学而思网較 联合国教科文组织战略合作伙伴 每天进步一点点 2×5=10,可以说2和5是10的因数,10是2和5的倍数,但是不能说2和 5是因数,或者10是倍数。 3.2,3,5的倍数的特征 2的倍数:个位上是2,4,6,8或0的数。 5的倍数:个位上是5或0的数。 3的倍数:各个数位上数字的和是3的倍数的数。 4.奇数和偶数 (1)偶数:在自然数中,是2的倍数的数叫作偶数(0也是偶数),偶数 也叫双数。例如:在非零自然数中,2,4,6,8,10,12,14,16,…都 是偶数。 (2)奇数:在自然数中,不是2的倍数的数叫作奇数,奇数也叫单数。例 如:1,3,5,7,9,1,13,15,…都是奇数。 二、质数和合数 1.质数 个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫作质数,质数也叫 素数。例如:2,3,5,7,11,…都是质数。最小的质数是2 误区警示 所有的质数都是奇数吗 最小的质数是2,其余的是奇数,所有的质数都是奇数的说法是错误的。 2.合数 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫作合数。例如
25=10䯖〳⟄霹 2 ㄤ 5 僽 10 涸㔔侨䯖10 僽 2 ㄤ 5 涸⦔侨䯖⡎僽♶腊霹 2 ㄤ 5 僽㔔侨䯖䧴罏 10 僽⦔侨、 4/!3Lj4Lj6 ؿҹฮؿሲ ij ֹܿ༮˖⚡⡙♳僽 2䯖4䯖6䯖8 䧴 0 涸侨、 Ķ ֹܿ༮˖⚡⡙♳僽 5 䧴 0 涸侨、 Ĵ ֹܿ༮˖ぐ⚡侨⡙♳侨㶶涸ㄤ僽 3 涸⦔侨涸侨、 5/ ಟฮࠞగฮ ˄IJ˅ഗ༮˖㖈荈搬侨⚥䯖僽 2 涸⦔侨涸侨〭⡲⩐侨䯒0 ⛲僽⩐侨䯓䯖⩐侨 ⛲〭⿽侨、⢾㥵䯤㖈ꬋꨪ荈搬侨⚥䯖2䯖4䯖6䯖8䯖10䯖12䯖14䯖16䯖...... 鿪 僽⩐侨、 ˄ij˅ඟ༮˖㖈荈搬侨⚥䯖♶僽 2 涸⦔侨涸侨〭⡲㣼侨䯖㣼侨⛲〭⽀侨、⢾ 㥵䯤1,3,5,7,9,11,13,15䯖... 鿪僽㣼侨、 ۗĂባฮࠞࠠฮ 2/ ባฮ ♧⚡侨䯖㥵卓〫剣 1 ㄤ㸐劥魧⚙⚡㔔侨䯖鵯呋涸侨〭⡲餘侨䯖餘侨⛲〭 稇侨、⢾㥵䯤2䯖3䯖5䯖7䯖11䯖... 鿪僽餘侨、剒㼭涸餘侨僽 2、 ྜഏॸ෯ ຈᅏؿባฮڕಟฮ 剒㼭涸餘侨僽 2䯖Ⱖ⡮涸僽㣼侨䯖䨾剣涸餘侨鿪僽㣼侨涸霹岁僽ꝡ霴涸、 3/ ࠠฮ ♧⚡侨䯖㥵卓ꤑ✫ 1 ㄤ㸐劥魧鵮剣ⵆ涸㔔侨䯖鵯呋涸侨〭⡲ざ侨、⢾㥵䯤 21
学而思网較 联合国教科文组织战略合作伙伴 每天进步一点点 4,6,8,9,10,12,…都是合数。最小的合数是4。 公因数 1.质因数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫作这个合数的 质因数。例如:30=2×3×5,其中2,3,5本身是质数,又是30的因数 所以都是30的质因数。 2.分解质因数 把一个合数用其质因数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。