《数学教学论》课程教学资源（初等代数研究讲义）第三章 函数

初等代数研究 第三章函数 一、函数的发展 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地 位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以 各种不同的函数作为它们的数学模型 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16一17世纪才逐渐产生， 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数S=g。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际 上也引入了变量，他在指出x,y是变量的同时，还注意到y依赖于x而变化，这正是函数思想的萌 芽。 牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。动点的位置是时间的 函数x=x)y=y)。牛顿创立微积分的时候，用“流数”(Fluent)一词表示变量间的关系。莱 布尼茨在l673年的手稿中则用“Function”一词。李善兰在《代微积拾级》一书中将Function一词 翻译为“函数”，并一直沿用至今。 函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。 1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即 当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 851年，黎曼定义：“我们假定Z是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量W的一个 值与之对应，则称W是Z的函数”。 1939年，布尔巴基学派的著作认为，若E,F是两个集合，二者的笛卡儿积是指 {x,川x∈X,y∈Y}XY中的任何子集S称为x,y之间的一种关系。如果关系F满足：对于每 个x∈X,都存在唯一的一个y,使得(y)EF,则称关系F是一个函数。 这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。这是函数概念的三个里程碑。 总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。 界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50 年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学】函数概念与基本初等函数【（指数函数 对数函数、幂函数)：数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。 二、函数概念的三种定义 1.函数概念的定义 第1页共8页

初等代数研究 第1页 共8页 第三章 函数 一、函数的发展 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地 位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以 各种不同的函数作为它们的数学模型。 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的 16－17 世纪才逐渐产生。 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数 2 2 1 S = gt 。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际 上也引入了变量，他在指出 x, y 是变量的同时，还注意到 y 依赖于 x 而变化，这正是函数思想的萌 芽。 牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。动点的位置是时间的 函数 x = x(t), y = y(t) 。牛顿创立微积分的时候，用“流数”（Fluent）一词表示变量间的关系。莱 布尼茨在 1673 年的手稿中则用“Function”一词。李善兰在《代微积拾级》一书中将 Function 一词 翻译为“函数”，并一直沿用至今。 函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。 1755 年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即 当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 1851 年，黎曼定义：“我们假定 Z 是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量 W 的一个 值与之对应，则称 W 是 Z 的函数”。 1939 年，布尔巴基学派的著作认为，若 E, F 是两个集合，二者的笛卡儿积是指 (x, y)| x X, yY。 XY 中的任何子集 S 称为 x, y 之间的一种关系。如果关系 F 满足：对于每 一个 x X ，都存在唯一的一个 y ，使得 (x, y)F ，则称关系 F 是一个函数。 这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。这是函数概念的三个里程碑。 总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。 在 20 世纪以前，中学数学的中心是方程。1908 年，数学家 F·克莱因担任国际数学教育委员 会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世 界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 中国也是这样。1949 年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了 20 世纪 50 年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学 1 函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、 对数函数、幂函数）；数学 4 基本初等函数Ⅱ（三角函数）。 二、函数概念的三种定义 ⒈函数概念的定义

初等代数研究 定义1有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫 做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自 变量的函数。(19世纪法国数学家柯西) 义 在某变化过程中 有两个变量x和y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值 按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数：x称为自变量。(19 世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出) 定义3A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯 元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。(19世纪0年代德国数学家康 托 定义4从集合A到集合B的映射∫：A→B称为从集合A到集合B的函数，简称为函数∫。 (高等代数课程) 定义5从集合A到集合B的函数∫是满足以下条件的从A到B的一个关系： ()Df）=A:(2如果(x,y)ef,并且(k,)ef,那么y=:。 函数f记作∫：A→B。 2函数概念的三种定义 @高益袋毫设霍个变化过程中有丙个变量x和y,如果变量)随有x的变化面变化，那么效说 x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。 这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化， 正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。 (2)函数的对应说定义 设A为非空实数集，如果存在一个对应规律f,对A中每个元x按照对应规律∫，存在R中 唯一的一个实数v与之对应，则称对应规律f是定义在A上的函数，表为 f:A→R 这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本 上就用这种定义。 目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于 映射是用对应 定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。 (3)函数的关系说定义 设∫是集合X与集合Y的关系，即f∈X×Y。如果还满足(x,y)∈f,(x,y2)∈f,则 =，那么称∫是集合X到集合Y的函数 函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方 面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有 解析式的表达，所以初学者不易掌握。 第2页共8页

