4.色散关系(晶格的振动谱) 色散关系:频率和波矢的关系。 (1)色散关系的数学表达式 将间谐振动方程:xn= e i(at-mag代入 牛顿方程:mdxt2=k、(xn++xnr2xn) 得 a=1-cos(qa)2k/m 或a=2(km)2in(gu2) 上式为一维简单晶格中格波的色散关系(O--q 的关系),也为频谱关系。 0-q的关系为周期函数
4. 色散关系（晶格的振动谱） 色散关系：频率和波矢的关系。 （1）色散关系的数学表达式 将间谐振动方程：xn=Ae i(t-naq)代入 牛顿方程： md2xn /dt2=ks (xn+1+xn-1 -2xn ) 得 ： 2={1-cos(qa)}2ks /m 或 =2(ks /m)1/2|sin(qa/2)| 上式为一维简单晶格中格波的色散关系（ ---q 的关系)，也为频谱关系。 ---q的关系为周期函数
根据函数的周期性,|qm/2|sm2 ql swla 在此范围以外的一切q值,只是重复此范围的q 值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度 (-ma|+ma=2m)。 q的正负号说明: 正的q对应在某方向前进的波,负的q对应于相 反方向进行的波
根据函数的周期性，|qa/2|/2 即 |q| /a 在此范围以外的一切q值，只是重复此范围的q 值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度 (|-/a |+|/a|= 2/a) 。 q的正负号说明： 正的q对应在某方向前进的波，负的q对应于相 反方向进行的波
(2)频谱图 色散关系为周期函数; 当q=0时,O=0 当sin(qa/2)=±1时,o有最大值,且omax=2(k/m)12 max max 2/a 7/a 0 T/a 2t/a 维不喇菲格子振动的频谱
色散关系为周期函数； 当q=0时，=0 当sin(qa/2)=1时，有最大值， 且max=2(ks /m)1/2 -2/a -/a 0 /a 2/a max max 一维不喇菲格子振动的频谱 （2）频谱图
有:0(q)=0(q+2T/a) 说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊 区边长 由布里渊区边界q=m/a=2T/ 得:^/2=a满足形成驻波的条件 q=±πa正好是布里渊区边界,满足布拉格反射条 件,反射波与入射波叠加形成驻波。 入射波 ●●● 反射波
有： (q)= (q+2 /a) 说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊 区边长. 由布里渊区边界 q= /a=2 / 得： / 2 = a 满足形成驻波的条件 q= ±/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条 件，反射波与入射波叠加形成驻波。 入射波 反射波
(3)分析讨论 维单原子简谐振动的波函数:xn=4e1ammr 将波矢:q=2mw/+q(为任意整数)代入 得 x=Eilat(274S/a+q na= Aei nsn ei(@t-q na) el27sn=I r,=Aeiot-q'naf=n 结论 如果q-q′=2s/a(为任意整数)这两种波矢对同一种原子所引 起的振动完全相同 对应某一确定振动状态,可以有无限多个波矢q,它们之间都相 差2/a的整数倍。 为了保证xn的单值性,把q值限制在(-a,/a),其中a是该格子的 晶胞常数,该范围正好在第一布里渊区
一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aei{t-qna} 将波矢 ： q=2s/a+q´（为任意整数）代入 得 xn=Aei{t-(2s/a+q´ )na} = Aei 2sn e i(t- q´ na) e i 2sn=1 xn=Aei{t-q´na}= xn ´ (3) 分析讨论 结论 • 如果q -q ´ =2s/a （为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引 起的振动完全相同。 • 对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢q，它们之间都相 差2/a的整数倍。 • 为了保证xn的单值性，把q值限制在(-/a, /a), 其中a是该格子的 晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区