阵列动力系统广义同步的新理论及计算机模拟

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2004.02.024 第26卷第2期 北京科技大学学报 Vol.26 No.2 2004年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2004 阵列动力系统广义同步的新理论 及计算机模拟 张晓丹张丽丽 闵乐泉 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要提出了两个定理，据此可构造通过线性变换达到广义同步的阵列动力系统，在定 理的基础上，引入了两个达到广义同步的阵列动力系统.数值模拟结果表明，这两个系统分 别展示了复杂极限环广义同步和混沌广义同步. 关键词混沌；广义同步；阵列动力系统 分类号0175 自Pecora和Carrol提出同步理论以来，混沌 p(x=(c),p2x,…,px)I,pc(px)ww(K=l,2,…, 同步的研究便成为一个前沿课题".同步现象 n).若任意x,∈D,映射p满足 在物理、生物及工程系统中也是非常重要的.最 trace(x-z)r(o(x)-p(z)》≤0， 近，人们提出了广义同步的思想，这为保密 则称映射φ在域D中下降. 通信提供了可能性，根据广义同步的定义，首 定义3设DCRUAO-N,映射p:D一D.若存在常 先给出数组广义同步的定义如下： 数a>0,使得对任意x,z∈D,有 定义1考虑两个系统 trace(r-zr(p(x)-p(z)》≤atrace(r-zrr-z), Re是-G0 (1) 则称映射在域D中半下降， 其中，x∈RaN,x-(1,,…x),x(x)N(=1,2, 定理设A∈RMM可逆，其中A=(A)an,Ag ,n）是MxN矩阵，y∈RmMw,Fx=(f(x,…Jr∈ ∈RM,DCRM-N,x,y,x,Ay∈D,映射p,:D一D. R-,fx(Vfwx)MwGy,x(gyx,…gGyx》r∈ 如果映射p在D中下降，则系统 Rngy,x)(g0y,x》nw,k(1,2,…,m).如果存在 xp(xtΨx),k1,2,…,n (2) 变换H:RmMW一Rw,流M={xy3y=Hx》及子集 =Ap(Ay计Aw以x),=l,2,…,n (3) B=B×B,CRxRM-W满足MCB,使得当1一+O, 通过变换=Hx)=x达到广义同步， limx-Ay=0,则称式(1)中两系统通过变换H达 证明设Ay,则=Ay.设B=A,B-(B,)m 到阵列广义同步.相应地，式(1)中两系统称为间 B,∈RM,则 接耦合广义同步阵列系统. (B,Ba,,B)Ap(z)t(BH,,BAx)=p(z十Ψx). 本文给出了构造阵列动力系统的广义同步 设ex-,其中e(e,e,…,en)I,e=xt-z,则误差 系统的两个新定理，并在此基础上给出了例子及 系统为： 其计算机模拟.结果表明，该例子实现了阵列广 e=x-2. 义同步，这将为图像保密通信提供可能 所以， ex=x-z-=p:x)+y:(x)-(p(z)+w.(x))-Px)-P:z), 1阵列动力系统的定义及定理 k1,2,…,n. 定义2设DCRM是域，映射p:D一D,其中 构造Lyapunov函数-ac(ee,则对任意 的e≠0，有V>0,且由于p在D中下降， 收稿日期200304-17 张晓丹女，45岁，教授 *国家自然科学基金资助课题(No.60074034,No.70271068) V-tracc(e'e)-trace(e)

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 阵列动 力系统广义 同步的新理论 及计算机模拟 张 晓 丹 张 丽 丽 阂 乐泉 北京 科技大学 应用 科学学 院 ， 北 京 摘 要 提 出 了两个 定理 ， 据此 可 构造 通 过 线性变换达 到广 义 同 步的阵列动力 系统 在定 理 的基 础 上 ， 引入 了两 个 达 到广 义 同步 的 阵列动 力 系统 数值模拟 结果 表 明 ， 这 两 个 系统 分 别展 示 了复杂极限环 广 义 同步和 混 沌 广 义 同步 关键 词 混沌 广义 同步 阵列 动力 系 统 分 类号 自 和 汀 提 出 同步理 论 以来 ， 混 沌 同步 的研 究便 成 为一 个 前 沿 课 题 ‘ 一 同步现 象 在 物 理 、 生 物 及 工 程 系 统 中也 是 非 常 重 要 的 最 近 ， 人 们 提 出 了广 义 同步 的思 想 〔，卜’ ， 这 为保 密 通信 提供 了可 能性 根据 广 义 同步 的定义 【，，’ ， 首 先 给 出数组 广 义 同步 的定义 如 下 定 义 考 虑 两 个系统 、 ， ， 、 丽厅 诵了 哪刀 其 中 ， 任 ‘ ，“ 闭代 ，伽 ，燕 ，…占 ， 为 无氏伽 ， ， ， 、， 、、了内 产、 声娜 … ， 是 矩 阵 ， 任 “ 气尸认 幼 ，… 苏 ‘ 代关认 二认 。 ，、 ‘ 妙川 够妙对 ， … 办妙川 任 ‘ 代 承伽习 啄办对 、 胜 ， ，… ， 如 果 存 在 变 换 畔劫咐一 “ 训代流衬七 功产万以 及 子 集 刀 及 尽 ·“ 研 “ 万 ’ “ 切 ‘ 满足 ， 使 得 当 一 ‘ ， 一才 ，则称 式 中两 系统 通 过 变 换 达 到 阵列广 义 同步 相 应 地 ， 式 中两 系 统称 为 间 接 祸 合 广 义 同步 阵列 系统 本 文 给 出 了构 造 阵 列 动 力 系 统 的广 义 同步 系统 的两 个 新 定 理 ， 并在 此 基础 上 给 出 了例 子 及 其 计 算 机 模拟 结 果 表 明 ， 该 例 子 实 现 了 阵列 广 义 同步 ， 这 将 为 图像 保 密 通 信 提 供 可 能 价 卜 叭 燕 ，… ，仇 几中由认 叭。 二 卜 ， ，… ， 若 任 意， 任 ， 映射 价满足 一 一 价仕 ‘ ， 则称 映射甲在 域 中下 降 定 义 设 沁动代 映射称 一 若 存 在 常 数 ， 使得 对 任 意 ， 任 ， 有 一 势 一 尹 ‘ 一 一 ， 则 称 映射势在 域 中半 下 降 定 理 设 任 ， ， 可 逆 ， 其 中 八 。 ，丙 加， ， 卿 ，， ， ，月 一 ，任 ， 映射 叭杯 一 如 果 映射 在 中下 降 ， 则 系统 戈户 必认 ， ， ，…， 姗 一 劝十 ，哟认 ， ， ，… ， 厂 通 过 变 换厂州片卜刁戈 达 到广 义 同步 证 明 设之气峨 一 沙 ， 则之 月 一 沙设刀二月 一 ，， 八， 风任砂气则 护 刀 。 ，… 刀动月 ，… 刀， 沁卜尹 叭 设 一 ， 其 中 ， ，… ，氏， 止气狡一 益 ， 则误 差 系 统 为 巴书工 一 阵列 动 力系统 的 定 义 及 定 理 定义 设 那协 万 是 域 ， 映射 称 一 ，其 中 收稿 日期 刁小 张晓丹 女 ， 岁 ， 教授 国家 自然 科学基金 资助 课 题 ， 所 以 ， 云成 壳一 少 ， 盗认 一 仇 坤 孟认 ， 一 ， ， ，… ， 构造 函数 作告伽 ， 则对 任 意 的 羊 。 ， 有 ， 且 由于 尹在 中下 降 ， 卜七 、 卜湘 全‘ 公 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．02．024

212· 北京科技大学学报 2004年第2期 =-trace((c-za(p.x）-p.(z》 2实例 =trace((x-z)"(o(x)-o(z))<0, 例1设驱动系统是类似于Rossler系统的神 对任意的e≠0. 经细胞网络 这证明了系统(2)和(3)通过变换y=H(x)=Ax 达到广义同步. =-为一 2=x十032 (6) 推论设A∈RM可逆，其中A(A)n,A x=B+xx-cx;+d(Px+xP) ∈RM,DCRA0M,x,y,xo,Ay∈D,映射p,:D一D. 其中，a=0.15,b=0.20,c=4.1,d=0.005,P-tridiag(1,-2,1) 若映射p在D中半下降，则当o2a时，系统 是10×10的三对角矩阵，B是所有元素为b的10×10 =px计Ψx),1,2,…,n (4) 的矩阵. =Ap(4yH2A,((+o)-%,k1,2,,n(5) 设p(x)(0,0,-cx), 通过变换y=Hx=Ax达到广义同步 W(x)=(-x:-xx+axz,B+xxxr+d(Pxs+x,P)), 证明设Ay,则行A少.设B=A',B=-(B,)m EE O B,∈RM,则 A=0E0. 00E z=p(ztΨx)+ax-z) 其中，E是单位矩阵，因此A可逆.下证x)下降.事 设e=x-乙，其中 实上，对任意x,z∈R1o0,-(k12x)x-(xw）oo, e=(en,ex,e),ex=x-z 则 ex=x-i=0(x)-0(z)-o(x-z) k=1,2,3,trace((x-z)(p(x)-p(z)))=-cE(xw-zs)50, 构造Lyapunov函数W之trace(e'e),则对任意 则根据定理1，响应系统应有如下形式： y=-X:-xj+x+ax 的e≠0，有>0，且由于p在D中半下降， y=-x+axz (7) V=trace(x-z)"(o(x)-o(z))-otrace((x-z)(x-z))s b=B+xx1-cy+dPx+P） (a-o)trace((x-z)"(x-z))<0 由定理1可知，系统(6)和(T)通过变换=Hx) 这证明了(4)和(5)两系统通过变换y=H(x) =Ax达到广义同步. =x达到广义同步 计算机模拟结果如图1和图2所示. (a) (b) (c) 0.2 0.2 0.2 0. 