例如 24=2×2×2×3叫作把24分解质因数 3.分解质因数的方法 把一个合数分解质因数,可使用短除法,先用一个能整除这个合数的质 数(通常从最小的开始)去除,得到的商如果是质数,就把除数和商写成相 乘的形式;得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出 的商是质数为止,最后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 例如:把140分解质因数。2140140=2×2×5×7 2L70 4.公因数 几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数。 例如:12的因数有1,2,3,4,6,12;30的因数有1,2 10,15,30
4䯖6䯖8䯖9䯖10䯖12䯖... 鿪僽ざ侨、剒㼭涸ざ侨僽 4、 ൲Ăޞᄓฮ 2/ ባᄓฮ 嫦⚡ざ侨鿪〳⟄ⱗ䧭Ⳝ⚡餘侨湱⛧涸䕎䒭䯖鵯Ⳝ⚡餘侨〭⡲鵯⚡ざ侨涸 餘㔔侨、⢾㥵䯤30 = 235䯖Ⱖ⚥ 2䯖3䯖5 劥魧僽餘侨䯖⿶僽 30 涸㔔侨䯖 䨾⟄鿪僽 30 涸餘㔔侨、 3/ ܍्ባᄓฮ 䪾♧⚡ざ侨欽Ⱖ餘㔔侨湱⛧涸䕎䒭邍爙ⴀ勻䯖〭⡲ⴔ鍒餘㔔侨、⢾㥵䯤 24 = 2223 〭⡲䪾 24 ⴔ鍒餘㔔侨、 4/ ܍्ባᄓฮؿ۴۟ 䪾♧⚡ざ侨ⴔ鍒餘㔔侨䯖〳⢪欽瀊ꤑ岁䯖⯓欽♧⚡腊侮ꤑ鵯⚡ざ侨涸餘 侨䯒鸑䌢➢剒㼭涸䒓㨤䯓ꤑ䯖䖤ⵌ涸㉁㥵卓僽餘侨䯖㽠䪾ꤑ侨ㄤ㉁ⱗ䧭湱 ⛧涸䕎䒭䯥䖤ⴀ涸㉁㥵卓僽ざ侨䯖ⱄ䭽撑♳涸倰岁絩絯ꤑ♴䯖湬ⵌ䖤ⴀ 涸㉁僽餘侨⚹姺䯖剒た䪾䨾剣涸ꤑ侨ㄤ剒た涸㉁ⱗ䧭鵶⛧涸䕎䒭、 ⢾㥵䯤䪾 140 ⴔ鍒餘㔔侨、 140 = 2257 5/ ޞᄓฮ Ⳝ⚡侨Ⱆ剣涸㔔侨䯖〭⡲鵯Ⳝ⚡侨涸Ⱆ㔔侨、 ⢾㥵䯤12 涸㔔侨剣 1䯖2䯖3䯖4䯖6䯖12䯥30 涸㔔侨剣 1䯖2䯖3䯖5䯖6䯖 10䯖15䯖30、 1 4 0 7 0 2 2 3 5 7 5 22
学而思网校 联合国教科文组织战略合作伙伴 每天进步一点点 12和30的公因数有1,2,3,6。用集合圈表示如下 12和30的公因数 3,615,30 12的因数 的因数 5.最大公因数 几个数的公因数中最大的一个因数,叫作这几个数的最大公因数。例如 12和30的公因数是1,2,3,6,其中6是12和30的最大公因数。 求最大公因数的方法,通常有以下两种 (1)分解质因数法:把每一个数分别分解质因数,公有的质因数相乘 的积就是这几个数的最大公因数。例如:求12,18和24的最大公因数。 12=2×2×3,18=2×3×3,24=2×2×2×3,12,18和24的公有的因数 有一个2和一个3,所以12,18,24的最大公因数是2×3=6。 (2)短除法:求几个数的最大公因数,先用这几个数的公因数(一般是 公有的质因数)分别去除,一直除到所有的商只有公因数1为止,然后把所 有的除数连乘起来,就是这几个数的最大公因数。例如:求12,18和24的 最大公因数。 1212,18和24的最大公因数是2×3=6。 234 6.互质数 公因数只有1的两个数,叫作互质数。例如:12和13的公因数只有1, 我们就说12和13这两个数互质
