(-)动量算符 用波函数在无穷 处趋于零的边界条件 证 Gih ny)*hdx (p y)*od 由证明过程可见,动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关 是vn()=pn()基 分 iVvG)=pW()1-边易v)=V,)影 i az 式
（一）动量算符 （1）动量算符的厄密性 p dx i dx dx d * ˆ x = *(− ) − − 使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。 （2）动量本征方程 i (r) p (r) p p − = 其 分 量 形 式 ： − = − = − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i r p r i r p r i r p r z p z p y p y p x p x p 证： i i dx dx d * | ( ) * − = − − − − i dx dx d = (− )* − ( p ˆ x )*dx − = 由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关
采用分离变量法,令v()=(x)w(yy(z) 代入动量本征方程-iVv()=p)且等式两边除以该式,得 in dy(x) (x) dx y(x)=c1ep=yn、(x) in dy(y y(y) dy in dy(z) Pz 解之得到如下一组解 y)=Py F y()=c2e=yn (y) y(=e8p2≡vn2(z) y (z dz y(r)=y(xy(yy(z) ∫viGy2()dr yn (xy (y,(z) 如果取 cP」 Sepat PyJ P,4 c2(2h)3=1 ce ce 则就 Yp(r) 9(p-p) ce 归一化为 这正是自由粒子的 6-函数 =|c|(2mh)S(p-P) de broglie波的空 间部分波函数
I. 求解 (r) (x) ( y) (z) p = = = = − − − dz z d z z i dy y d y y i dx x d x x i p p p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p r p x p y p z p p p p i z i y i x i x y z ce c e c e c e x y z r x y z • = = = = 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。 = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 z c e z y c e y x c e x z z i y y i x x i p p z p p y p p x 如果取 |c|2 (2π) 3=1 则 ψp (r) 就可 归一化为 δ-函数。 解 之 得 到 如 下 一 组 解 ： 于是： II. 归一化系数的确定 采用分离变量法，令： i (r) p (r) p p − = 代入动量本征方程 且等式两边除以该式，得： | | (2 ) ( ) | | | | ( ) ( ) 2 3 2 ( ) 2 * c p p c e d c e e d r r d p p r p r p r p p i i i = − = = − • − − • • − −
据上所述,具有连续谱的本征函数如动量的本征函数是 不能归一化为一的,而只能归一化为6-函数。 但是,如果我们加上适当的边界条件,则可以用以前的归 一化方法来归一,这种方法称为箱归一化 周期性边界条件 在箱子边界的对应点A,A上加上其浪函数相等的条件, 此边界条件称为周期性边界条件。 L IPr+Pry+P, zI Px+P,y+P2z ce ce L 2 J,4 = J,2 PEli 由此得 是有 2Thn L=2mt.→ X =0,土1,士2 Z 2九n 2九n 这表明,p只能取分立值 换言之, 加上周期性边界条件后, n,n,=0,士1,±2,… 连续谱变成了分立谱
x y z A A’ o L （3）箱归一化 在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件， 此边界条件称为周期性边界条件。 据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是 不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。 但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归 一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。 周期性边界条件 ] 2 ] [ 2 [ p y p z L p i p y p z L p i x y z x y z ce ce + + − + + = 0, 1, 2, 2 2 1 1 [ ] = = = = x x x x x p L i n L n p L n p e x 由此得： 于是有： 这表明，px 只能取分立值。 换言之， 加上周期性边界条件后， 连续谱变成了分立谱。 , 0, 1, 2, 2 2 = = = y z z z y y n n L n p L n p 同理： − y z L r A , , 2 y z L r A , , 2
V(r=ce →Vp()=Wn2 rhine 2 Thin 2 Thn ce E七 +y+"刁 L/2 L/2 T=C = Vmn=(e 所以c=L32 归一化的本征函数为: -leaper
[ ] 2 2 2 ( ) ( ) x y z p n n n p r p L nz L ny L i nx x y z i ce r r ce + + • = → = = * 1 2 3 / 2 / 2 2 / 2 / 2 = = = − − d c d c L L L p p L L p r V p r n n n L i i x y z e e • • = = 1 1 3/ 2 ( ) 所以 c = L-3/2 ， 归一化的本征函数为： 波函数变为 这时归一化系数 c 可由 归一化条件来确定：
讨论 A PoA p (1)箱归一化实际上相当于如图所示情况: (2)由p=2nm/L,p=2n、m/L,P2=2mm/L,可以看出 相邻两本征值的间隔△p=2m/L与L成反比。当L选的足够 大时,本征值间隔可任意小,当L→∞时,本征值变成为连续 谱 (3)从这里可以看出,只有分立谱才能归一化为一,连续谱 归一化为δ函数 (4)vpr) X expl-iet/就是自由粒子波函数,在它所写的 状态中,粒子动量有确定值,该确定值就是动量算 符在 这个态中的本征值 (5)周期性边界条件是动量算符厄米性的要求
讨论： （1）箱归一化实际上相当于如图所示情况： p (a) A’ p (b) A p (c) y x （2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以看出， 相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与 L 成反比。当 L 选的足够 大时，本征值间隔可任意小，当L → 时，本征值变成为连续 谱。 （3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱 归一化为 函数 （4）p (r) × exp[–iEt/] 就是自由粒子波函数，在它所描写的 状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算 符在 这个态中的本征值。 （5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求