中学代数研究】 第一讲数与数系 一、数系的历史发展 ()数学思维对象与实体的分离 数的概念的产生和发展 人类在腺胧时代就已具有识别事物多寡的能力。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的 形成，是一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一 只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别， 逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。 数：一定物群所共有的抽象性质。 “数”概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前。 I最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信总 Ⅲ结绳计数、刻痕计数。 人类刻痕计数发现的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨，其上有55道刻痕。 历史途径扩展： *自然数{1,2,3一正有理数一简单的代数无理数（如√反，√互+√万等）一零（公元650年左右， 印度)与负有理数一复数一严格的实数系。 逻辑扩展： 自然数负数降→整数系作分数城→有理数系作相价类→实数系作2流代展→复数 系。 注：四元数H(a,b,c,d不满足某些数的性质，故不属于数系。 (②从一个数系A扩展到新的数系B,应当遵循如下的结构主义原则： ①A是B的真子集，即ACB。 ②在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系，在B的元间也有相应的定义，且B的元 间的这些关系和运算对B中的A的元来说与原定义一致：这保证老结构和新结构彼此相容。 ③B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是总能实施，在B中却总能实施。 ④在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B是唯一最小扩展。 (补充)基本概念 同构一一(A)与(B,⊙)是两个代数系统。若存在A到B上的一一映射∫，且a,b∈A,有 f(a*b)=f(a)ef(b),则称(A)与(B,⊙)同构，f为同构映射。 扩张一—若B是B的一个真子集，且(4)与(B,⊙)同构，则称(B,⊙)是(4)的一个扩张。 二、自然数系和0 (①自然数的基数理论和序数理论
中学代数研究 1 第一讲 数与数系 一、数系的历史发展 ⑴数学思维对象与实体的分离 数的概念的产生和发展 人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的 形成，是一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别， 逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。 数：一定物群所共有的抽象性质。 “数”概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在 30 万年以前。 Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信息。 Ⅲ结绳计数、刻痕计数。 人类刻痕计数发现的最早证据，是 1937 年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨，其上有 55 道刻痕。 历史途径扩展： *自然数 1,2,3 →正有理数→简单的代数无理数（如 2, 2 + 3 等）→零（公元 650 年左右， 印度）与负有理数→复数→严格的实数系。 逻辑扩展： 自然数 ⎯添加负数和零 ⎯⎯ ⎯→ 整数系 ⎯作分数域 ⎯ ⎯→ 有理数系 ⎯作柯西序列等价类 ⎯⎯⎯ ⎯→ 实数系 ⎯作⎯2次代数扩展 ⎯⎯⎯→ 复数 系。 注：四元数 H(a,b,c,d) 不满足某些数的性质，故不属于数系。 ⑵从一个数系 A 扩展到新的数系 B，应当遵循如下的结构主义原则： ①A 是 B 的真子集，即 A B 。 ②在新数上建立各种运算。A 的元间所定义的运算关系，在 B 的元间也有相应的定义，且 B 的元 间的这些关系和运算对 B 中的 A 的元来说与原定义一致；这保证老结构和新结构彼此相容。 ③B 的结构和 A 的结构可能有本质不同。某种运算在 A 中不是总能实施，在 B 中却总能实施。 ④在 A 的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B 是唯一最小扩展。 （补充）基本概念 同构—— (A, ) 与 (B,) 是两个代数系统。若存在 A 到 B 上的一一映射 f ，且 a,b A ，有 f (a b) = f (a)f (b) ，则称 (A, ) 与 (B,) 同构， f 为同构映射。 扩张——若 B 是 B 的一个真子集，且 (A, ) 与 (B,) 同构，则称 (B,) 是 (A, ) 的一个扩张。 二、自然数系和 0 ⑴自然数的基数理论和序数理论
