收敛区域收敛半径幕级数的性质Abel第二定理幕级数的运算Taylor展开7.3.3幕级数的性质设幂级数n=anan在I=（-R,R）中收敛于Sac)定理 4 幂级数在 I =（-R,R)内任何闭子区间上一致收敛,因而,和函数S(α) 在 I 内连续证明任给0<r<R，则n=lanr收敛，而当lal≤r时lana"|≤lanr"],所以m=anan在[一r,r]上一致收敛。对于I中任意闭区间J,一定存在r，使JC[一r,rlC（-R,R)，所以在J上一致收敛而和函数的连续性则是显然的返回全屏关闭退出6/17
Âñ« Âñ» ?ê5 Abel 1½n ?ê$ Taylor Ðm 7.3.3 ?ê5 ?ê P∞ n=0 anx n 3 I = (−R, R) ¥Âñu S(x). ½n 4 ?ê3 I = (−R, R) S?Û4f«mþÂñ, Ï , Ú¼ê S(x) 3 I SëY. y² ? 0 < r < R, K P∞ n=0 |anr n|Âñ, |x| 6 r |anx n | 6 |anr n |, ¤± P∞ n=0 anx n 3 [−r, r] þÂñ. éu I ¥?¿4«m J, ½3 r, ¦ J ⊂ [−r, r] ⊂ (−R, R), ¤±3 J þÂñ. Ú¼êëY5K´ w,. 6/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
收敛区域收敛半径幕级数的运算Taylor展开幕级数的性质Abel第二定理定理5幂级数的和函数 S(c)在收敛区间 I=（-R,R)中可微,并有8 nanan-1S'(α) =n=1且求导后的幂级数的收敛半径仍为R证明先求n=nanan-1 的收敛半径。任取 co E（-R,R),存在r：lacol<r<R,lann<,因此Janrn<M有界所以Imana-= [anr"/" "-因为"|n-1当[col<r 时收敛,所以幂级数n=nanan-1在 ao绝对收敛.也就是说n=nanan-1的收敛半径R≥R。如果R>R,则存在co:R>co>R,nann-l<o.因为lana|≤Inananl=colnanan-l]所以ananl收敛，这是不可能的，所以R=R返回全屏关闭退出II7/17
Âñ« Âñ» ?ê5 Abel 1½n ?ê$ Taylor Ðm ½n 5 ?êÚ¼ê S(x) 3Âñ«m I = (−R, R) ¥, ¿k S 0 (x) = X ∞ n=1 nanx n−1 , ¦?êÂñ»E R. y² k¦ P∞ n=1 nanx n−1 Âñ». ? x0 ∈ (−R, R), 3 r : |x0| < r < R, P |anr n| < ∞, Ïd |anr n| < M k., ¤± |nanx n−1 0 | = |anr n | n r x0 r n−1 6 M n r x0 r n−1 . Ï P n r x0 r n−1 |x0| < r Âñ, ¤±?ê P∞ n=1 nanx n−1 3 x0 ýé Âñ. Ò´` P∞ n=1 nanx n−1 Âñ» R0 > R. XJ R0 > R, K3 x0µR0 > x0 > R, P |nanx n−1 0 | < ∞. Ï |anx n 0 | 6 |nanx n 0 | = x0|nanx n−1 0 | ¤± P |anx n 0 | Âñ, ù´ØU, ¤± R0 = R. 7/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