初等代数研究 第五章不等式 一、不等式的橱念 不等式—两个解析式A(x,以，.，)，B(x,y,.,)用不等号连接起来的式子称为不等式： A(x,y,.,)≤B(xy,.,) 不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式 当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，称之为恒不等式，也称之为绝对不等式。 当一个不等式，只当不定元取某些特殊的数值时才成立，我们称之为条件不等式。 二、不等式基本性质 不等式具有如下的基本性质 定理1（传递性）若a>b,b>c,则a>c. 定理2（三歧性）若a>b,a=b,a<b中有且只有一个成立。 定理3若a>b,则a+c>b+c 推论1可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边。 推论2若a>b,c>d,则a+c>b+d。 推论3若a≥b,c<d,则a-c>b-d. 定理4若a>b,则当c>0时，ac>bc:当c<0时，ac<bc。 推论1若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。 推论2者a26>00<c<d则>行 推论3若a>b>0,整数n>1,则a”>b。 推论4若a>b>0,整数n>1,则a>6。 定理5设a>0,则<a的充要条件是-a<x<a:>a的充要条件是x>a或x<-a。 定理6a+≤4+以，其中等号当且仅当b≥0时成立。 推论1a+b≥d- 推论2a±a±.±an≤a+a+.+a 三、绝对不等式的证明 。用放缩法证明不等式 利用放缩法证明不等式的关健是寻找中间变量C,使A<C<B成立，C在量A与B之间架 起一座桥梁，通过桥梁C的过渡，使A与B之间间接地建立起不等关系
初等代数研究 1 第五章 不等式 一、不等式的概念 不等式——两个解析式 A(x, y, ,z), B(x, y, ,z) 用不等号连接起来的式子称为不等式： A(x, y, ,z) B(x, y, ,z) 不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式。 当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，称之为恒不等式，也称之为绝对不等式。 当一个不等式，只当不定元取某些特殊的数值时才成立，我们称之为条件不等式。 二、不等式基本性质 不等式具有如下的基本性质 定理 1（传递性） 若 a b,b c ，则 a c。 定理 2（三歧性） 若 a b,a = b,a b 中有且只有一个成立。 定理 3 若 a b ，则 a + c b + c 推论 1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边。 推论 2 若 a b,c d ，则 a + c b + d 。 推论 3 若 a b,c d ，则 a −c b − d 。 定理 4 若 a b ，则当 c 0 时， ac bc ；当 c 0 时， ac bc。 推论 1 若 a b 0,c d 0, 则 ac bd 。 推论 2 若 a b 0,0 c d, 则 d b c a 。 推论 3 若 a b 0 ，整数 n 1 ，则 n n a b 。 推论 4 若 a b 0 ，整数 n 1 ，则 n n a b 。 定理 5 设 a 0 ，则 x a 的充要条件是 −a x a ； x a 的充要条件是 x a 或 x −a 。 定理 6 a + b a + b ，其中等号当且仅当 ab 0 时成立。 推论 1 a + b a − b 推论 2 a1 a2 an a1 + a2 ++ an 三、绝对不等式的证明 ⚫ 用放缩法证明不等式 利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量 C ，使 A C B 成立， C 在量 A 与 B 之间架 起一座桥梁，通过桥梁 C 的过渡，使 A 与 B 之间间接地建立起不等关系
初等代数研究 例已知n为正整数，试证： 身》 2 分析 -+}+× 由不等式>+mb>a,a6.mER,得 aa+m 名0骨知 将这个同向不等式相乘得 2n-22n 名2 2n2n+1 -2m+>2m+1 3 4 》西华 2 ·构造函数证明不等式 某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些 性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。 例已知a,b∈R,求证： la+bl bl lal 1+a+°1+a1+ 分析 从不等式的结构来看，易构造函数)=中之0)，易证/代在R上是增函数。 因为a+≤al+以，所以fa+帥≤f(d+的。从而有 la+b la+b 1+la+b1+a+ “1+网+闪*1++闪
初等代数研究 2 例 已知 n 为正整数，试证： 2 2 1 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 + − + + + n n 分析 2 1 2 5 6 3 4 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 − = − + + = + n n n 令A 由不等式 ( , , , ) + + + b a a b m R a m b m a b ，得 n n n n n n n n 2 2 1 2 1 2 , 2 2 2 1 2 3 2 2 , , 6 7 5 6 , 4 5 3 4 + − − − − − 将这个同向不等式相乘得 4 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 2 6 7 5 6 4 5 3 4 2 2 1 2 2 2 1 6 7 4 5 2 + + = + − + − − n n n n n n A n n n n A 故 2 2 1 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 + − + + + n n ，证毕。 ⚫ 构造函数证明不等式 某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些 性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。 例 已知 a,b R ，求证： b a a b a b a b + + + + + + 1 1 1 分析 从不等式的结构来看，易构造函数 ( ) ( 0) 1 + = x x x f x ，易证 f (x) 在 + R 上是增函数。 因为 a + b a + b ，所以 f ( a + b ) f ( a + b) 。从而有 b a a b a b a a b b a b a b a b a b + + + + + + + + = + + + + + + 1 1 1 1 1 1
初等代数研究 ·构造几何图形证明不等式 如果说不等式中的抽象的数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。 例设a∈(0，)，b∈(0，求证： √a2+b2+V0-a+b2+N1-a}+1-b+a2+1-b}≥2√2 分析 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示两点间的距离。 故可构造点A1,0),B(1,I),C(0,1),D0,0)四边形ABCD为正方形，令P点坐标为(a,b),则 PD=Ja2+6,AP=v1-a)+b2 PB=/(1-a)+(1-6).|PCl=Va+(1-b) BD=4C= 由三角形的性质得 IDPl+|BP≥|BD.AP+CP\≥MC 所以，IDP+BP+Ar+lCr≥lBD+AC 即Va2+b2+0-aj}+b2+-a}+1-b}+Va2+1-b}≥25. ●反证法在不等式证明中的应用 反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不 等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、 定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。 例己知f)=x2+x+q,求证：/①/2/6)中至少有一个不小于 分析 此题从正面解决比较困座，可用反证法，假设结论不成立，即//伦/6都小于方，则 l+p+< 1+p+g< 4+2p+< <4+2p+9<2 3<2 l9+3p+4<2 2 <9+3p+9<2 3 1 <p+g<-2 ① 9 2p+g<-② 19 由于0@得-号<2p+< 9
初等代数研究 3 ⚫ 构造几何图形证明不等式 如果说不等式中的抽象的数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。 例 设 a (0,1),b (0,1) ，求证： (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + − a + b + − a + −b + a + −b 分析 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示两点间的距离。 故可构造点 A(1,0), B(1,1),C(0,1), D(0,0) 四边形 ABCD 为正方形，令 P 点坐标为 (a,b) ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2, 2 1 1 , 1 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = − + − = + − = + = − + BD AC PB a b PC a b PD a b AP a b 由三角形的性质得 DP + BP BD , AP + CP AC 所以， DP + BP + AP + CP BD + AC 即 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + − a + b + − a + −b + a + −b 。 ⚫ 反证法在不等式证明中的应用 反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不 等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、 定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。 例 已知 f (x) = x + px + q 2 ，求证： f (1), f (2), f (3) 中至少有一个不小于 2 1 。 分析 此题从正面解决比较困难，可用反证法，假设结论不成立，即 f (1), f (2), f (3) 都小于 2 1 ，则 ( ) ( ) ( ) − + + − + + − + + + + + + + + 2 1 9 3 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 9 3 2 1 4 2 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 1 1 p q p q p q p q p q p q f f f − + − − + − − + − ③ ② ① 2 17 3 2 19 2 7 2 2 9 2 1 2 3 p q p q p q 由于①③得 2 9 2 2 11 − p + q −
