概率论与醒统计 第五节条件概率 、条件概率 乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 第五节 条件概率
概率论与醒统计 条件概率 1.引例将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反 两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事 件A已经发生的条件下事件B发生的概率 分析设N为征,矿面T} A=HH, HT, TH B=HH, TT),P(B-21 42 事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为 P(B,则P(BA114P(AB)≠P(B 33/4P(A)
将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反 两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面” , 事件B为“两次掷出同一面” . 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 S { HH, HT,TH,TT }. . 2 1 4 2 P(B) 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 P(BA), 3 1 则 P(B A) P(B). 3 4 1 4 ( ) ( ) P A P AB 设 H 为正面, T 为反面. 1. 引例 一 、条件概率 A {HH,HT,TH}, B {HH,TT}
概率论与醒统计 2.定义 设A,B是两个事件,且P(4>0,称 P(AB) P(BA) P(4) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 P(AB) 同理可得P(AB)=P(B) 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
( ) ( ) ( ) P B P AB 同理可得 P AB 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. . ( ) ( ) ( ) , , ( ) 0, 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 设 是两个事件 且 称 A B P A P AB P B A A B P A 2. 定义
概率论与醒统计 3.性质 (1)非负性:P(BA)≥0; (2)规范性:P(SB)=1,P(B)=0; (3)P(4∪AB)=P(AB)+P(4B)-P(44B); (4)P(4B)=1-P(AB (5)可列可加性:设B1,B2…是两两不相容的事 件,则有 ∪B4|=∑P(B1A i=1
(3) ( ) ( ) ( ) ( ); P A1 A2 B P A1B P A2 B P A1A2 B (4) P(AB) 1 P(AB). (2)规范性 : P(S B) 1, P( B) 0; 件 则有 可列可加性 设 是两两不相容的事 , (5) : , , B1 B2 ( ). 1 1 i i i P Bi A P B A 3. 性质 (1)非负性 : P(B A) 0;
概率论与醒统计 乘法定理 设P(4)>0,则有P(AB)=P(BA)P(4) 设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有 P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A) 推广设A1,A2,…,An为n个事件,n≥2, 且P(A1A2…An1)>0,则有 P(A142…An)=P(AnA142…A21) P(An1A142…An2)x…×P(A24)P(A1) ◎
( ) ( ) ( ). ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 P A A A A P A A P A P A A A P A A A A n n n n n 且 P(A1A2A n1 ) 0, 则有 , , , , 2, 推广 设 A1 A2 An 为 n 个事件 n 设 A,B,C 为事件,且 P(AB) 0, 则有 P(ABC) P(C AB)P(B A)P(A). 设 P(A) 0, 则有 P(AB) P(B A)P(A). 二、 乘法定理