整理上式,并把各项都除以微元平行六面体的质量 pd1d1d则得 同理得 p aro 0 (2-3) 1Op=0 写成矢量形式 f--vp=0 这就是流体平衡微分方程式,是在1755年由欧拉 ( Euler)首先推导出来的,所以又称欧拉平衡微分方程 式。此方程的物理意义是:在静止流体中,某点单位质量 流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中, 除了假设是静止流体以外,其他参数(质量力和密度) 2021/2/24 16
2021/2/24 16 整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量 ρdxdydz则得 同理得 （2-3） 写成矢量形式 这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉 （Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程 式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量 流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中， 除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度) 0 1 = − x p f x 0 1 = − y p f y 0 1 = − z p f z 0 1 f − p =
均未作任何限制,所以该方程组的适用范围是:静止或相 对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最 基本的方程组,流体静力学的其他计算公式都是从此方程 组推导出来的 在推导流体静力学的计算公式时,一般不从上述方程 出发,而是从下述的压强差公式来进行推导的。 把式(2-3)两边分别乘以dx,dy,dz,然后相加,得 p(dx+f,dy+f_dz)=dx+dy+dz 流体静压强是空间坐标的连续函数,即p=D(x,y,2),它的 全微分为 dx +dy+.dz 所以 dp=pu dx+f, dy+f dz) (2-4) 2021/2/24 17
2021/2/24 17 均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相 对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最 基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程 组推导出来的。 在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程 出发，而是从下述的压强差公式来进行推导的。 把式（2-3）两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得 流体静压强是空间坐标的连续函数，即 ，它的 全微分为 所以 （2-4） z z p y y p x x p f x f y f z ( x d y d z d ) d d d + + + + = p = p(x, y,z) z z p y y p x x p dp d d d + + = dp ( f dx f dy f dz) = x + y + z
此式称为压强差公式。它表明:在静止流体中,空间点的 坐标增量为dx、σy、dz时,相应的流体静压强增加dp, 压强的增量取决于质量力 二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体,密度ρ=常数,可将式(2-4) 写成 d P=f,dx+f, dy+f,d= 上式的左边是全微分,它的右边也必须是全微分。由数学 分析知:该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件 是 ax az (2-5) 由理论力学可知,式(2-5)是f、f、f具有力的 2021/2/24 18
2021/2/24 18 此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的 坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp， 压强的增量取决于质量力。 二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度ρ＝常数，可将式（2-4） 写成 上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学 分析知：该式右边成为某一个函数全微分的充分必要条件 是 （2-5） 由理论力学可知，式（2-5）是 fx、fy、fz 具有力的 f x f y f z p x y z d = d + d + d y f z f y z = z f x f z x = x f y f x y =
势函数-x(x,y,=)的充分必要条件。力的势函数对各坐标 轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量,即: 0丌 O丌 f2 (2-6) 写成矢量形式: =-grad丌 由式(2-4)得 0丌,O丌 0丌 fr dx+fydy+fz dx+ dy+dz=-dt(2-6a az 有势函数存在的力称为有势的力,由此得到一个重要 的结论:只有在有势的质量力作用下,不可压缩均质流体 才能处于平衡状态,这就是流体平衡的条件。 三、等压面 在流体中,压强相等的各点所组成的面称为等压面。 2021/2/24 19
2021/2/24 19 势函数－ 的充分必要条件。力的势函数对各坐标 轴的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即： ， ， （2-6） 写成矢量形式： 由式（2-4）得 （2-6a） 有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要 的结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体 才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。 三、等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。 (x, y,z) x f x = − y f y = − z f z = − f = −grad d d d d d d d d = − + + = + + = − z z y y x x f x f y f z p x y z
等压面可以用p(X,y,z)=常数来表示。对不同的等压面,其 常数值是不同的,而且流体中任意一点只能有一个等压面 通过。在等压面上,dp=0,由式(2-6a)可得dm=0,即 =常数,也就是说,在不可压缩静止流体中,等压面也是 有势质量力的等势面。 液体与气体的分界面,即液体的自由液面就是等压面, 其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不掺 混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面有一个重要性质,就是等压面与质量力互相垂 直。因为在等压面上各处的压强都一样,即dp=0,由式 (2-4)可得等压面微分方程: f dx+f,dy+f dz =0 (2-7) 2021/2/24 20
2021/2/24 20 等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。对不同的等压面，其 常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面 通过。在等压面上，dp=0，由式（2-6a）可得dπ=0，即 =常数，也就是说，在不可压缩静止流体中，等压面也是 有势质量力的等势面。 液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面， 其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。互不掺 混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面有一个重要性质，就是等压面与质量力互相垂 直。因为在等压面上各处的压强都一样，即dp=0，由式 (2-4)可得等压面微分方程： f x dx + f y dy + f z dz =0 （2-7）