工程科学学报，第39卷，第4期：611618,2017年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.4:611-618,April 2017 D0:10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.017:htp:/journals..ustb.edu.cm 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输 机械臂参数辨识 赵抢抢，侯保林四 南京理工大学机械工程学院，南京210094 ☒通信作者，E-mail:houbl(@njust.cdu.cn 摘要为实现弹药传输机械臂中不可测参数的辨识，建立了机械臂的虚拟样机，并将其作为样本数据的来源：考虑到样本 数据的连续性和平滑特性，使用函数型数据分析和函数型主成分分析对样本数据进行了特征提取，并利用提取的特征参数和 待辨识参数作为训练样本对极限学习机(ELM)进行了训练.为提高极限学习机的辨识精度和泛化能力，利用粒子群算法对 极限学习机的输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行了优化.最后，分别利用仿真数据与测试数据对此方法 进行了验证，仿真数据的辨识结果表明，优化后的极限学习机具有更高的辨识精度和泛化能力：同时，通过对比将测试数据的 辨识结果代入模型中进行仿真得到的支臂角速度与测试角速度，验证了此方法的可行性和有效性. 关键词参数辨识：函数型数据分析：极限学习机：粒子群优化：弹药传输机械臂 分类号TP241:TH113 Parameter identification of a shell transfer arm using FDA and optimized ELM ZHAO Qiang-qiang,HOU Bao-in School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China Corresponding author,E-mail:houbl@njust.edu.cn ABSTRACT To identify the unmeasurable parameters of a shell transfer arm,a virtual prototype of the shell transfer arm was built, and the built virtual prototype is regard as the source of the sample data.Considering the continuity and smoothness properties of the sample data,features of the curves were extracted by functional data analysis and functional principal component analysis,and the fea- tures and unknown parameters were used to train the extreme leaming machine (ELM).At the meantime,the weight connecting the input layer and hidden layer and the threshold of the hidden nodes were optimized by particle swarm optimization (PSO)to improve the identification accuracy and generalization performance of ELM.At last,the presented method was verified by simulation data and test data.The identification results of the simulation data show that the optimized ELM has higher identification accuracy and better generalization performance.Also,the presented method is proved to be feasible and effective by comparing the real angular velocity and the angular velocity from the virtual prototype with respect to the test data identification results. KEY WORDS parameter identification:functional data analysis;extreme learning machine;particle swarm optimization:shell transfer arm 弹药传输机械臂是大口径火炮自动装填系统的一 膛后返回原位”.