又由于 E(X,s)=91E(X=161)+2E(X=261)+E(E2)=a 于是 10=91y1+g2y2+a2 同样地,由原式还可得到 y1=91y0+92y1 y2=1y1+02y0 于是方差为 (1-02) Y0=(1+21--02(1+1-m2)
又由于 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E X t t = E X t− t + E X t− t + E t = 于是 2 0 1 1 2 2 = + + 同样地，由原式还可得到 2 1 1 2 0 1 1 0 2 1 = + = + 于是方差为 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 1 2 1 2 2 2 0 + − − + − − =
由平稳性的定义,该方差必须是一不变的正数,于是有 q1+q2<1,q2-(1<l,p2<1 这就是AR(2)的平稳性条件,或称为平稳域。它是一顶点 分别为(-2,-1),(2-1),(0,1)的三角形。 2.-1 图921AR()模型的平稳域
由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+2<1, 2-1<1, |2|<1 这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点 分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 图 9.2.1 AR(2)模型的平稳域
AR(2)模型 X=011+2X12+E 对应的特征方程1-01z-02z20的两个根z1、z2满足 z122=-1/ =-(1/(2 解出9,92=22 41+2 2 由AR(2)的平稳性,2=1/z1|z2k<1,则至少有一个根 的模大于1,不妨设z1>1,有 二1+2 q1+9 < (1--)( 于是|z2}1。由φ2-91<1可推出同样的结果
对应的特征方程1-1z-2z 2=0 的两个根z1、z2满足： z1z2 =-1/2 , z1+z2 =-1/2 Xt Xt Xt t = + + 1 −1 2 −2 AR(2)模型 解出1，2 1 2 2 1 z z = − 1 2 1 2 1 z z z + z = 由AR(2)的平稳性，|2 |=1/|z1||z2 |<1 ，则至少有一个根 的模大于1，不妨设|z1|>1，有 ) 1 1 )(1 1 1 (1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 − = − − − + + = z z z z z z z z ) 0 1 )(1 1 (1 1 2 − − z z 于是| z2 |>1。由 2 - 1 <1可推出同样的结果
对高阶自回模型AR(p)来说,多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根,但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性 (1)AR(p)模型稳定的必要条件是: +OD2+.+0<1 (2)由于(i=1,2,p)可正可负,AR(p)模 型稳定的充分条件是: q1|+|(p2|+…,+on|<1
对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是： 1+2++p<1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模 型稳定的充分条件是： |1|+|2|++|p|<1
2、MA(q)模型的平稳性 对于移动平均模型MR(q X 0 1ct-1 其中E是一个白噪声,于是 E(X,)=B(61)-6E(11)-…-0E(E)=0 var(x1)=(1+012+…+02) y1=covx,X)=(-1+6B2+6203+…+日1)2 1=cox,X9)=(-1+0n)02 r, cov(Xx-a=-0,o 当滞后期大于q时,Xt的自协方差系数为0。 因此:有限阶移动平均模型总是平稳的
对于移动平均模型MR(q)： Xt =t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一个白噪声，于是 2、MA(q)模型的平稳性 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 E X t = E t − 1 E t−1 −− q E q = ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 2 2 2 0 1 cov( , ) cov( , ) ( ) cov( , ) ( ) var (1 ) q t t q q q t t q q q t t q q t q X X X X X X X = = − = = − + = = − + + + + = = + + + − − − + − − − 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。 因此:有限阶移动平均模型总是平稳的