VaR 考察的是证券组合的收益( 或损失) 第 2 期 王春峰等: 基于 MCMC 的金融市场风险 VaR 5 的估计
-58- 管理科学学报 2000年6月 因此应通过资产回报来衡量.在给定第t天利率i,蒙特卡洛模拟法和MCMC方法的前提.经检验， 的条件下，定义日回报为 本文所采用的从1996年1月2日至5月22日共 l: r=In 100天的6个月、1年和2年期利率回报的历史数 i-1 据，近似服从多元正态分布.同时根据利率的历史 实际上，是连续复利条件下的相对回报，又称为对 数据还可以得到以下的统计量： 数回报.首先需要进行的是正态性检验，这是使用 表1利率的统计量 r(0.5) r) r(2) 均值 0.000096 0.000214 0.000459 方差 0.000052 0.000080 0.000130 标准差 0.007193 0.008952 0.011394 偏度 0.441010 1.265536 1.199261 峰度 4.130653 6.898694 5.933821 「0.000052 0.000054 0.000065 协方差矩阵 0.0000540.000080 0.000095 0.000065 0.000095 0.000130 1.00000.84910.80087 相关系数矩阵 R= 0.84911.00000.9374 L0.80080.93741.0000 可以看出，6个月、1年和2年期利率回报的相进行MCMC方法的计算.WinBUGS可以利用一 关性非常大. 种被称作DoodleBUGS的图形界面来构造模型， 鉴于MCMC方法已经广泛地应用于应用统同时还具有多种分析工具来监测模拟的收敛状况. 计学，在此本文使用一种成熟的软件包WinBUGS 下面建立本文的DoodleBUGS模型. mcan[1:3] prec[1:3,1:3] R13,1:3] tau[1:3,1:3 mu6,1:3] rt,1:3] sigma[i] for(t IN 1:T) for(j IN 1:3) 图2 DoodleBUGS模型
因此应通过资产回报来衡量. 在给定 第 z 天利率 zz 的条件下, 定义日回报为 1z = ln zz zz-1 实际上 1z 是连续复利条件下的相对回报, 又称为对 数回报. 首先需要进行的是正态性检验, 这是使用 蒙特卡洛模拟法和 MCMC 方法的前提. 经检验, 本文所采用的从 1996 年 1 月 2 日至 5 月 22 日共 100 天的 6 个月~ 1 年和 2 年期利率回报的历史数 据, 近似服从多元正态分布. 同时根据利率的历史 数据还可以得到以下的统计量: 表 1 利率的统计量 1 ( 0. 5) 1 ( 1) 1 ( 2) 均值 0. 000 096 0. 000 214 0. 000 459 方差 0. 000 052 0. 000 080 0. 000 130 标准差 0. 007 193 0. 008 952 0. 011 394 偏度 0. 441 010 1. 265 536 1. 199 261 峰度 4. 130 653 6. 898 694 5. 933 821 协方差矩阵 2 = 0. 000 052 0. 000 054 0. 000 065 0. 000 054 0. 000 080 0. 000 095 T L T 0. 000 065 0. 000 095 0. 000 130J 相关系数矩阵 R= 1. 000 0 0. 849 1 0. 800 8 0. 849 1 1. 000 0 0. 937 4 T L T 0. 800 8 0. 937 4 1. 000 0J 可以看出, 6 个月~ 1 年和 2 年期利率回报的相 关性非常大. 鉴于 MCMC 方法已经广泛地应用于应用统 计学, 在此本文使用一种成熟的软件包 WinBUGS 进行 MCMC 方法的计算. WinBUGS 可以利用一 种被称作 DoodleBUGS 的图形界面来构造模型, 同时还具有多种分析工具来监测模拟的收敛状况. 下面建立本文的 DoodleBUGS 模型. 图 2 DoodleBUGS 模型 58 管 理 科 学 学 报 2000 年 6 月