因系统复杂且工作环境恶劣，弹药 个重要部件，主要用于接收弹仓内被推弹器推送出来 传输机械臂始终存在定位精度超差的情况，严重降低 的弹丸，再将该弹丸传送至输弹线上由输弹机输弹入 了整个弹药自动装填系统的可靠性，亟待进行改进设 收稿日期：201607-29 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51175266)：国家高技术研究发展计划资助项目(6132490102)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期: 611--618，2017 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 4: 611--618，April 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 04． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输 机械臂参数辨识 赵抢抢，侯保林 南京理工大学机械工程学院，南京 210094 通信作者，E-mail: houbl@ njust． edu． cn 摘 要 为实现弹药传输机械臂中不可测参数的辨识，建立了机械臂的虚拟样机，并将其作为样本数据的来源; 考虑到样本 数据的连续性和平滑特性，使用函数型数据分析和函数型主成分分析对样本数据进行了特征提取，并利用提取的特征参数和 待辨识参数作为训练样本对极限学习机( ELM) 进行了训练． 为提高极限学习机的辨识精度和泛化能力，利用粒子群算法对 极限学习机的输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行了优化． 最后，分别利用仿真数据与测试数据对此方法 进行了验证，仿真数据的辨识结果表明，优化后的极限学习机具有更高的辨识精度和泛化能力; 同时，通过对比将测试数据的 辨识结果代入模型中进行仿真得到的支臂角速度与测试角速度，验证了此方法的可行性和有效性． 关键词 参数辨识; 函数型数据分析; 极限学习机; 粒子群优化; 弹药传输机械臂 分类号 TP241; TH113 Parameter identification of a shell transfer arm using FDA and optimized ELM ZHAO Qiang-qiang，HOU Bao-lin School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China Corresponding author，E-mail: houbl@ njust． edu． cn ABSTＲACT To identify the unmeasurable parameters of a shell transfer arm，a virtual prototype of the shell transfer arm was built， and the built virtual prototype is regard as the source of the sample data． Considering the continuity and smoothness properties of the sample data，features of the curves were extracted by functional data analysis and functional principal component analysis，and the features and unknown parameters were used to train the extreme learning machine ( ELM) ． At the meantime，the weight connecting the input layer and hidden layer and the threshold of the hidden nodes were optimized by particle swarm optimization ( PSO) to improve the identification accuracy and generalization performance of ELM． At last，the presented method was verified by simulation data and test data． The identification results of the simulation data show that the optimized ELM has higher identification accuracy and better generalization performance． Also，the presented method is proved to be feasible and effective by comparing