中学代数研究 ①建立自然数理论的几种方案 【康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论： Ⅱ皮亚诺以公理法为基础，建立自姚数序数理论！ Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论 ②自然数的基数理论 1定义。基数→有限集一自然数 自然数：有限作的其数 Ⅱ顺序。 (a)顺序定义 如果有限集A,B的基数分别为a,b。那么， 当A~B时，说a等于b,记作a=b: 当A~B'CB时，就说a小于b,记作a<b: 当ApA'~B时，就说a大于b,记作a>b。 (b)顺序性质 [相等。反身性、对称性、传递性(T) 对逆性 a与b 大小（全序性传递性(Th2) 三歧性 Th11)a∈N,有a=a 2Na,beN,若a=b,则b=a (3Ha,b,ceN,若a=b,b=c,则a=c Th21)Ha,b∈N,当且仅当a<b时，b>a (2Ha,b,c∈N,若a<b,b<c,则a<c (3Na,b∈N,在a<b,a=b,a>b中有且只有一个成立。 证：I)设A,B都是有限集。A=a,B=b。则存在B'cB,则A~B'cB即 当BB'~A时，b>a:同理，当b>a时，a<b。 (2)设A、B、C都是有限集，A=a,B=b,C=c。根据定义，存在集合B、C',使得 A~BcB,B~C'cC,这就有集合C"cC',且C"cB,于是 A~C"cC'cC,即a<c。 Ⅲ运算 (a)运算定义 加法定义：设A,B都是有限集。A=a,B=b,且A⌒B=中，则AUB的基数为a加上b的和， 记作a+b。 乘法定义：若b个有限集A,A,.,A,彼此之间没有公共元素，它们的基数都是a,则称
中学代数研究 2 ①建立自然数理论的几种方案 Ⅰ康托尔以集合论为基础，建立自然数基数理论； Ⅱ皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序数理论； Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理论。 ②自然数的基数理论 Ⅰ定义。基数→有限集→自然数 自然数：有限集的基数。 Ⅱ顺序。 (a) 顺序定义 如果有限集 A, B 的基数分别为 a,b 。那么， 当 A ~ B 时，说 a 等于 b ，记作 a = b ； 当 A ~ B B 时，就说 a 小于 b ，记作 a b ； 当 A A ~ B 时，就说 a 大于 b ，记作 a b 。 (b) 顺序性质 （ ） 三歧性 传递性 对逆性 大小（全序性） 相等。反身性、对称性、传递性（ ） 与 2 1 Th Th a b a b c N a b b c a c a b N a b b a Th a N a a = = = = = = ⑶ 若 则 ⑵ 若 则 ⑴ 有 , , , , , , , , 1 , ⑶ 在 中有且只有一个成立。 ⑵ 若 则 ⑴ 当且仅当 时， a b N a b a b a b a b c N a b b c a c Th a b N a b b a = , , , , , , , , , 2 , , ，即 。 ，这就有集合 ，且 ，于是 ⑵设 、 、 都是有限集， ， 。根据定义，存在集合 、 ，使得 当 时， ；同理，当 时， 。 证：⑴设 都是有限集。 。则存在 则 即 A C C C a c A B B B C C C C C B A B C A a B b C c B C B B A b a b a a b A B A a B b B B A B B = = = = = ~ ~ , ~ , ~ , , , ~ . Ⅲ运算 (a) 运算定义 加法定义：设 A, B 都是有限集。 A = a,B = b,且A B = ，则 A B 的基数为 a 加上 b 的和， 记作 a + b。 乘法定义：若 b 个有限集 A A Ab , , , 1 2 彼此之间没有公共元素，它们的基数都是 a ，则称
中学代数研究 AUA,UUA,的基数为a乘以b的积，记作a×b。 (亿)运算性质 T3自然数的加法满足交换律和结合律。 Th4(乘法交换律)a,b∈N恒有ab=ba。 T5(乘法结合律)a,b,ceN恒有a(bc)=(ab)c Ti6(乘法对加法的分配律)a,b,c∈N,总有db+c)=ab+ac,(b+ca=ba+ca。 析：b+ca=(b+c)+(b+c)++(b+c =b+b+.+b)+(e+c++C =ba+ca ③自然数的序数理论 提出因 基数理论没有很好揭露自然数在顺序上的意义，也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。 Ⅱ定 集合N的元素叫做自然数。如果N的元素间有一个基本关系“后继”（用“+”表示），并满 (a)1eN (b)a∈N,有唯一的a∈N (d)aeN,a不是1 (d)a,beN,若a与b相同，则a=b (e)(归纳公理)若McN,且11∈M2Va∈M,有a∈M。则M=N。 注：归纳公理是数学归纳法的理论依据。 Ⅲ顺序 (a)顺序定义 等于：a,beN,若a与b相同，则a=b。 小于：若a,beN,且存在k∈N,使得a=b+k,则称a大于b,记为a>b。 (亿)顺序性质 自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。 N运算