初等代数研究 第2页 共8页 定义 1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫 做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自 变量的函数。（19 世纪法国数学家柯西） 定义 2 在某变化过程中，有两个变量 x 和 y 。如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， 按照某个对应关系， y 都有唯一确定的值和它对应，那么就把 y 称为 x 的函数； x 称为自变量。（19 世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出） 定义 3 A 和 B 是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A 的任何一个元素在 B 中都有唯一 的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合 A 到集合 B 的函数。（19 世纪 70 年代德国数学家康 托） 定义 4 从集合 A 到集合 B 的映射 f : A → B 称为从集合 A 到集合 B 的函数，简称为函数 f 。 （高等代数课程） 定义 5 从集合 A 到集合 B 的函数 f 是满足以下条件的从 A 到 B 的一个关系： ⑴ D(f ) = A ；⑵如果 (x, y) f ，并且 (x,z) f ，那么 y = z 。 函数 f 记作 f : A → B 。 ⒉函数概念的三种定义 ⑴函数的变量说定义 一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，如果变量 y 随着 x 的变化而变化，那么就说 x 是自变量， y 是因变量，也称 y 是 x 的函数。 这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化， 正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。 ⑵函数的对应说定义 设 A 为非空实数集，如果存在一个对应规律 f ，对 A 中每个元 x 按照对应规律 f ，存在 R 中 唯一的一个实数 y 与之对应，则称对应规律 f 是定义在 A 上的函数，表为 f : A → R 这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本 上就用这种定义。 目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于 映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。 ⑶函数的关系说定义 设 f 是集合 X 与集合 Y 的关系，即 f  X Y 。如果还满足 (x , y ) f ,(x , y ) f 1 1 1 2 ，则 1 2 y = y ，那么称 f 是集合 X 到集合 Y 的函数。 函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方 面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有 解析式的表达，所以初学者不易掌握

初等代数研究 上述三种函数定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于 初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关 系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。 3函数在中学数学中的重要作用 函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的： 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看， 函数是 的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系 例如， 代数式2a2+3a-1,可以看成是函数y=2x2+3x-1在x=a时的值： 方程fx)=0的根，可以看成是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标 不等式f(x)>0的解，可以看成是函数y=f(x)的图像上位于x轴上方部分的点的横坐标集 闪 等比数列1,2,4,8，可以看成是函数y=2(x=1,2,3)的另一种表示：等等。 函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如 证明：C。+C+C日+.+C=2”,只要令函数y=(1+x)”=C9+Cx+Cx2++Cx 中的x=1即可。 又如：已知a>6,那么，启行成立的充要条件是《）。 (a)a>b>0(B)b<a<0(Ca>0>b(D)0<b<a<1 引进函数y= ,此函数在区间（∞，0以.(0，+∞）上都是诚函数。易知，当条件A、B或D之一成立 均有。，当且仅当c使时，有·所以 函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生 产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。 作业1 自学课本第五节函数概念的教学，并就函数的三种定义（变量说、对应说、关系说）选择一种 分析其优缺点。 第3页共8页

初等代数研究 第3页 共8页 上述三种函数定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于 初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关 系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。 ⒊函数在中学数学中的重要作用 函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数 的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。 例如， 代数式 2 3 1 2 a + a − ，可以看成是函数 2 3 1 2 y = x + x − 在 x = a 时的值； 方程 f (x) = 0 的根，可以看成是函数 y = f (x) 的图像与 x 轴交点的横坐标； 不等式 f (x)  0 的解，可以看成是函数 y = f (x) 的图像上位于 x 轴上方部分的点的横坐标集 合； 等比数列 1,2,4,8,  ，可以看成是函数 y = 2 (x =1,2,3, ) x 的另一种表示；等等。 函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如 证明： n n Cn Cn Cn Cn 2 0 1 2 + + ++ = ，只要令函数 n n n n n n n y = + x = C + C x + C x ++ C x 0 1 2 2 (1 ) 中的 x =1 即可。 又如：已知 a  b ，那么， a b 1 1  成立的充要条件是（ ）。 (A) a  b  0 (B) b  a  0 (C) a  0  b (D) 0  b  a 1 引进函数 x y 1 = ，此函数在区间 (−,0),(0,+) 上都是减函数。易知，当条件 A、B 或 D 之一成立 时，均有 a b 1 1  ，当且仅当 C 成立时，有 a b 1 1  。所以选 C。 函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生 产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。 作业 1 自学课本第五节函数概念的教学，并就函数的三种定义（变量说、对应说、关系说）选择一种 分析其优缺点

初等代数研究 三、初等函数 1.初等函数的定义 中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角 函数等，称为基本初等函数。 定义（初等函数）由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做 初等函数。 基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。 例如y=[x,y= <0)=1+x+x2+.等都不是初等函数 x.x≥0 定义（代数函数）如果一个函数是用基本初等函数f(x)=x和f(x)=c(初等代数式)经过 有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做代数函数。不是代数 函数的初等函数叫做超越函数。 初等函数的分类 初等函数代数函数/有理函数有理整函数 有理分函数 无理函数 超越函数 例证明指数函数y=a(a>0,a≠)是超越函数 见课本P100例1 2初等函数的定义域和值域 ①函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义） 的自变量的取值范围。 确定初等函数定义域的原则 若fx)是整式，则定义域为全体实数： 若fx)是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数： 若fx)是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数 函数fx)=x°的定义域是(o,0八U0,+∞) 例用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x,求此框架围成 的面积y与x的函数关系y=f(x),并求其定义域。 见课本PI05例2 ②函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合。 第4页共8页

