(1)12的本征值问题 L2的本征值方程可写为: iY6,p)=h3Y(9,p) Sine a(sin 0e)*sin 0 agar(B,p)=/hr(, p) 成 其中Y(0,9)是L2属于本征值 入2的本征函数。此方程就是大 家熟悉的球谐函数方程,其求解 sin de(sin 0 o )+ sin e e2/r(e,)2y(0, 方法在数学物理方法中已有详细 的讲述,得到的结论是: 为使Y(0.,9)在0变化的整个区域(0,m)内都是有限的, 则必须满足:X=(C+1),其中=0,1,2, 该方程的解就是球函数yn(O,)=(-1)"NnPm(osO)cm Y1m(,q),其表达式 n=0,1,2,…,l Ym(0,p)=cl)Yn(8,p) 归一化系数,由 归一化条件确定 2x[ T Y (0, )Ym (0,)sinededo -1 N m=/(-ImD(21+1) 4丌(l+|mD)!
(II) L2的本征值问题 ] ( , ) ( , ) sin 1 (sin ) sin 1 [ ] ( , ) ( , ) sin 1 (sin ) sin 1 [ ( , ) ( , ) ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y Y Y Y L Y Y = + − = + − = 或 ： L2 的本征值方程可写为： 为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, π)内都是有限的， 则必须满足： = （ + 1), 其中 = 0, 1, 2, ... m l Y Y m l Y N P e l m m l m m i m l m l m l m = − − − − = − = = − − 1, 2, 3, , ( , ) ( 1) ( , ) 0,1,2, , ( , ) ( 1) (cos ) * 其中 Y(,) 是 L 2 属于本征值 2的本征函数。此方程就是大 家熟悉的球谐函数方程，其求解 方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是： = 2 0 * 0 Y ( , )Y ( , )sin d d 1 l m l m 4 ( | |)! ( | |)!(2 1) l m l m l Nlm + − + = 该方程的解就是球函数 Yl m(,)，其表达式： 归一化系数，由 归一化条件确定
其正交归一 2丌P丌 条件为: b J Ym(0,)Y,m(0, p )sin dd=5 mt 具体计算请参考有关数学物理方法的书籍,在这里就不作详细介绍了。 (I)本征值的简并度由于量子数表征了角动量的大小 所以称为角量子数;m称为磁量子数 Ym(e, )=(1"Nmp(cos O)e p 根据球函 =0,1,2,…,l 数定义式 Ym(6,)=cl"Ym(e, 1,-2,-3. +1)
其正交归一 条件为： = 2 0 * 0 l m( , ) l m ( , )sin ll mm Y Y d d 具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。 (III) 本征值的简并度 由于量子数 表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。 可知，对应一个 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± 共 (2 +1)个值。因此当 确定后，尚有(2 +1)个磁量子状态不确定。 换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态，这种现象称为简并， 的简 并度是 (2 +1) 度。 m l Y Y m l Y N P e l m m l m m i m l m l m l m = − − − − = − = = − − 1, 2, 3, , ( , ) ( 1) ( , ) 0,1,2, , ( , ) ( 1) (cos ) * 根据球函 数定义式
(3)角动量算符的对易关系 同理 Lx,Ly =inly L,, L,=ihL 证 Im:一,一项 =[2,一项[,项x-21 合记之 斗1,计,项!12,=ln 2,+,项2 ,+,+4印,项+项1聊为L-Cita号, 川p2,卯]+|x,!p 其意义如下: ,+用,4+出+,D,Em=-=m=-a =y(-i)Dx+x(团i)p =i,-y:1 其中a,B,y=1,2,3 或x,y
[ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] z x y z = yp zp + zp xp （3）角动量算符的对易关系 ] [ ˆ ˆ , ˆ ˆ ] ˆ , ˆ [ x y z y x z L L = yp − zp zp − xp 证： z x y y z x L L i L L L i L ˆ ] ˆ , ˆ [ ˆ ] ˆ , ˆ [ = = 同理 [ ˆ , ˆ ˆ ] [ ˆ , ˆ ˆ ] z x z y px xpz = yp zp − xp − zp z − [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] z x z z y x y z = yp zp − yp xp − zp zp + zp xp x y Lz L L i ˆ ] ˆ , ˆ [ = z x x z y z z y = y[ p ˆ ,zp ˆ ]+[ y,zp ˆ ]p ˆ + z[ p ˆ , xp ˆ ]+[z, xp ˆ ]p ˆ z x z y = y[ p ˆ ,zp ˆ ]+[z, xp ˆ ]p ˆ z x z x z y z y = yz[ p ˆ , p ˆ ]+ y[ p ˆ ,z]p ˆ + x[z, p ˆ ]p ˆ +[z, x]p ˆ p ˆ x y = y(−i) p ˆ + x(i) p ˆ [ ˆ ˆ ] y x = i xp − yp Lz i ˆ = x y z Levi Civita L L i L , , 1 2 3 1 ˆ ] ˆ , ˆ [ 123 或 其 中 ， ， ，， 其意义如下： 称 为 符号， 合记之： = = = − = − − =
(4)角动量升降阶算符显 所以,这两个算符 不是厄密算符。 然 =(Lx+讧,)+ )定义 +iL 有如下性质 i =L (I)对易关系 L2,L-土 L2L4=L(L2±h) 不难证明 LL2 xI=ilz, Ly =i,士i(-iLx) ID2,L41=0→D2L4=L4D2 ±加(±1,)=士D=P一+hL i.=L-LZ-hlz
z z z z L L L L L L L L L L L L L L L L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ] 0 ˆ , ˆ [ 2 2 2 2 2 2 2 = − − = − + = → = − + + − = = = − = = L iL L i L i i L L L i L L L L L L iL x y y x z x z y z z x y ˆ ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( ˆ ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ ] ˆ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ （ 4）角动量升降阶算符 (I) 定义 显然有如下性质 + +− − + + + + + == − = = − = + L LL iL L L iL L L iL x y x y x y ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ 所以，这两个算符 不是厄密算符。 (II) 对易关系 ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ = Lz L L Lz 不难证明 = − = + −+ x y x y L L iL L L iL ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(I)证明: LL+=L(L2±h 2L=L2 (2) lm=h√(l+1)-m(m±1) L=-2+MD(3) l,n±1 h√(m)(l土m+1)Hm1 证:)将E4(1)作用于Y1m得: 将Eq.(2)作用于Y1m得: iiYm=L,(L2 +h) m iLy. =L.LYim =(m+1)LY1m =l(+1)2Y 由于相应于这些本征值的本征函数是YLm 也是1与1所以,L4Y1m与Ym二者仅差一个常数,即 的共同本征函 数,对应本征 值分别为 (m+1)h和 41m=a 1(H1)h2。 l,n-1
l m l m l m l l L Y L L Y L L Y + + + = + = ˆ ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 , 1 , 1 ( )( 1) ( 1) ( 1) ˆ = + = + − l m l m l m l m l m Y L Y l l m m Y l m z l m z l m m L Y L L Y L L Y + + + = + = + ˆ ( 1) ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ 可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和 l (l+1) 2。 , 1 ˆ L+ Ylm = almYl m+ (III) 证明： 证： 将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得： 将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得： 由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即 , 1 ˆ 同理 L− Yl m = bl mYl m− = − − = − + = = − + + − (4) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (3) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (2) ˆ ˆ ˆ ˆ ) (1) ˆ ( ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 z z z z z z L L L L L L L L L L L L L L L L L L