the real angular velocity and the angular velocity from the virtual prototype with respect to the test data identification results． KEY WOＲDS parameter identification; functional data analysis; extreme learning machine; particle swarm optimization; shell transfer arm 收稿日期: 2016--07--29 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51175266) ; 国家高技术研究发展计划资助项目( 6132490102) 弹药传输机械臂是大口径火炮自动装填系统的一 个重要部件，主要用于接收弹仓内被推弹器推送出来 的弹丸，再将该弹丸传送至输弹线上由输弹机输弹入 膛后返回原位［1］． 因系统复杂且工作环境恶劣，弹药 传输机械臂始终存在定位精度超差的情况，严重降低 了整个弹药自动装填系统的可靠性，亟待进行改进设
612 工程科学学报，第39卷，第4期 计.建立其准确的动力学模型，对于推断机械臂在运 臂的重力矩，减小驱动电机的负载：弹药传输机械臂设 行过程中动态特性的变化情况，进而根据动态特性的 置有角位移传感器和角速度传感器（测速电机），用于 变化提出改进设计建议乃至实现故障诊断和预测，都 提供机械臂相对于起落部分的角度及角速度信号，使 具有重要的意义.弹药传输机械臂是一个复杂且多参 机械臂转至正确位置.根据弹药传输机械臂的拓扑结 数的机电液一体化系统，关键参数的确定是建模过程 构，在动力学仿真软件RecurDyn中建立了机械臂的动 中的一个核心问题.然而，弹药传输机械臂中的若干 力学模型，小平衡机液压回路模型则利用Simulink中 关键参数是不可测或难以测量的，只能通过辨识的方 的SimHydraulics模块建立. 法来获取. 托弹盘 测速电机 对于弹药传输机械臂而言，由于很难求出其可测 电机 响应量至待辨识参数的解析表达式，因此无法利用传 统的基于算法的辨识方法来对其未知参数进行辨识， 而以神经网络为代表的机器学习方法可以根据已知的 样本估计数据之间的依赖关系，从而对未知的数据进 行预测和判断，往往能方便的解决该类问题.如徐东 辉等回采取混沌径向基(RBF)神经网络结合Matlab 仿真的方法对油膜模型参数进行辨识，以提高动态参 数的辨识精度，进而得出了不同工况下的油膜动态特 征：Kayacan等四利用2类模糊神经网络实现了非线性 小平衡机 动态系统的参数辨识：Ugalde等提出了一种改进的 图1弹药传输机械臂 神经网络算法，有效的降低了运算的成本，并成功的将 Fig.I Structure of the shell transfer arm 其应用于柔性机械臂的参数辨识中. 但是，在利用神经网络对弹药参数机械臂的参数 1.2 控制系统建模 进行辨识时，需要包含待辨识参数和可测响应曲线特 机械臂由两个并联的串励电机驱动，其运动过程 征参数的样本进行训练.真实的实验能够获得高质量 如图2(a)所示.AB为支臂的转动范围，若支臂按需求 的样本，但对于弹药传输机械臂而言，大量真实的实验 从C点转动到D点，则整个运动过程可分为两段：在 不仅耗费大量的人力物力，且对于系统的内在参数，也 CE段，只需控制电机的转动方向，给电机施加额定电 很难进行人为的设定，而通过虚拟仿真的方法获取样 压，使电机全速运动以带动支臂快速向D点运动：当 本则比较容易实现.因此，本文为实现对弹药传输机 支臂转动到E点，系统变成一个完全的闭环位置系 械臂的参数辨识，建立了机械臂的虚拟样机，将其作为 统，把支臂准确定位在D点，其运动速度曲线如图2 样本数据的来源，通过对待辨识参数的抽样和仿真实 (b)所示 验，获得相应的样本数据：考虑到样本数据的连续性和 (a) 运动方向 平滑性，利用函数型数据分析(FDA)和函数型主成分 D 分析(FPCA)对样本数据进行特征提取，将提取的特征 起点 定位点 和待辨识参数作为训练样本进行极限学习机的 (ELM)的训练：同时，为提高极限学习机的辨识精度 和泛化能力，利用粒子群算法(PSO)对极限学习机的 输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行 优化.最后分别利用仿真数据和实验数据对弹药传输 时间 机械臂的参数进行辨识，以验证此方法的可行性和有 图2机械臂运动过程.()运动及定位过程：(b)速度曲线 效性. Fig.2 Arm motion procedure:(a)motion and location procedure; (b)angular velocity of the arm 1 弹药传输机械臂建模与仿真 1.1虚拟样机建模 根据上述分析，在Simulink中建立电机、驱动和控 弹药传输机械臂的结构如图1所示，其中支臂安 制信号的模型，作为弹药传输机械臂的控制模块 装在火炮右耳轴上，可绕耳轴转动：托弹盘用于承载弹 1.3待辨识参数的选择与抽样仿真 丸：减速箱由两级直齿轮传动和一级蜗轮蜗杆传动组 根据1.1节~1.2节的分析，最终建立的弹药传 成：小平衡机由平衡油缸和蓄能器组成，用于平衡机械 输机械臂的联合仿真模型如图3所示，包括以下三个