0 0 02 0.2 0.2 0 0.5 0.5 0 0.5 0 0 X2L -10.5 y2LI -10.5 11 y211 -10.5y1,1-L1 0.5 (d) 图1状态变量的复杂极限环轨道：(a)x,x,;(b)y,L,yu;(何状 态变量y一，，的解码轨道；(d变量通过线性变换A达到广义同步 0 Fig.1 Complex limit cycle trajectories of the components of state variables: (a)(b)yuya,y;(c)decoded trajectory of the state variables yu,(d)variables are in complex limit cycles generalized 0.5 synchronization via a transformation A 0.5 0 0.5 x11 例2驱动系统同例1，参数c=10,-0.01,且取 y=-x2-x+x+ayz+o(x+x-y) Jy2=x1+y2+x2-y2) (8) (x)-(0,ax2,0),w(x)-(-x2-x,xi,B+xxx-cxj+d(Pxj+ xP)r,则p(x)不下降，另trace(x-zr(o(x)-p()F ly;=B+xxxi-cx;+d(Pxj+x,P)+a(x-yi) 由定理2可知，系统(8)和(6)通过变换y=H) a2c-2P≤a2艺cxw-zw广=atrace(Ge-2tr-z》 310 El-l =Ax达到广义同步， 设一a,则据定理2，响应系统应有如下形式： 计算机模拟结果如图3和图4所示

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 艺 一 尹众 一 职 卜 一 之 势 一 俨 ， 对 任 意 的 羊 。 这 证 明 了系 统 和 通 过 变 换厂洲伙卜月工 达 到广 义 同步 推 论 设通任 ·’ 闭 “ ‘ ” ‘ 幼 可 逆 ， 其 中 叼， 。 ·， ， 。 任 州 别 ， 。 。 ‘ 胡 ” ， 沙 ， 洲 一 沙沂 ， 映射 沙 一 若 映射 在 中半 下 降 ， 则 当。 七 时 ， 系统 价止伙 协 ， ，， 、 劳二 艺月，矶叼 一 通认哟 残 一 叭 ， ， ，… ， ， 产 通 过 变 换厂万以卜月无达 到广 义 同步 证 明 设护月 一 沙 ， 则之井月 一 沙 设 钊 一 ’声 必娜 氏 气则 叭 十叭 州沐 众一 设 一 ， 其 中 ，，负 ，… ， ， 止二浑石一 ， 则 自牛浑七一 产熟 一 仇 一 州沐 孟一 ， 构造 函数 叶脉 ， 则对 任 意 的 羊 。 ， 有 岭 ， 且 由于势在 中半下 降 ， 卜廿 一 一 一比 一 一 ‘ 一 的 一 一幻 这 证 明 了 和 两 系 统 通 过 变 换厂洲卜 气刁义 达 到 广 义 同步 实例 例 设驱 动 系统 是类 似 于 系统 的神 经 细 胞 网络 尤 卿 其 中 ， ， 厂 月匕 ， 到对 ，一 ， 是 的三 对 角矩 阵 ， 是所有元 素为 的 的矩 阵 设 ， ，一 ， 州扮 一与内 刀七狡浑 入 卿， 」一阵” ” 竺 其 中 ， 是 单位矩 阵 ， 因此 可逆 下证 下 降 事 实上 ， 对 任 意 ， 任侧 ，“ ’ ” ’ ， 丙丙 声尸以动 ，。 二 。 ， ‘， ， ‘ 一 ， 一 一嗯畅 一斌 ‘ ， 则 根据 定 理 ， 响应 系统 应 有 如 下 形 式 由定理 可 知 ， 系统 和 通 过 变换产引卜 只刁劣 达 到广 义 同步 计 算 机 模 拟 结 果 如 图 和 图 所 示 最 刁 工‘ ‘ 一 刁 处， 一 刁 ， 儿 一 刁 一夕 ， 一 图 状态 变 的 复杂极 限环 轨道 ， 介 ， 为 伪 ，， ，，为， 状 态 变里’ ， 一为，为，为，，的解码轨道 变 通 过线性变换 达到 广义 同步 · 血 ，，， ，，， 为 ， 间 ，，‘， ， ， ，， 叮 由 夕 ，，，一为 】 ，，，儿 ，，，为 ，，， 加 沙 坛 刁 入二 例 驱 动 系统 同例 ， 参 数 ， ，且 取 切 ， ， ， 州沐 一燕一为内刀忱详 一 武八 刁 工尹 ， 则 不 下 降 ， 另仕 一 一 尹 艺 厂几扩‘ 艺艺， 。 一，扩 · 一 一 了产 卜 咭 设 ，则 据 定 理 ， 响应 系 统 应 有如 下 形 式 戈泛一 十刃叹忱尹 十州沐，一夕 由定理 可 知 ， 系统 和 通 过变 换犷召伙 二刁戈 达 到广 义 同步 计算机 模 拟 结 果 如 图 和 图 所 示

Vol.26 No.2 张晓丹等：阵列动力系统广义同步的新理论及计算机模拟 ·213· (a) (c) 0.2 0.2 0.2 0 0 0.2 0.5 0.5 0 0.5 0 0.5 0.5-0.5 153 y2 0.5-0.5 0.50.5 y15.3一y5.3 0.3 (d) 0.2 1. 图2状态变量的复杂极限环轨道：(a)5(b)ys,s,s;(C)状态变 0.1 量yu一s的解码轨道；()变量通过线性变换A达到广义同步 Fig.2 Complex limit cycle trajectories of the components of state variables: 0 (a)(b)y(c)decoded trajectory of state variables yiss-yass, 0. viss,yiss;(d)variables are in complex limit cycles generalized synchronization via 0. a transformation A 0.20.1 00.1 0.2 0.3 X155 (a) b (c) 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0. 