初等代数研究 此式与②矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。 四、条件不等式的求解 ●分类讨论 例n为自然数，a>1,解关于x的不等式： bog.4+(-2)2bg.(x) 3 分析 此不等式比较复杂，不仅含有参数a,还有自然数n。先把此不等式化简，再对参数进行讨论。 不等式化简为： 1-2yg.x>1-2ye.g-a 3 3 对n进行讨论： (1)当n为偶数时，原不等式转化为l0g。x<og,（x2-a) ②当n为奇数时，原不等式转化为log。x>bg.(x2-a) 下面再对a进行讨论，由于a为对数的底，故 ①当0<a<1时，不等式变为不等式组 x>0 x2-a>0 x<x2-a ②当a>1时，不等式变为不等式组 「x>0 x2-a>0 x>x2-a ·用几何方法求解不等式 如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立起联系，则可设法构造图形，将不等式所表达 的抽象的数量关系转化为图形加以解决。 例设A={x1<x<3},B是关于x的不等式组 [x2-2x+a≤0 x2-2br+5≤0 的解集，试确定a,b的取值范围，使得AB。 分析 构造函数fx)=x2-2x+a=(c-1)2+a-1,gx)=x2-2br+5=(x-b)2+5-b
初等代数研究 4 此式与②矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。 四、条件不等式的求解 ⚫ 分类讨论 例 n 为自然数， a 1 ，解关于 x 的不等式： ( ) log ( ) 3 1 2 log 4log 12log ( 2) log 1 2 x 2 x 3 x n x a x a n a n a a a n − − − − + − + − − 分析 此不等式比较复杂，不仅含有参数 a ，还有自然数 n 。先把此不等式化简，再对参数进行讨论。 不等式化简为： ( ) log ( ) 3 1 2 log 3 1 ( 2) 2 x a x a n a n − − − − − 对 n 进行讨论： ⑴当 n 为偶数时，原不等式转化为 log log ( ) 2 a x a x − a ⑵当 n 为奇数时，原不等式转化为 log log ( ) 2 a x a x − a 下面再对 a 进行讨论，由于 a 为对数的底，故 ①当 0 a 1 时，不等式变为不等式组 − − x x a x a x 2 2 0 0 ②当 a 1 时，不等式变为不等式组 − − x x a x a x 2 2 0 0 ⚫ 用几何方法求解不等式 如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立起联系，则可设法构造图形，将不等式所表达 的抽象的数量关系转化为图形加以解决。 例 设 A = {x |1 x 3}， B 是关于 x 的不等式组 − + − + 2 5 0 2 0 2 2 x bx x x a 的解集，试确定 a,b 的取值范围，使得 A B。 分析 构造函数 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f x = x − 2x + a = x −1 + a −1, g x = x − 2bx + 5 = (x − b) + 5 − b
初等代数研究 要使A三B,则必须使fx,g()在[，3]上的函数图像落在x轴下方，即有 [f0s0「a-1≤0 /3)s0 a+3s0→as-3 且有 「g0s0 -2b+6≤0→b23 1g6)s0P{14-66≤0 所以满足条件a,b的取值范围为a≤-3，b≥3。 几个重要不等式 (一)琴森(Jensen)不等式 定理1 设f(x)是区间[a,b]上的严格凸函数，对x,x2,xn∈[a,b] p,P2,.pn∈R*,且p+P2+.+Pn=l, 若f(x)是严格下凸函数，则有不等式 f(px+p2x3+.+Pnx)≤Pf(x)+P2f(x3)+.+Pnf(x方 若f(x)是严格上凸函数，则有不等式 f(px1+p2x2+.+Pnxn)≥Pf(x)+P2f(x2)+.+Pnf(xn) 当且仅当x=x2=.=x,时等号成立 推论 当B=p2==P=时 对Vx1,x2,.xm∈[a,b], 若f(x)是严格下凸函数，则有不等式 f(x++xn)sf(x)+f(x2)+.+f() 若f(x)是严格上凸函数，则有不等式 f(+++4)≥fx)+f(x2)++fx) n 当且仅当x=x=.三x是等号成立
初等代数研究 5 要使 A B ，则必须使 f (x), g(x) 在 1,3 上的函数图像落在 x 轴下方，即有 ( ) ( ) − + − 3 3 0 1 0 3 0 1 0 a a a f f 且有 ( ) ( ) − − + 3 14 6 0 2 6 0 3 0 1 0 b b b g g 所以满足条件 a,b 的取值范围为 a −3,b 3。 几个重要不等式 （一） 琴森（Jensen)不等式 . ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) , , 1 ( ) [ , ] , , [ , ] 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 当且仅当 时等号成立 若 是严格上凸函数，则有不等式 若 是严格下凸函数，则有不等式 ，且 ， 设 是区间 上的严格凸函数，对 ， n n n n n n n n n n n n x x x f p x p x p x p f x p f x p f x f x f p x p x p x p f x p f x p f x f x p p p R p p p f x a b x x x a b = = = + + + + + + + + + + + + + + + = + 定理1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ , ] 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 当且仅当 是等号成立 若 是严格上凸函数，则有不等式 若 是严格下凸函数，则有不等式 对 ， 当 时 推论 n n n n n n n x x x n f x f x f x n x x x f f x n f x f x f x n x x x f f x x x x a b n p p p = = = + + + + + + + + + + + + = = = =