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 计． 建立其准确的动力学模型，对于推断机械臂在运 行过程中动态特性的变化情况，进而根据动态特性的 变化提出改进设计建议乃至实现故障诊断和预测，都 具有重要的意义． 弹药传输机械臂是一个复杂且多参 数的机电液一体化系统，关键参数的确定是建模过程 中的一个核心问题． 然而，弹药传输机械臂中的若干 关键参数是不可测或难以测量的，只能通过辨识的方 法来获取． 对于弹药传输机械臂而言，由于很难求出其可测 响应量至待辨识参数的解析表达式，因此无法利用传 统的基于算法的辨识方法来对其未知参数进行辨识， 而以神经网络为代表的机器学习方法可以根据已知的 样本估计数据之间的依赖关系，从而对未知的数据进 行预测和判断，往往能方便的解决该类问题． 如徐东 辉等［2］采取混沌径向基( ＲBF) 神经网络结合 Matlab 仿真的方法对油膜模型参数进行辨识，以提高动态参 数的辨识精度，进而得出了不同工况下的油膜动态特 征; Kayacan 等［3］利用 2 类模糊神经网络实现了非线性 动态系统的参数辨识; Ugalde 等［4］提出了一种改进的 神经网络算法，有效的降低了运算的成本，并成功的将 其应用于柔性机械臂的参数辨识中． 但是，在利用神经网络对弹药参数机械臂的参数 进行辨识时，需要包含待辨识参数和可测响应曲线特 征参数的样本进行训练． 真实的实验能够获得高质量 的样本，但对于弹药传输机械臂而言，大量真实的实验 不仅耗费大量的人力物力，且对于系统的内在参数，也 很难进行人为的设定，而通过虚拟仿真的方法获取样 本则比较容易实现． 因此，本文为实现对弹药传输机 械臂的参数辨识，建立了机械臂的虚拟样机，将其作为 样本数据的来源，通过对待辨识参数的抽样和仿真实 验，获得相应的样本数据; 考虑到样本数据的连续性和 平滑性，利用函数型数据分析( FDA) 和函数型主成分 分析( FPCA) 对样本数据进行特征提取，将提取的特征 和待 辨 识 参 数 作 为 训 练 样 本 进 行 极 限 学 习 机 的 ( ELM) 的训练; 同时，为提高极限学习机的辨识精度 和泛化能力，利用粒子群算法( PSO) 对极限学习机的 输入层与隐含层的连接权值和隐含层节点的阈值进行 优化． 最后分别利用仿真数据和实验数据对弹药传输 机械臂的参数进行辨识，以验证此方法的可行性和有 效性． 1 弹药传输机械臂建模与仿真 1. 1 虚拟样机建模 弹药传输机械臂的结构如图 1 所示，其中支臂安 装在火炮右耳轴上，可绕耳轴转动; 托弹盘用于承载弹 丸; 减速箱由两级直齿轮传动和一级蜗轮蜗杆传动组 成; 小平衡机由平衡油缸和蓄能器组成，用于平衡机械 臂的重力矩，减小驱动电机的负载; 弹药传输机械臂设 置有角位移传感器和角速度传感器( 测速电机) ，用于 提供机械臂相对于起落部分的角度及角速度信号，使 机械臂转至正确位置． 根据弹药传输机械臂的拓扑结 构，在动力学仿真软件 ＲecurDyn 中建立了机械臂的动 力学模型，小平衡机液压回路模型则利用 Simulink 中 的 SimHydraulics 模块建立． 图 1 弹药传输机械臂 Fig． 1 Structure of the shell transfer arm 1. 2 控制系统建模 机械臂由两个并联的串励电机驱动，其运动过程 如图 2( a) 所示． AB 为支臂的转动范围，若支臂按需求 从 C 点转动到 D 点，则整个运动过程可分为两段: 在 CE 段，只需控制电机的转动方向，给电机施加额定电 压，使电机全速运动以带动支臂快速向 D 点运动; 当 支臂转动到 E 点，系统变成一个完全的闭环位置系 统，把支臂准确定位在 D 点，其运动速度曲线如图 2 ( b) 所示． 图 2 机械臂运动过程． ( a) 运动及定位过程; ( b) 速度曲线 Fig． 2 Arm motion procedure: ( a) motion and location procedure; ( b) angular velocity of the arm 根据上述分析，在 Simulink 中建立电机、驱动和控 制信号的模型，作为弹药传输机械臂的控制模块． 1. 3 待辨识参数的选择与抽样仿真 根据 1. 1 节 ～ 1. 2 节的分析，最终建立的弹药传 输机械臂的联合仿真模型如图 3 所示，包括以下三个 · 216 ·
