第五拿动量理 中5.11单质点孤立体系和掠面速度 国 由图可见,各时间间隔∠t 科)庸内矢径r扫过的那些小三角形具 学圖有公共的高线OH,因而有相等 的面积,于是我们找到的守恒量 技术大 是:矢径r在单位时间内扫过的 面积S,我们称该面积S为质点A P的掠面速度。设矢径r与AB 线的夹角为0,故对单质点的孤 图5.1单质点孤立体系 学立体系有 S=r-sinb=nsn=常量 2△t2 杨维 该式也可以换一种表达法,即掠面速度对时间的微 商为零 0 dt
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： = = 常量 = sin 2 1 sin 2 1 rv t s S r 该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微 商为零： = 0 dt dS 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中5.11单质点孤立体系和掠面速度 国当然,上面所考虑的只是 科)平面运动的情况,对于单个的 学自由质点,它只可能在某个平4 技∥面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点,仅考虑某一个 术 4-- H B 平面就不行了,我们可以利用 大矢量运算法则,将掠面速度定 图5.1单质点孤立体系 学题义为与该平面垂直的矢量。即: S r×V 杨 维 这样,对于单质点的孤立体系,我们找到的守恒量 结某掠面速度矢量S。当然,它与参考点的选择有关,若 参考点选在直线AB上,则掠面速度为零
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 当然，上面所考虑的只是 平面运动的情况，对于单个的 自由质点，它只可能在某个平 面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点，仅考虑某一个 平面就不行了，我们可以利用 矢量运算法则，将掠面速度定 义为与该平面垂直的矢量。即： S = r v 2 1 这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量 是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若 参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中 512两个质点的孤立体系和角动量 国 对于两个质点的孤立体系, 科)它们虽然不受外力作用,但两个 学關质点之间是有作用力的。我们现 技在来寻找守恒量,首先我们能想 术息到的是它们每个质点掠面速度的 28和。为此,在空间建立惯性参考 大系,如图52,两个质点的质量分 学题别为m,m2,其位矢和速度分别 为r1r2和v1,v2。设其掠面速度图5.2两个质点的孤立体系 杨分别为SS,有 维 s,=r2Xv2 纮 2
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 对于两个质点的孤立体系， 它们虽然不受外力作用，但两个 质点之间是有作用力的。我们现 在来寻找守恒量，首先我们能想 到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此，在空间建立惯性参考 系，如图5.2，两个质点的质量分 别为 m1 , m2，其位矢和速度分别 为 r1 , r2 和 v1 , v2 。设其掠面速度 分别为 S1 , S2 ，有： 1 1 1 2 1 S = r v 2 2 2 2 1 S = r v 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 中 512两个质点的孤立体系和角动量 国而掠面速度对时间的微商为 科)_1dr v.+-r 学 dt 2 dt i2 C 技 v xV, +ri dt 2 =r: 术 2其中=1,2。为了对上式中的 大求和,我们列出质点运动的牛顿 学方程: 图5.2两个质点的孤立体系 em1=f12=fm2,2=f21=-f 杨 dt dt 维 一r; r1×f 2=-r,× r2×f dt2 dt 2m dt 2 2n 圆田m,m2可以为任意值,故+22≠0 dt dt
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 而掠面速度对时间的微商为： dt d dt d dt d i i i i i v v r S r = + 2 1 2 1 dt d i i i i v = v v + r 2 1 2 1 dt d i i v = r 2 1 其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿 方程： f f v = 12 = dt d m 1 1 f f v = 21 = − 2 2 dt d m r f v r S = = 1 1 1 1 1 2 1 2 1 dt m d dt d r f v r S = = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 dt m d dt d 0 1 2 + dt d dt 因 m dS S 1 , m2 可以为任意值，故 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第五拿动量理 512两个质点的孤立体系和角动量 中国科学技术 但从前几式可看出 (2mS1+2m2S2)=(r1-r2)×f=0 2其中利用了牛顿第三定律f的 大方向沿两质点m1,m2的连线, 学感即r/(r1-r2)。于是我们找到 了守恒量: 图5.2两个质点的孤立体系 L=2ms, +2m,s 杨维 =rxmV1+r2×m2V2=常矢量
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 但从前几式可看出： (2m1 S1 + 2m2 S2 ) = (r1 − r2 )f = 0 dt d 其中利用了牛顿第三定律：f 的 方向沿两质点 m1 , m2 的连线， 即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到 了守恒量： L = 2m1 S1 + 2m2 S2 = r1 m1 v1 +r2 m2 v2 =常矢量 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