中学代数研究 3 A1 A2 Ab 的基数为 a 乘以 b 的积，记作 ab。 (b) 运算性质 Th3 自然数的加法满足交换律和结合律。 Th4 （乘法交换律） a,b N恒有ab = ba。 Th5 （乘法结合律） a,b,c N恒有a(bc) = (ab)c。 Th6 （乘法对加法的分配律） a,b,c N,总有a(b + c) = ab + ac,(b + c)a = ba + ca。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ba ca b b b c c c b c a b c b c b c a a a = + + + + + + + + + = + + + + + + 个 个 个 ＝ 析： ③自然数的序数理论 Ⅰ提出原因 基数理论没有很好揭露自然数在顺序上的意义，也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。 Ⅱ定义 集合 N 的元素叫做自然数。如果 N 的元素间有一个基本关系“后继”（用“+”表示），并满 足 (a)1 N (b) a N a N 有唯一的 + , (c) , 不是1 + a N a (d) a b N a b a = b , ,若 +与 +相同，则 (e) （归纳公理） 若M N,且11 M；2a M,有a + M。则M = N。 注：归纳公理是数学归纳法的理论依据。 Ⅲ顺序 (a) 顺序定义 等于： a b N a b a = b , ,若 +与 +相同，则 。 小于： 若a,b N，且存在k N，使得a = b + k,则称a大于b，记为a b。 (b) 顺序性质 自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。 Ⅳ运算
中学代数研究 (a)运算定义 加法：自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何a,b∈N,有唯一确定的a+b∈N, 并且()a+1=a:2a+b=(a+b). 乘法：自然数的乘法是一种对应关系“”，由于它，对任何a,b∈N,有唯一确定的a+b∈N, 并且0a1=a(2)ab*=a-b+a 减法：设a,b∈N,若存在x∈N,使b+x=a,则称x为a减去b的差，记作a-b,这里a叫 做被减数，b叫做减数。求两数差的运算叫做减法。 除法：设a,beN,若存在x∈N,使bx=a,则称x为a除以b的商，记作ab,这里a叫做 被除数，b叫做除数。求两数商的运算叫做除法。 例1证明2+3=5 证2+1=2*=3,2+2=2+1=(2+1)°=3*=4 .2+3=2+2*=(2+2)=4°=5 例2证明23=6 证21=222=21=21+2=4 23=2.2*=22+2=4+2=6 (亿)运算性质 加法的唯一性、结合律、交换律：乘法的唯一性、结合律、交换律。 自然数列的离散性：任意两个相邻的自然数a与a之间不存在自然数b,使a<b<a 阿基米德性：对任意a,b∈N,必有neN,)na>b。 (右分配律)对任何a,b,c∈N,总有(a+b)c=ac+bc 证设使上面等式成立的所有的c组成的集合为M。 (a+b)1=a+b=a-l+b-l,1∈M 假定c∈M,则 (a+b).c*=(a+b)c+(a+b)=ac+bc+a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac*+bc" 于是c∈M,因此，M=N又由a、b的任意性，得证。 4
中学代数研究 4 (a) 运算定义 加法：自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何 a,b N ，有唯一确定的 a +bN ， 并且 ( ) ( ) + + + 1 a +1 = a ; 2 a + b = (a + b) 。 乘法：自然数的乘法是一种对应关系“·”，由于它，对任何 a,b N ，有唯一确定的 a +bN ， 并且 ( )a = a ( )a b = a b + a + 1 1 ; 2 。 减法：设 a,b N ，若存在 x N ，使 b + x = a ，则称 x 为 a 减去 b 的差，记作 a −b ，这里 a 叫 做被减数，b 叫做减数。求两数差的运算叫做减法。 除法：设 a,b N ，若存在 x N ，使 bx = a ，则称 x 为 a 除以 b 的商，记作 a | b ，这里 a 叫做 被除数，b 叫做除数。求两数商的运算叫做除法。 例 1 证明 2 +3 = 5 2 3 2 2 (2 2) 4 5 2 1 2 3 2 2 2 1 (2 1) 3 4, + = + = + = = + = + = + = + = = + + = 证 +＝ ， + + + 例 2 证明 23 = 6 2 3 2 2 2 2 2 4 2 6 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4, = = + = + = = = = + = + 证 ， + + (b) 运算性质 加法的唯一性、结合律、交换律；乘法的唯一性、结合律、交换律。 