赵抢抢等：函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 ·613* a 角速度电流信号1 电流信号1 电流信号2 电流信号2 控制信号 电机力矩 转角 制动力 控制信号 控制模块 角速度 电机模型 RECURDYN CLENT K- 活塞速度 小平衡机力 机械系统 绘图 液压模块 (b) 转换 1 冬间测 数据类型转换 电流信号1 转角 和度 转换 2 0 区间测试 数据类型转换 电流信号2 +3 角速度 1 d 常数 制动力 4 绝对值 比较 积分 饱和度 信号 控制信号 信号发生器 (c) 醴心 )-0 平移参考系 求解器配置 管路 压力参考系 5 力传感器 图回 蓄能器 日四 压力传感器 绘图 压力参考系 活塞 理想平移 气缸 流量传感器 PS-S3 速度 延时单元信号转换速度源 管路 压力传感器 PS-S PS-S2 绘图 S-S4绘图 ① C压参考系 小平衡机力 平移参考系 压力传感器 PS-SI 绘图 图3弹药传输机械臂仿真模型.(a)联合仿真模型：(b)控制模型：(c)液压模型 Fig.3 Simulation model of the shell transfer arm:(a)co-imulation model;(b)control model;(c)hydraulic model 部分：(I)在RecurDyn中建立的动力学模型，用于计算 2基于函数型数据分析和函数型主成分分 机械臂的动力学参数：(2)在Simulink中建立的控制 模块，用于控制回路的计算；(3)在SimHydraulics中建 析的曲线特征提取 立的液压回路，用于计算小平衡机力. 2.1函数型数据分析和函数型主成分分析方法 根据系统的实际情况，待辨识的三个参数为液 函数型数据分析方法的最大贡献者是加拿大学者 压模型中蓄能器的初始压力P。,控制模型中测速电 Ramsay5-刀.在函数型数据分析中，观测数据被看作一 机的灵敏度S,以及机械系统中蜗轮蜗杆的摩擦系数 个整体而非离散的点，表示为光滑的曲线或连续的函 4.根据设备使用方提供的数据，P。的范围为[2.8， 数，然后以函数视角对其进行分析.与传统的分析方 3.5]MPa,S的范围为[0.9,1.05]，u的范围为 法相比，函数型数据分析很少依赖于模型的构建和假 0.11,0.17].本文利用拉丁超立方抽样法对这三 设条件，对于观测对象的数据观测点和观测次数是否 个参数在其分布范围内进行抽样，并根据抽样结果 相同并无要求：函数型数据分析的另一个特点是可以 进行虚拟仿真试验，共获得100组支臂的角速度 实现从有限维数据到无限维数据的转换，得到的数据 曲线. 信息更丰富可靠.如今函数型数据分析在地质化
赵抢抢等: 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 图 3 弹药传输机械臂仿真模型 . ( a) 联合仿真模型; ( b) 控制模型; ( c) 液压模型 Fig． 3 Simulation model of the shell transfer arm: ( a) co-simulation model; ( b) control model; ( c) hydraulic model 部分: ( 1) 在 ＲecurDyn 中建立的动力学模型，用于计算 机械臂的动力学参数; ( 2) 在 Simulink 中建立的控制 模块，用于控制回路的计算; ( 3) 在 SimHydraulics 中建 立的液压回路，用于计算小平衡机力． 根据系统的实际情况，待辨识的三 个 参 数 为 液 压模型中蓄能器的初始压力 P0，控制模型中测速电 机的灵敏度 S，以及机械系统中蜗轮蜗杆的摩擦系数 μ． 根据设备使用方提供的数据，P0 的范围为［2. 8， 3. 5］MPa，S 的 范 围 为［0. 9，1. 05 ］，μ 的 范 围 为 ［0. 11，0. 17］． 本文利用拉丁超立方抽样法对这三 个参数在其分布范围内进行抽样，并根据抽样结果 进行虚拟仿真试验，共 获 得 100 组 支 臂 的 角 速 度 曲线． 2 基于函数型数据分析和函数型主成分分 析的曲线特征提取 2. 1 函数型数据分析和函数型主成分分析方法 函数型数据分析方法的最大贡献者是加拿大学者 Ｒamsay［5--7］． 在函数型数据分析中，观测数据被看作一 个整体而非离散的点，表示为光滑的曲线或连续的函 数，然后以函数视角对其进行分析． 与传统的分析方 法相比，函数型数据分析很少依赖于模型的构建和假 设条件，对于观测对象的数据观测点和观测次数是否 相同并无要求; 函数型数据分析的另一个特点是可以 实现从有限维数据到无限维数据的转换，得到的数据 信息更 丰 富 可 靠． 如今函数型数据分析在地质化 · 316 ·
614 工程科学学报，第39卷，第4期 学网、神经科学回、能源消耗00等领域得到了较为 特征向量的方式求解.对于函数型主成分分析，根据 广泛的应用 Ramsay等-的推导，特征函数满足以下方程： 在函数型数据分析中，假设第i个观测样本包含 v(s,t)(t)dt=p(s). (9) 一系列离散的观测值yaya,…,ym,其函数的形式由K 个已知基函数中，()的线性组合表示： 其中p为相应的特征值，(，）=N~合 x(s)x;(t) 0=豆a0. (1) 为协方差函数，样本是去均值的，N∑，().通过 其向量形式为： x=c中=中'c. (2) 定义协方差算子V,E=v(,)(t)d,式(9)可表 式中，c为长度为K的系数向量，中为基函数中，组成 示为： 的函数型向量. E=p心 (10) 对于非周期性的数据，通常是利用B样条基函数 式中，为特征函数而不是特征向量. 