12 ㄤ 30 涸Ⱆ㔔侨剣 1Ὃ2Ὃ3Ὃ6、欽꧋ざ㕕邍爙㥵♴䯤 6/ ዥؐޞᄓฮ Ⳝ⚡侨涸Ⱆ㔔侨⚥剒㣐涸♧⚡㔔侨䯖〭⡲鵯Ⳝ⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨、⢾㥵䯤 12 ㄤ 30 涸Ⱆ㔔侨僽 1Ὃ2Ὃ3Ὃ6䯖Ⱖ⚥ 6 僽 12 ㄤ 30 涸剒㣐Ⱆ㔔侨、 宠剒㣐Ⱆ㔔侨涸倰岁䯖鸑䌢剣⟄♴⚙猫䯤 ˄IJ˅ࠍ੍፣ሓ༮ߟ˖䪾嫦♧⚡侨ⴔⵆⴔ鍒餘㔔侨䯖Ⱆ剣涸餘㔔侨湱⛧ 涸獤㽠僽鵯Ⳝ⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨、⢾㥵䯤宠 12Ὃ18 ㄤ 24 涸剒㣐Ⱆ㔔侨、 12 = 223䯖18 = 233䯖24 = 2223䯖12䯖18 ㄤ 24 涸Ⱆ剣涸㔔侨 剣♧⚡ 2 ㄤ♧⚡ 3䯖䨾⟄ 12Ὃ18Ὃ24 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 23=6、 ˄ij˅ߟڼޥ˖宠Ⳝ⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨䯖⯓欽鵯Ⳝ⚡侨涸Ⱆ㔔侨䯒♧菚僽 Ⱆ剣涸餘㔔侨䯓ⴔⵆꤑ䯖♧湬ꤑⵌ䨾剣涸㉁〫剣Ⱆ㔔侨 1 ⚹姺䯖搬た䪾䨾 剣涸ꤑ侨鵶⛧饰勻䯖㽠僽鵯Ⳝ⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨、⢾㥵䯤宠 12Ὃ18 ㄤ 24 涸 剒㣐Ⱆ㔔侨、 7/ ࡔባฮ Ⱆ㔔侨〫剣 1 涸⚙⚡侨䯖〭⡲✽餘侨、⢾㥵䯤12 ㄤ 13 涸Ⱆ㔔侨〫剣 1䯖 䧮⟌㽠霹 12 ㄤ 13 鵯⚙⚡侨✽餘、 1Ὃ2 4Ὃ12 5Ὃ10 3Ὃ6 15Ὃ30 12 ㄤ 30 涸Ⱆ㔔侨 12 涸㔔侨 30 涸㔔侨 12 18 24 12 4 2 6 12Ὃ18 ㄤ 24 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 23 = 6、 2 9 3 3 23
学而思网 联合国教科文组织战略合作伙伴 每天进步一点点 7.最大公因数的性质 性质1:两个数分别除以它们的最大公因数,所得的商互质。例如:36 和24的最大公因数是12,36÷12=3,24÷12=2,所得的商是3和2,这 两个数互质。 性质2:两个数的最大公因数的因数,一定是这两个数的公因数。例如: 36和48的最大公因数是12,12的因数有1,2,3,4,6,12。12的这些因 数也是36和48的公因数。 性质3:两个数的公因数都是这两个数的最大公因数的因数。 例如:12的因数有1,2,3,4,6,12; 18的因数有1,2,3,6,9,18 12和18的公因数有1,2,3,6; 12和18的最大公因数是6;6的因数有1,2,3,6。 