《量子力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 量子力学中的力学量

(二)角动量算符 根据量子力学基本假定Ⅲ, (1)角动量算符的形式 量子力学角动量算符为: 经典力学中,若动量为p,相对点O的 位置矢量为r的粒子绕O 点的角动量是: L=F×p一L=×p=-ixV 角动量平方算符 (直角坐标系 已=L.+L+D =(帅2一可,)2+(项-项:)2+(,-12 h2(y是-乙)+(z最一x是)+(x一y品) L=ⅶ2一可,=-i(y是一乙)由于角动量平方算符中含有关于x,y L,=可x-=一i(8-Xz偏导数的交叉项所以直角坐标下角动量 平方算符的本征方程不能分离变量难于 L2=邓-=-i(x一y品)求解为此我们采用球坐标较为方便

（二）角动量算符 （1）角动量算符的形式 L r p    =  根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为: L = r  p = −i r       ˆ ˆ ˆ (I) 直角坐标系        = − = − − = − = − − = − = − −             ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) z y x y x y x z x z x z y z y L xp yp i x y L zp xp i z x L yp zp i y z    2 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ z y x z y x z y x z y x x y z y z z x x y yp zp zp xp xp yp L L L L             = − − + − + − = − + − + − = + +  角动量平方算符 经典力学中，若动量为 p，相对点O 的 位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是： 由于角动量平方算符中含有关于 x，y， z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量 平方算符的本征方程不能分离变量,难于 求解,为此我们采用球坐标较为方便

直角坐标与球坐标之间的变换关系 r(①球坐标 x=rsin 0 coso r2=x2+y2+22 (1) sinsin cos0=z/r (2) y z=rose tan中=y/x (3) 球坐标 对于任意函数f(r,0,q) (其中,r,0,9都是 ="900,0这表:、 ax: ar ax, a8, ap ax; r=r(x,y, x,yz的函数)则有:其中x,x2,x3=x,y,z (r0,) 将(1) =sancos φ 式两边ax Ox Or ax 06 Ox o% ax xyz1,=sOm。aOr+a0+可 分别对 Oy Or ay a6a,φ 偏导数 O6,Oφ 得 oz ozo6zOφaz 将(2 cosco 中将(3) an ar sine 式两边分 日1 式两边分 中1cosφ cos esinφ 别对xy 别对xy r sine z求偏导 日 z求偏导 数得 az 数得:

     = = = + +      = = = tan / (3) cos / (2) (1) cos sin sin sin cos 2 2 2 2 y x z r r x y z z r y r x r        x x x x y z x f x f x r r f x f i i i i , , , , 1 2 3 =     +     +     =   其 中                  +     +     =       +     +     =       +     +     =   z z z r z r y y y r y r x x x r x r             或          =   =   =        cos sin sin sin cos z r s y r x r  直角坐标与球坐标之间的变换关系 r  x z 球 坐 标 r  y 这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ) (II) 球坐标          = −   =   =           sin 1 cos sin 1 cos cos 1 z r y r x r          =   =   = −   0 sin 1 cos sin 1 sin z y r x r        将（1） 式两边 分别对 x y z 求 偏导数 得： 将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得： 对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： 将（3） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：

将上面结果代回原式得: 01 sinecos φ 1sinφa +-cos6 cos ax 6 r sine aφ 01 ,1cosφo sin sin中+- cos sin中+ a6 r sin ag cos e -sine+0 Or 66 L、=isinφ+cot6c0sp 6 则角动量算符 在球坐标中的 L,=-icosφ+ cot sin g 表达式为: p L2 1 a 1 a (sin 6 0) sine ae 6sin26oφ

           = −   +   = −   +   =               L i L i L i z y x ˆ [cos cot sin ] ˆ [sin cot cos ] ˆ          +   −   =     +   +   =     −   +   =   sin 0 1 cos sin 1 cos cos sin 1 sin sin sin 1 sin cos cos 1 sin cos                    z r r y r r r x r r r 将上面结果代回原式得： 则角动量算符 在球坐标中的 表达式为： ] sin 1 (sin ) sin 1 [ ˆ 2 2 2 2 2         +     L = −

(2)本征方程 L2y(中)=-i,y(中)=ly(中) dφ 解得:y()=ce (1)L2的本征方 其中C是积分州数,亦可看 归一化系教 。波函数有限条件, 要求2为实数; v()=v(d+2x >ce L,o l2(中+2丌) ce 即 求「f"|Pd 于是22=2mm=0,±1,±2 归 2兀 L,=mnhm=0,±1,±2, 正交性 化 2元c 2丌 ndin中d= 0(n≠m) 系 2兀 数 2元 合记之得 正交归化」2zJ e-impend =8 条件:

（2）本征方程 归一化系数。 其 中 是积分常数，亦可看成 解得： c ce l d d L i z i l z z             = = − = ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ (I) Lz的本征方程 () =( + 2 ) 求 归 一 化 系 数        2 1 2 1 | | 2 2 0 2 2 2 0 → = = = =   c c c d d 0 ( ) 2 1 2 0 e e d n m i m i n =  −       正交性： I。波函数有限条件， 要求z为实数； II。波函数单值条件， 要求当 φ 转过 2π角回 到原位时波函数值相等， 即：  ( +2 ) → = z i z i l l ce ce   cos[2 / ] sin[2 / ] 1 2 =  +  =  z z l e l i l z i      2 0, 1, 2, 2 = m m =   l z   于 是→ l z = m m = 0,1,2,  合记之得 正交归一化 条件： mn im i n e e d      = −  2 2 0 1

=mh 0,士1,±2 2兀 讨论 厄密性要求∫平*④1-∫(平)* 其中和Φ是粒子的任愈两个恋, ∫平“L9=平(=一访平留-n (-i。平)Φdφ ao Z平+「”(My0l平(2y)d 所以V"(27)0(2z)-平(0)(0)=0厄密性要求第一项为零 Φ(2n)y(0 或 Φ(0)y(2丌) Y(2丌)=平(0) 由一i,=Ly可知, do 这正是周期 性边界条件 对l2=0本征值,平(φ)=常数

最后得 Lz 的本征函数 和本征值：   0, 1, 2, 2 1 ( ) =        = = m e l m i m m z     其 中 和 是粒子的任意两个态。 按 厄密性要求，   Lˆ z  * Lˆ z d =  (Lˆ z )*d     Lz d i d     =  −   *( ) ˆ * 2 0  讨论： 厄密性要求第一项为零 对 本征值， （ ） 常数。 由 可知， =  =  =    −   0 z z l i l 所 以 则 (2 ) (0) (0) (2 (2 ) (2 ) (0) (0) 0 * * * *       =     −   = ） 或 = 1 (2 ) = (0) 这正是周期 性边界条件     i i  d   = −   − −  * | ( *) 2 0 2  0      i i  d   = −   + * | ( *) 2 0 2 0      = −i   + Lz  d  )* ˆ * | ( 2 0 2  0