展开.B样条基函数由阶数a和节点序列，(T,l=1, 主成分函数同样需要进行平滑处理，考虑最大化 2,…,L-1)确定，通过以下方程组递归求解网： 带有粗糙度惩罚函数的样本方法 B0=,<1<7. var gx,dt 0,其他. PCAPSV ()PEN ( (11) B0=仁B0+ -Ba-1() 其中，入为平滑系数，粗糙度函数PN2()=IDⅡ2= TI+a -TI T1+a+1-T1 (3) b'b,D表示2阶微分算子，J=D中(s)D中(s)ds. 系数向量c可由最小二乘法估计，令中为包含元 素中()的n×K阶矩阵，最小化误差平方和： 对于样本数据，基函数展开式为气日=三4,0， SMSSE (ylc)=(y-pc)'H(y-c). (4) 向量形式为x=Cb,其中C为n×K阶矩阵；对于特征 其中，H为加权系数. 其加权最小二乘解为： 函数，基函数晨开式为5)-言6,6，向量形式 c=(Φ'HΦ)Φy (5) 为(s)=中(s)Tb,其中b为K维向量.令A为向量c 使用最小二乘法进行求解时，选择的K越大，则 的协方差矩阵，W为元素是基函数内积"，=中.中，ds 数据估计的偏差越小，但是数据估计的方差越大，平滑 性越差，为有效的控制平滑程度，引入粗糙惩罚函数 的K阶对称矩阵，即W=中她s.则式(11)可表示 入×PEN(x),其中入为平滑系数，PEN(x)为m阶粗 为矩阵形式： 糙惩罚函数 b'WAWb PCAPSV=bTWb+A b Rb (12) PEN (x)=[D"x(]2ds 相应的广义特征值问题为： [D"c'(]'ds=c'D"(s)D6(s)"cds= WAWb =p(W+AR)b. (13) 进行Cholesky分解W+AR=LLT,其中L是下三角阵， c"[D"(s)D"(s)'ds]c=c"Jc (6) 并定义S=L,则式(13)可表示为 (SWAWS")(L'b)=p(L'b) (14) 式中，D为m阶微分算子，J=D中(s)D中(s)'d 定义u=L'b,式(14)可表示为： 利用最小二乘法，在估计系数向量时，可最小化以 (SWAWS")u =pu. (15) 下参数： 式(15)为标准的特征值问题，可依次解出u、b和 PENSSE (ylc)=SMSSE (ylc)+APEN (x)= 特征函数.对于样本数据或者通过测试采集到的数 (y-pc)H (y-pc)+Ac"Jc. (7) 据，进行函数化并减去均值，与各特征函数计算内积后 对c求一次导数，可得基函数系数向量的估计值 便是曲线的特征参数了. c=(ΦHΦ+J)ΦHy. (8) 2.2弹药传输机械臂角速度曲线特征提取 函数型主成分分析(FPCA)是经典多源分析中的 1.3节中，通过仿真试验获得了100组支臂的角 主成分分析(PCA)到希尔伯特空间的推广，其主要思 速度样本曲线，在进行极限学习机训练前，需提取样本 想与主成分分析一致，同样是主成分得分的方差最大 曲线的特征参数以降低样本的维度，提高训练速度与 化.主成分分析一般通过寻找协方差矩阵的特征值和 效率.对于100组样本数据，首先进行数据的函数化
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 学［8］、神经科学［9］、能源消耗［10--11］等领域得到了较为 广泛的应用． 在函数型数据分析中，假设第 i 个观测样本包含 一系列离散的观测值 yi1，yi2，…，yin，其函数的形式由 K 个已知基函数 k ( t) 的线性组合表示: x( t) = ∑ K k ckk ( t) ． ( 1) 其向量形式为: x = cT = T c． ( 2) 式中，c 为长度为 K 的系数向量， 为基函数 k 组成 的函数型向量． 对于非周期性的数据，通常是利用 B 样条基函数 展开． B 样条基函数由阶数 a 和节点序列 τ( τl，l = 1， 2，…，L － 1) 确定，通过以下方程组递归求解［12］: Bl，0 ( t) = 1， τl ＜ t ＜ τl + 1， {0， 其他． Bl，a ( t) = t － τl τl + a － τl Bl，a － 1 ( t) + τl + a + 1 － t τl + a + 1 － τl + 1 Bl + 1，a － 1 ( t) ． ( 3) 系数向量 c 可由最小二乘法估计，令 Φ 为包含元 素 k ( tj ) 的 n × K 阶矩阵，最小化误差平方和: SMSSE( y | c) = ( y － Φc) T H( y － Φc) ． ( 4) 其中，H 为加权系数． 其加权最小二乘解为: c^ = ( ΦT HΦ) － 1ΦT Hy． ( 5) 使用最小二乘法进行求解时，选择的 K 越大，则 数据估计的偏差越小，但是数据估计的方差越大，平滑 性越差［6］，为有效的控制平滑程度，引入粗糙惩罚函数 λ × PENm ( x) ，其中 λ 为平滑系数，PENm ( x) 为 m 阶粗 糙惩罚函数 PENm ( x) = ∫［Dm x( s) ］2 ds = ∫［Dm cT ( s) ］2 ds = ∫ cT Dm ( s) Dm ( s) T cds = cT ［∫ Dm ( s) Dm ( s) T ds］c = cT Jc． ( 6) 式中，Dm 为 m 阶微分算子，J = ∫ Dm ( s) Dm ( s) T ds． 