12和18的公因数1,2,3,6是它们的最大公因数6的因数。 性质4:两个数都乘以同一个自然数m,所得的两个积的最大公因数等 于这两个数的最大公因数与m的积。 例如:4和6的最大公因数是2,4和6都乘以5,4×5=20 6×5=30 20和30的最大公因数是10 20和30的最大公因数10等于4和6的最大公因数2乘以5。 性质5:若两个数都除以它们的一个公因数m,则所得的两个商的最大
8/ ዥؐޞᄓฮؿ္ባ ᄹ፣ IJ˖⚙⚡侨ⴔⵆꤑ⟄㸐⟌涸剒㣐Ⱆ㔔侨䯖䨾䖤涸㉁✽餘、⢾㥵䯤36 ㄤ 24 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 12䯖36¶12 = 3䯖24¶12 = 2䯖䨾䖤涸㉁僽 3 ㄤ 2䯖鵯 ⚙⚡侨✽餘、 ᄹ፣ ij˖⚙⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨涸㔔侨䯖♧㹁僽鵯⚙⚡侨涸Ⱆ㔔侨、⢾㥵䯤 36 ㄤ 48 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 12Ὃ12 涸㔔侨剣 1Ὃ2Ὃ3Ὃ4Ὃ6Ὃ12、12 涸鵯❈㔔 侨⛲僽 36 ㄤ 48 涸Ⱆ㔔侨、 ᄹ፣ Ĵ˖⚙⚡侨涸Ⱆ㔔侨鿪僽鵯⚙⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨涸㔔侨、 ⢾㥵䯤12 涸㔔侨剣 1䯖2䯖3䯖4䯖6䯖12䯥 18 涸㔔侨剣 1䯖2䯖3䯖6䯖9䯖18䯥 12 ㄤ 18 涸Ⱆ㔔侨剣 1䯖2䯖3䯖6䯥 12 ㄤ 18 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 6䯥6 涸㔔侨剣 1䯖2䯖3䯖6、 12 ㄤ 18 涸Ⱆ㔔侨 1䯖2䯖3䯖6 僽㸐⟌涸剒㣐Ⱆ㔔侨 6 涸㔔侨、 ᄹ፣ ĵ˖⚙⚡侨鿪⛧⟄ず♧⚡荈搬侨 m䯖䨾䖤涸⚙⚡獤涸剒㣐Ⱆ㔔侨瘝 ✵鵯⚙⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨♸ m 涸獤、 ⢾ 㥵䯤4 ㄤ 6 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 2䯖4 ㄤ 6 鿪⛧⟄ 5䯖45 = 20䯖 65 = 30䯥 20 ㄤ 30 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 10、 20 ㄤ 30 涸剒㣐Ⱆ㔔侨 10 瘝✵ 4 ㄤ 6 涸剒㣐Ⱆ㔔侨 2 ⛧⟄ 5、 ᄹ፣ Ķ˖蕯⚙⚡侨鿪ꤑ⟄㸐⟌涸♧⚡Ⱆ㔔侨 m䯖ⴭ䨾䖤涸⚙⚡㉁涸剒㣐 24