0. 0 ,0 0 0 -3-3 -3-5 -3-3 1一y21,1 (d) 图3状态变量的混沌轨道：(a)x,x,xu(b)y,h,u(C)状态变量 hu一，，.的解码轨道(@)变量通过线性变换A达到混沌广义同步 rRE-mK Fig.3 Chaotic trajectories of the components of state variables:(a) 0 (b)y(c)decoded trajectory of state variables yy, y;(d)variables are in chaotic generalized synchronization via a transforma- tion A 0 2 (a) (b) (c) 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0 0 0 x0 0 0 0 -2-2 -2-2 V2s.s -2-2 yh5一y5 1.5 1.0 d 图4状态变量的混沌轨道：(a)x1sxxs;(b)y,s,s;(C)状态变量 0.5 hss一ss,s的解码轨道(d)变量通过线性变换A达到混沌广义同步 0 Fig.4 Chaotic trajectories of the components of state variables:(a)ss, 0.5 xss;(b)yiss,yiss,yass;(c)decoded trajectory of state variables yiss-yiss,yass, -1.0 yss;(d)variables are in chaotic generalized synchronization via a trans- -1.5 2 0 formation A X55

一 张晓丹 等 阵列 动 力系统 广 义 同 步 的新理 论 及 计 算机模 拟 刁 刁 ” 只 ︸ 只共 ︸ 从甲降 刁 刁 ” ， ， 一 刁 一，，一少、 ，， 刁 刁 图 状 态 变旦 的 复杂极 限 环轨道 。 ， 翻 ，， 翔‘ 。 ，为。 ，为 ， ‘ 状 态 变 最 。 一为。 妙 ， ” ，为 占 的解码 轨道 变 量通 过 线 性 变换刁 达 到 广义 同步 咭 · 血 ，，，， 丸 ，， 与。 ， 。 ， 。 ，，为。 ，，一 。 ， ，，，为” 吐 认 月 “ 入哟‘共工 刁 戈 ，， 伪 刁 刁 刁 丸曰 城的尸 只二 只二 一刁 为 一 弓 一少，， 图 状 态 变 量 的 混 沌轨道 为， ， 为， ， 为， 为， ， 为， ， 为， 状 态 变量 ， 一为， ， 为 ，为 ，的解码轨 道 变 量 通 过 线 性变换 达 到 混 沌广义 同 步 · ，，， 为，，，， 为，， ，，，，， ，，，， ，， ，，，一少盆，，，， 为 ， ， 七 坛 ，‘ 入从二人工 升牡 一 、曰︸ 入梢 气 礴 刁 一 几 ，， 一 刁 一 ， 为” 一 ” 一为” 丽 共 只 从刁 一 ， · “ 一 ‘ 一 图 状 态 变量 的 混 沌 轨 道 ，， 翻 ，， 肠。 ，浮，为。 ，为。 状 态 变且 ，浮一乃。 ， 为 ，，为 ，，的解码轨 道 变量 通 过 线 性 变换月 达 到 混 沌 广 义 同步 啥 呵 ，，， 朴，占， 与。 伪 ，，， 。，，为。 祖 ， ，一 ，， ，， 少、 血 代 住 往

214 北京科技大学学报 2004年第2期 3结论 dictability,and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems [J].Phys Rev Lett,1996,76:1816 在广义同步的研究中，构造可预见的广义同 7 Hunt B R,Ott E,York JA.Differentiable generalized syn- 步系统是一个重要的课题，本文在给出阵列广义 chronization of chaos [J].Phys Rev,1997,E55:4029 同步定义的基础上，提出了两个构造可预见广义 8 Carroll TL,Pecora L M.Using multiple attractor chaotic 同步系统方法的定理，并举例说明了该方法是有 systems for communication [J].Chaos,1999(9):445 9 Murali K,Laskshmanan M.Secure communication using 效的。 