利用最小二乘法，在估计系数向量时，可最小化以 下参数: PENSSEm ( y | c) = SMSSE( y | c) + λPENm ( x) = ( y － Φc) T H( y － Φc) + λcT Jc． ( 7) 对 c 求一次导数，可得基函数系数向量的估计值 c^ = ( ΦT HΦ + λJ) － 1ΦT Hy． ( 8) 函数型主成分分析( FPCA) 是经典多源分析中的 主成分分析( PCA) 到希尔伯特空间的推广，其主要思 想与主成分分析一致，同样是主成分得分的方差最大 化． 主成分分析一般通过寻找协方差矩阵的特征值和 特征向量的方式求解． 对于函数型主成分分析，根据 Ｒamsay 等［6--7］的推导，特征函数满足以下方程: ∫ v( s，t) ξ( t) dt = ρξ( s) ． ( 9) 其中，ρ 为相应的特征值，v( s，t) = N － 1∑ N i = 1 xi ( s) xi ( t) 为协方差函数，样本是去均值的，N － 1∑ N i = 1 xi ( t) ． 通过 定义协方差算子 V，Vξ = ∫ v(·，t) ξ( t) dt，式( 9) 可表 示为: Vξ = ρξ． ( 10) 式中，ξ 为特征函数而不是特征向量． 主成分函数同样需要进行平滑处理，考虑最大化 带有粗糙度惩罚函数的样本方法 PCAPSV( ξ) = var ∫ξxidt ‖ξ‖2 + λ × PEN2 ( ξ) ． ( 11) 其中，λ 为平滑系数，粗糙度函数 PEN2 ( ξ) = ‖D2 ξ‖2 = bT Jb，D2 表示 2 阶微分算子，J = ∫ D2 ( s) D2 T ( s) ds． 对于样本数据，基函数展开式为 xi ( t) = ∑ K k = 1 cikk ( t) ， 向量形式为 x = C，其中 C 为 n × K 阶矩阵; 对于特征 函数，基函数展开式为 ξ( s) = ∑ K k = 1 bkk ( s) ，向量形式 为 ξ( s) = ( s) T b，其中 b 为 K 维向量． 令 A 为向量 ci 的协方差矩阵，W 为元素是基函数内积 wk1，k2 = ∫ k1 k2 ds 的 K 阶对称矩阵，即 W = ∫ T ds． 则式( 11) 可表示 为矩阵形式: PCAPSV = bT WAWb bT Wb + λ bT Ｒb． ( 12) 相应的广义特征值问题为: WAWb = ρ( W + λＲ) b． ( 13) 进行 Cholesky 分解 W + λＲ = LLT ，其中 L 是下三角阵， 并定义 S = L － 1，则式( 13) 可表示为 ( SWAWST ) ( LT b) = ρ( LT b) ． ( 14) 定义 u = LT b，式( 14) 可表示为: ( SWAWST ) u = ρu． ( 15) 式( 15) 为标准的特征值问题，可依次解出 u、b 和 特征函数． 对于样本数据或者通过测试采集到的数 据，进行函数化并减去均值，与各特征函数计算内积后 便是曲线的特征参数了． 2. 2 弹药传输机械臂角速度曲线特征提取 1. 3 节中，通过仿真试验获得了 100 组支臂的角 速度样本曲线，在进行极限学习机训练前，需提取样本 曲线的特征参数以降低样本的维度，提高训练速度与 效率． 对于 100 组样本数据，首先进行数据的函数化， · 416 ·
赵抢抢等：函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 ·615* 使用4阶B样条基函数进行函数展开，2阶粗糙惩罚 的比率.如图4(b)所示，前6阶主成分的累计贡献率 函数进行数据平滑，平滑系数入=50000.按照2.1节 已超过95%，因此本文仅保留前6阶主成分.需要说 的方法进行函数型数据的系数向量计算. 明的是这里的特征值并非需要提取的特征参数，对于 函数化之后进行去均值操作，完成主成分函数的 每个样本，或待辨识的测试数据，进行函数化之后，与 计算.图4(a)为用于函数展开的B样条基函数系统： 选择的前6阶主成分函数进行内积计算，所得结果为 图4(b)为函数化后的样本角速度曲线：图4(c)为前 主成分得分，即所需要的特征参数.该特征参数将作 十阶主成分函数：图4(d)为前十阶主成分函数的占 为极限学习机的输入，为一100×6的矩阵：而待辨识 比，即根据式(15)计算求解得到的各个特征值占总和 参数将作为极限学习机的输出，为一100×3的矩阵. a (b) 0.6 60 05 40 04 20 0 2000 100 1000 时间ms 50 500 1000 1500 2000 00 样本序列 时间s 0.8 0.10 d D.6 0.4 -0.05 0.2 -0.10 500 1000 1500 2000 2345678910 时间s 前十阶主成分序号 图4函数化结果.