初等代数研究 第4页 共8页 三、初等函数 ⒈初等函数的定义 中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角 函数等，称为基本初等函数。 定义（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做 初等函数。 基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。 例如    = + + +   = = , ( ) 1 2  , 0 , 0 [ ], f x x x x x x x y x y 等都不是初等函数。 定义（代数函数） 如果一个函数是用基本初等函数 f (x) = x 1 和 f (x) = c 2 （初等代数式）经过 有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做代数函数。不是代数 函数的初等函数叫做超越函数。 初等函数的分类                超越函数 无理函数 有理分函数 有理整函数 有理函数 代数函数 初等函数 例 证明指数函数 y = a (a  0,a  1) x 是超越函数 见课本 P100 例 1 ⒉初等函数的定义域和值域 ①函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义） 的自变量的取值范围。 确定初等函数定义域的原则： 若 f (x) 是整式，则定义域为全体实数； 若 f (x) 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数； 若 f (x) 是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数； 函数 ( ) 0 f x = x 的定义域是 (−,0)(0,+)。 例 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为 2x ，求此框架围成 的面积 y 与 x 的函数关系 y = f (x) ，并求其定义域。 见课本 P105 例 2 ②函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合

初等代数研究 四、函数的图像与函数的特征 1关于函数的图像 心理学认为：人们大脑里的长期记忆是以比较稳定的图式结构存在的， 由于每个有序实数对(：，)就与平面上的一个点一一对应。所以作函数图像基本的方法就是描 点法。但是，不可能把函数的每个点都描述清楚，这就需要借助函数的特征，先了解图形的大致轮 廊，然后在做出函数的图形来。 以绘制函数图像y=x2+2x+2为例，讲述绘制函数图像的主要步骤： ()确定函数的定义域 (2)研究函数的有界性： (3)研究函数的奇偶性： (④)研究函数的单调性： (5)研究函数的周期性： (⑥)找出函数的特殊点 (⑦)如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨论函数的变化趋势： (8)用平滑曲线将各部分连接起来，曲线上个别不属于图像的点用“。”表示空缺。 例做出函数y=x+的图像。 解： (函数的定义域：（←o,0U0,+∞ (②)函数的有界性：x→+，x→-0，x→0 (3)函数的奇偶性：奇函数。图像关于原点对称，所以只需在(0，+0)内进行讨论。 ()函数的单调性：设0<x<x2,则 二=G+与-6t)=- x21 当0<<<1时，有-y<0,所以函数在0，)上递减，而.+=+0,在x轴 正向函数值由+0递减到2。 当1≤<x,有为-片>0。所以函数在0，+)上递增，而mG+=+0,在轴正 向函数值由2递增到+0 第5项共8页

初等代数研究 第5页 共8页 四、函数的图像与函数的特征 ⒈关于函数的图像 心理学认为：人们大脑里的长期记忆是以比较稳定的图式结构存在的。 由于每个有序实数对 (x, y) 就与平面上的一个点一一对应。所以作函数图像基本的方法就是描 点法。但是，不可能把函数的每个点都描述清楚，这就需要借助函数的特征，先了解图形的大致轮 廓，然后在做出函数的图形来。 以绘制函数图像 2 2 2 y = x + x + 为例，讲述绘制函数图像的主要步骤： ⑴确定函数的定义域； ⑵研究函数的有界性； ⑶研究函数的奇偶性； ⑷研究函数的单调性； ⑸研究函数的周期性； ⑹找出函数的特殊点； ⑺如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨论函数的变化趋势； ⑻用平滑曲线将各部分连接起来，曲线上个别不属于图像的点用“。”表示空缺。 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 f(x) = x 2+2x+2 例 做出函数 x y x 1 = + 的图像。 解： ⑴函数的定义域： (−,0)(0,+) ⑵函数的有界性： x → +, x → −, x → 0 ⑶函数的奇偶性：奇函数。图像关于原点对称，所以只需在 (0,+) 内进行讨论。 ⑷函数的单调性：设 0 1 2  x  x ，则 ) 1 ) ( )(1 1 ) ( 1 ( 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 x x x x x x x y − y = x + − + = − − 当 0  x1  x2 1 时，有 y2 − y1  0 。所以函数在 (0,1) 上递减，而 + = + → + ) 1 lim ( 0 x x x ，在 x 轴 正向函数值由 + 递减到 2。 当 1 1 2  x  x ，有 y2 − y1  0 。所以函数在 (1,+) 上递增，而 + = + →+ ) 1 lim ( x x x ，在 x 轴正 向函数值由 2 递增到 +