a compound signal from generalized synchronizable sys- 参考文献 tems [J].Phys Lett,1998,A241:303 10 Min L Q,Zhang X D,Yang M.Secure communication by 1 Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic sys- generalized chaotic synchronization J Univ Sci Tech- tems []Phys Rev Lett,1990,64:821 nol Beijing,2003,10(2):75 2 Winful HG,Rahman L.Synchronous chaos in coupled os- 11 Kocarev L,Parlitz U.Generalized synchronization,pre- cillator systems [J].Phys Rev Lett,1990,65:1575 dictability,and equivalence of unidirectionally coupled 3 Cuomo K M,Oppenheim A V.Circuit implementation of dynamical systems [J].Phys Rev Lett,1996,76:1816 synchronization chaos with applications to communica- 12 Yang T,Chua L O.Channel-independent chaotic secure tions []Int Bifurcation Chaos,1993(3):1629 communication [J].Int J Bifurcation Chaos,1996,6(12): 4 Wu C W,Chua L O.Transmission of digital signals by cha- 2653 otic synchronization [J].Int J Bifurcation Chaos,1993(3): 13 Henry K I,Rulkov N F.Generalized synchronization of 1619 chaos:auxiliary system approach [J].Phys Rev E,1996, 5 Wu C W,Chua L O.A unified framework for synchron- 53:4528 ization and control of dynamic systems [J].Int J Bifurca- 14 Zhang X D,Min L Q.Theory for constructing generalized tion Chaos,1994(4):430 synchronization and applications [J].J Univ Sci Technol 6 Kocarev L,Parlitz U.Generalized synchronization,pre Beijing,2000,7:235 Theorems and Computer Simulations on the Generalized Synchronization of Array Dynamical Systems ZHANG Xiaodan,ZHANG Lili,MIN Lequan Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT Two theorems are presented for constructing array dynamical systems with generalized synchroniza- tion(GS)with respect to linear transformations.Two array dynamical systems with GS are introduced based on the theorems.Numerical simulations show that the two systems display complex limit cycle GS and chaotic GS,respec- tively. KEY WORDS chaos;generalized synchronization;array dynamical systems

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 结 论 在广 义 同步 的研 究 中 ， 构造 可预 见 的广 义 同 步系统是 一个重 要 的课题 本文在给 出阵列广 义 同步定义 的基 础 上 ， 提 出 了两 个构造 可 预 见广 义 同步系统 方法 的定理 ， 并举例 说 明 了该方 法 是有 效 的 参 考 文 献 ， 印 乙蛇 ， ， ， ， ， ， 政 刀 叮 ， ， 妙 ， ， 乙 加 ， ， 故 ， ， 月 ， ， ， ， ， ， 翻 ， 七 明 ， ， 切 吨 认， · 刀 ， ， ， ， 芍川 了 妙 刁时 月 介 ， ， ， ， ， 闭 ， ， 、 乞 ， 如 眠 加 ， ， ， 泳 泣 脚 鲜 朗 刀 ， ， 华 ， 呷 ” 罗 远 刁戏 介 ， ， 子 口由” ， 子去 ， 人叹 ， ， ， 腼 于 〔 司泳 仓 别比 叮 ， 即比盯