学而思网 联合国教科文组织战略合作伙伴 每天进步一点点 公因数等于这两个数的最大公因数与m的商。 例如:45和75的最大公因数是15,45和75都除以3,45÷3=15, 75÷3=25;15和25的最大公因数是5。 5和25的最大公因数5等于45和75的最大公因数15除以3。 四、公倍数 1.公倍数 几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数。 例如:12的倍数有12,24,36,48,60,72,…;8的倍数有8,16 24,32,40,48,56,64,72 可知,12和8的公倍数有24,48, 2.最小公倍数 几个数所有的公倍数中最小的一个,叫作这几个数的最小公倍数。例如 12和8的公倍数有24,48,72,…,其中12和8的最小公倍数是24。 求几个数的最小公倍数的方法,通常有以下两种 (1)分解质因数法:把一个数分别分解质因数,全部公有的质因数和各 自独有的质因数相乘的积就是这几个数的最小公倍数。例如:求12,16和18 的最小公倍数。12=2×2×3,16=2×2×2×2,18=2×3×3,12,16和 三个数公有的质因数有一个2,12和16两个数公有的质因数有一个2,12和 18两个数公有的质因数只有一个3,16独有的质因数有两个2,18独有的质 因数有一个3,只要把这些公有的和独有的质因数全部连乘起来,就是这几个 数的最小公倍数。即12,16和18的最小公倍数是2×2×2×2×3×3=144
Ⱆ㔔侨瘝✵鵯⚙⚡侨涸剒㣐Ⱆ㔔侨♸ m 涸㉁、 ⢾㥵䯤45 ㄤ 75 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 15䯖45 ㄤ 75 鿪ꤑ⟄ 3䯖45¶3 = 15䯖 75¶3 = 25䯥15 ㄤ 25 涸剒㣐Ⱆ㔔侨僽 5、 15 ㄤ 25 涸剒㣐Ⱆ㔔侨 5 瘝✵ 45 ㄤ 75 涸剒㣐Ⱆ㔔侨 15 ꤑ⟄ 3、 ๓Ăޞҹฮ 2/ ޞҹฮ Ⳝ⚡侨Ⱆ剣涸⦔侨䯖〭⡲鵯Ⳝ⚡侨涸Ⱆ⦔侨、 ⢾㥵䯤12 涸⦔侨剣 12䯖24䯖36䯖48䯖60䯖72䯖...䯥8 涸⦔侨剣 8䯖16䯖 24䯖32䯖40䯖48䯖56䯖64䯖72䯖...䯖 〳 濼䯖12 ㄤ 8 涸Ⱆ⦔侨剣 24䯖48䯖 72䯖...、 3/ ዥဆޞҹฮ Ⳝ⚡侨䨾剣涸Ⱆ⦔侨⚥剒㼭涸♧⚡䯖〭⡲鵯Ⳝ⚡侨涸剒㼭Ⱆ⦔侨、⢾㥵䯤 12 ㄤ 8 涸Ⱆ⦔侨剣 24䯖48䯖72䯖...䯖Ⱖ⚥ 12 ㄤ 8 涸剒㼭Ⱆ⦔侨僽 24、 宠Ⳝ⚡侨涸剒㼭Ⱆ⦔侨涸倰岁䯖鸑䌢剣⟄♴⚙猫䯤 ˄IJ˅ࠍ੍፣ሓ༮ߟ˖䪾♧⚡侨ⴔⵆⴔ鍒餘㔔侨䯖Ⰼ鿈Ⱆ剣涸餘㔔侨ㄤぐ 荈杝剣涸餘㔔侨湱⛧涸獤㽠僽鵯Ⳝ⚡侨涸剒㼭Ⱆ⦔侨、⢾㥵䯤宠 12䯖16 ㄤ 18 涸剒㼭Ⱆ⦔侨、12 = 223䯖16 = 2222䯖18 = 233䯖12䯖16 ㄤ 18 ♲⚡侨Ⱆ剣涸餘㔔侨剣♧⚡ 2䯖12 ㄤ 16 ⚙⚡侨Ⱆ剣涸餘㔔侨剣♧⚡ 2䯖12 ㄤ 18 ⚙⚡侨Ⱆ剣涸餘㔔侨〫剣♧⚡ 3䯖16 杝剣涸餘㔔侨剣⚙⚡ 2䯖18 杝剣涸餘 㔔侨剣♧⚡ 3䯖〫銳䪾鵯❈Ⱆ剣涸ㄤ杝剣涸餘㔔侨Ⰼ鿈鵶⛧饰勻䯖㽠僽鵯Ⳝ⚡ 侨涸剒㼭Ⱆ⦔侨、⽰ 12䯖16 ㄤ 18 涸剒㼭Ⱆ⦔侨僽 222233 = 144、 25