(a)B样条基函数系统：(b)函数化后的支臂角速度曲线：（©）前十阶主成分函数：(d)前十阶主成分占比 Fig.4 Functional results:(a)B spline basis function system:(b)angular velocity of the arm after function procedure:(c)the first ten principal component functions:(d)the proportion of the first ten principal components 3弹药传输机械臂参数辨识 式中，w:=[oa,wa,…,0n]T为第i个输入层节点与 隐含层节点的连接权值，B:=Bm,B2,…,Bm]T为第i 3.1基于粒子群算法改进的极限学习机算法 个隐含层节点与输出层节点的连接权值，b:为第i个 3.1.1极限学习机算法 隐含层节点的阈值 极限学习机是一种典型的单隐含层前馈神经网 当隐含层节点数与训练样本数相等时，极限学习 络，其随机产生输入层与隐含层的连接权值和隐含层 机可以以零误差逼近训练样本，即存在B,、w:和b, 节点的阈值，且在训练过程中无需调整，只需要设置隐 使得： 含层节点的个数，便可获得唯一的最优解，与传统的训 H B=T. (17) 练方法相比，该算法具有学习速度快、泛化能力好等 其中，H,为隐含层输出矩阵， 优点圆 H(w1,…,wx,b,…,bn,x1,…,xx)= 假设任意N个独立的样本(xt),x:=xa,x2, [g(wx1+b,）…g(wxx1+bx）1 ,xm]T∈R",t,=a,la…,lm]T∈R",对于具有n个 g(w1xw+b,） g(wxx+b、) 输入节点m个输出节点，且隐含层节点数为N,激活函 数为g(x)的极限学习机的数学模型为 B:1 宫R脂)=宫B影m+6) j=1,2,…,N (16) 当激活函数无限可微时，在训练前随机选择柳和
赵抢抢等: 函数型数据分析与优化极限学习机结合的弹药传输机械臂参数辨识 使用 4 阶 B 样条基函数进行函数展开，2 阶粗糙惩罚 函数进行数据平滑，平滑系数 λ = 50000． 按照 2. 1 节 的方法进行函数型数据的系数向量计算． 函数化之后进行去均值操作，完成主成分函数的 计算． 图 4( a) 为用于函数展开的 B 样条基函数系统; 图 4( b) 为函数化后的样本角速度曲线; 图 4( c) 为前 十阶主成分函数; 图 4 ( d) 为前十阶主成分函数的占 比，即根据式( 15) 计算求解得到的各个特征值占总和 的比率． 如图 4( b) 所示，前 6 阶主成分的累计贡献率 已超过 95% ，因此本文仅保留前 6 阶主成分． 需要说 明的是这里的特征值并非需要提取的特征参数，对于 每个样本，或待辨识的测试数据，进行函数化之后，与 选择的前 6 阶主成分函数进行内积计算，所得结果为 主成分得分，即所需要的特征参数． 该特征参数将作 为极限学习机的输入，为一 100 × 6 的矩阵; 而待辨识 参数将作为极限学习机的输出，为一 100 × 3 的矩阵． 图 4 函数化结果． ( a) B 样条基函数系统; ( b) 函数化后的支臂角速度曲线; ( c) 前十阶主成分函数; ( d) 前十阶主成分占比 Fig． 4 Functional results: ( a) B spline basis function system; ( b) angular velocity of the arm after function procedure; ( c) the first ten principal component functions; ( d) the proportion of the first ten principal components 3 弹药传输机械臂参数辨识 3. 1 基于粒子群算法改进的极限学习机算法 3. 1. 1 极限学习机算法 极限学习机是一种典型的单隐含层前馈神经网 络，其随机产生输入层与隐含层的连接权值和隐含层 节点的阈值，且在训练过程中无需调整，只需要设置隐 含层节点的个数，便可获得唯一的最优解，与传统的训 练方法相比，该算法具有学习速度快、泛化能力好等 优点［13］． 假设任意 N 个独立的样本( xi，ti ) ，xi =［xi1，xi2， …，xin］T ∈Ｒn ，ti =［ti1，ti2，…，tim］T ∈Ｒm，对于具有 n 个 输入节点 m 个输出节点，且隐含层节点数为 N 槇，激活函 数为 g( x) 的极限学习机的数学模型为 ∑ ～ N i = 1 βigi ( xj ) = ∑ ～ N i = 1 βig( wixj + bi ) = oj ， j = 1，2，…，N． ( 16) 式中，wi =［ωi1，ωi2，…，ωin］T 为第 i 个输入层节点与 隐含层节点的连接权值，βi =［βi1，βi2，…，βim］T 为第 i 个隐含层节点与输出层节点的连接权值，bi 为第 i 个 隐含层节点的阈值． 当隐含层节点数与训练样本数相等时，极限学习 机可以以零误差逼近训练样本，即存在 βi、wi 和 bi， 使得: Hhβ = T． ( 17) 其中，Hh 为隐含层输出矩阵， Hh ( w1，…，w～ N ，b1，…，b～ N ，x1，…，xN ) = g( w1 x1 + b1 ) … g( w～ N x1 + b～ N ) g( w1 xN + b1 ) … g( w～ N xN + b～ N ) N ×～ N β = βT 1 βT ～ N ～ N × m ，T = t T 1 t T N N × m ． 当激活函数无限可微时，在训练前随机选择 w 和 · 516 ·