自然数列的离散性：任意两个相邻的自然数 a 与 + a 之间不存在自然数 b ，使 + a b a 。 阿基米德性：对任意 a,b N ，必有 n N, na b 。 （右分配律）对任何 a，b，cN ，总有 (a + b) c = ac + bc ( ) 于是 ， 因此， 又由 、 的任意性，得证。 假定 ，则 证 设使上面等式成立的所有的 组成的集合为 。 c M M N a b a b c a b c a b ac bc a b ac a bc b ac bc c M a b a b a b M c M . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, 1 = + = + + + = + + + = + + + = + + = + = + + + + +
中学代数研究 (2)关于自然数系的几点说明 2.公理系统的 导出两个矛盾的命题。 3整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 (3)自然数和0 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用 我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数。1993年《中华人民共和 国国家标准》中《量和单位》311页规定自然数包括0。 从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。 g,)便，以(，头使，{外 将这一系列集合所对应的基数看成自然数列0,12,3，. 三、从自然数系到整数环 德国著名数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其它的数都是人造的。” 定义：笛卡儿积N×N上二元关系(a,b)~(C,d)当且仅当a+d=b+c,容易知道这是一个等价 关系，记等价类a,可=a-b,等价类集合记为Z=a-ba,beN},并定义Z上加法、减法、 乘法运算与顺序关系如下： (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) 2(a-b)-(c-d)=(a-b)+(d-ch 3)(a-bXc-d)=(ac+bd)-(ad+bc). ④a-b≤c-d当且仅当a+dsb+c 性质： [整数加法、乘法运算与代表元选择无关： ①保留N性质 整数的加法满足结合律和交换律： 整数的乘法满足结合律和交换律： 整数的乘法对加法的分配律 ②（增加的性质）Z的减法封闭，引入零元、负元。 零元：，l):(6,a为a,b的负元，记为-(a,b) 顺序： ①顺序定义
中学代数研究 5 ⑵关于自然数系的几点说明 ⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算术系统。 ⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑上的相容性，也就是说必须保证从公理出发不会推 导出两个矛盾的命题。 ⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 ⑶自然数和 0 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。 我国数学教科书中在 20 世纪 90 年代之前一直没有把 0 作为自然数。1993 年《中华人民共和 国国家标准》中《量和单位》311 页规定自然数包括 0。 从集合论的角度看，把 0 作为自然数比较合理。 ,,,,(,,,, ) 将这一系列集合所对应的基数看成自然数列 0,1,2,3, 三、从自然数系到整数环 德国著名数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其它的数都是人造的。” 定义：笛卡儿积 N N 上二元关系 (a,b) ~ (c,d) 当且仅当 a + d = b + c ，容易知道这是一个等价 关系，记等价类 (a,b) = a − b ，等价类集合记为 Z = a −b | a,b N ，并定义 Z 上加法、减法、 乘法运算与顺序关系如下： ⑴ (a −b)+ (c − d) = (a + c)−(b + d); ⑵ (a −b)−(c − d) = (a −b)+ (d − c); ⑶ (a −b)(c − d) = (ac +bd)−(ad +bc); ⑷ a − b c − d当且仅当a + d b + c 性质： ① 整数的乘法对加法的分配律 整数的乘法满足结合律和交换律； 整数的加法满足结合律和交换律； 整数加法、乘法运算与代表元选择无关； 保留N性质 ②（增加的性质） Z 的减法封闭，引入零元、负元。 零元： (1,1) ； (b,a)为(a,b)的负元，记为− (a,b)。 顺序： ①顺序定义