H所描写的体系是可以精确求解的,其本征值En0,本 征矢№n0满足如下本征方程: 另-部分H是很小的(很小的物理意义将在下面讨论)可 以看作加于Ⅳ上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰 后 Hamilton量H的本征值和本征矢,即如何求解整个体系 的 Schrodinger方程: HIy >=Emly 当H′=0时,四n>=n0>,En= 当H′≠0时,引入微扰,使体系能级发生移动,由 En()→En,状态由中n0)>→ 为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:"=(1) 其中λ是很小的实数,表征微扰程度的参量
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En (0) ，本 征矢 |ψn (0)> 满足如下本征方程： = (0) (0) (0) (0) | | ˆ H n En n 另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于 H(0) 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰 后 Hamilton量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个体系 的 Schrodinger 方程： H | n = En | n ˆ 当H’ = 0 时， |ψn> = |ψn (0)> , En = E n (0) ； 当H’ ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动，由 E n (0) →En ，状态由|ψn (0)> →|ψn >。 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： H ˆ H ˆ (1) = 其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量
因为En、№n>都与微扰有关,可以把它们看成是入的函数而 将其展开成入的幂级数 E.=E(0+花E()+2E(2)+ vn>=v0>+|y)>+2|v2) 其中n,AEn(,2En(,…分别是能量的0级近似,能量的一级修正和 二级修正等;而n(0)>,vn(1)>,2|n(2)>,…分别是状态矢量0级 近似,一级修正和二级修正等。 代入 Schrodinger方程得: +aH()( A|ya)>+22|yn2 (E+AE+42En2)+…)(y>+|ym>+4|y2>+…) 乘开得: H >十 1vp>+吗lym+|元1E01y">+E"lv 2101y2>+y>+}={2Elv2>+E|y1>+E)lv?+ +||2
因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而 将其展开成λ的幂级数： = + + + = + + + (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) | | | | n n n n En En En En 其中En (0), λE n (1), λ2 En (1) , ... 分别是能量的 0 级近似，能量的一级修正和 二级修正等；而|ψn (0)>, λ|ψn (1)>, λ2 |ψn (2)>, ... 分别是状态矢量 0 级 近似，一级修正和二级修正等。 ( )(| | | ) )(| | | ) ˆ ˆ ( (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) (0) (1) (0) (1) 2 (2) = + + + + + + + + + + n n n n n n n n n E E E H H 乘开得： + + + + + + + = + + + + + + [ ] [ | | | ] [ | | ] | [ ] | ] ˆ | ˆ [ | ] ˆ | ˆ [ | ˆ 3 2 (0) (2) (1) (1) (2) (0) (0) (1) (1) (0) (0) (0) 3 2 (0) (2) (1) (1) (0) (1) (1) (0) (0) (0) n n n n n n n n n n n n n n n n n E E E E E E H H H H H 代入Schrodinger方程得：
根据等式两边入同幂次的系数应该相等,可得到 如下一系列方程式 Hy a' HIyu>+HIyo>=emiyo>+Emlyn> x2:0|y2)>+h|y>=E0y2)>+E)|y>+E2)|y0> 整理后得 HO-EOTI 0 EIIy O>=-HO-EmIlyo ly EmIly>+ER ly 上面的第一式就是H0的本征方程,第二、三式分别是n①>和ψn (2)>所满足的方程,由此可解得能量和态矢的第一、二级修正
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式: + = + + + = + = 2 (0) (2) (1) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) 1 (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) 0 (0) (0) (0) (0) | | | | ˆ | ˆ : | | | ˆ | ˆ : | | ˆ : n n n n n n n n n n n n n n n n n H H E E E H H E E H E 整理后得： − = − − + − = − − − = (0) (0) (2) (1) (1) (1) (2) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) ]| | ˆ ]| [ ˆ [ ]| ˆ ]| [ ˆ [ ]| 0 ˆ [ n n n n n n n n n n n n H E H E E H E H E H E 上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别是|ψn (1) >和|ψn (2)>所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正
(二)态矢和能量的一级修正 现在我们借助于未微扰体系的态矢n(0>和本征能量 En(来导出扰动后的态矢ψ>和能量En的表达式。 (1)能量一级修正λEn(1) 根据力学量本征矢的完备性假定,H0的本征矢vn0>是完备 的,任何态矢量都可按其展开,n①>也不例外。因此我们 可以将态矢的一级修正展开为: vg">=∑lv< yoo iyo>=∑alv) 代回前面的第二式并计及第一式得 akn()=<v|n()> 110)-Eya|vA>=-(-Ely> k=1 ∑aEs (0) k E (0) 左乘 Iy (0) THD-EDIIrU Vn (0)
现在我们借助于未微扰体系的态矢|ψn (0)>和本征能量 E n (0)来导出扰动后的态矢|ψn >和能量 En 的表达式。 (1)能量一级修正λEn (1) 根据力学量本征矢的完备性假定，H(0)的本征矢|ψn (0)>是完备 的，任何态矢量都可按其展开，|ψn (1)> 也不例外。因此我们 可以将态矢的一级修正展开为： = = = = (1) (0) 1 (0) (0) (1) 1 (1) | | | | k n k k k k n k n a akn (1) = <ψk (0) |ψn (1) 代回前面的第二式并计及第一式得： > − = − − − = − − = = (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) 1 (1) (0) (1) (1) (0) 1 (0) (0) ]| ˆ [ ]| [ ]| ˆ ] | [ ˆ [ k n k n k n n k k n k n n k n a E E H E H E a H E 左乘 <ψm (0) | （二）态矢和能量的一级修正
∑ 分“E-E1<ymy>=-<m||y>+E<vm|v0 考虑到本征基矢的正交归一性: ∑ a([E0-E01n k=1 LEIO-EOI =-HO+Ed8 考虑两 Q=Hm=<yOYo> 种情况 H H (1 < |yn0> 2.m≠n E00-E E (0) 准确到一阶微拢的体系能量: En=E0+AE(1)E(0)+元<vm0|B(1(0) =E0+<y0|aH|y0)>=E0)+<v0||v0)> E00+H 其中能量的一级修正等于微扰 Hm=<yoH'lyo> Hamilton量在0级态矢中的平均值
− = − + = (1) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (0) (0) 1 | | ˆ [ ] | | k n k n m k m n n m n k a E E H E 考虑到本征基矢的正交归一性： mn n mn kn k n mk k H E a E E (1) (1) (1) (0) (0) 1 ˆ [ ] = − + − = amn Em En Hmn En mn (1) (0) (0) ˆ (1) (1) [ − ] = − + 考虑两 种情况 1. m = n = = (1) (1) (0) (1) (0) | ˆ | ˆ En Hnn n H n 2. m ≠ n (0) (0) (0) (1) (0) (0) (0) (1) (1) | ˆ | ˆ n m m n n m mn mn E E H E E H a − = − = 准确到一阶微扰的体系能量： (0) (1) En = En + En = + (0) (0) (1) (0) | ˆ | En n H n = + (0) (0) (1) (0) | ˆ | En n H n = + (0) (0) (0) | ˆ | En n H n En Hnn = + (0) ˆ = (0) (0) | ˆ | ˆ Hnn n H n 其中能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值