§5微分学 5.1微分学图表(附后) 5.2主要习题类型 1.求(或证)函数的导数(一阶或高阶) [例1]y= arctge2-l Ve2+1 (答案:= [例2]y=snwx+cos"x,求x2 (EE: y sin or+iz(ctga'x-Insinx)+ cosortizdlncosx-tg2z)) [例3]验证y=cost,x=dsin所确定的函数y=f(x)满足关系式y(x+y)2= 2(ry'- y [例4求隐函数∫d+csh=0的导数x 答案:= [例5]已知f(x)在(0,+∞)上连续求f()d在x=0点的导数.(答案:f(1) [例6设f(x)在(-∞,+∞)上有连续导数则f(x)为偶函数的充要条件是f(x) 为奇函数 [例门证明:在区间-1<x<1内至少存在两个点,使a(x2-1)z=0(m为大于 1的正整数 例8)若/()-{2x≠0,证明r(o0-0 0 0 2.求函数的徽分(略) 3求切法线方程等 [例9]试求经过原点且与曲线y + 相切的切线方程(答案:x+25y=0) 4.证明不等式 (1)利用中值定理 [例10]证明 arctan- arctgy≤|x-y (2)利用泰勒定理 [例11设x>-1,则在0<a<1时有(1+x)≤1+ax;又在a<0或a>1时有 (1+x)“≥1+ax;以上两个不等式的等号成立的充要条件是x=0 (3)利用函数的单调性 [例12]证明(1+x)≥2;出8(x≥0) (4)用极值或条件极值 [例13]设x>b(K=1,…,n)且xx=1证明x1+x2+…+x≥n,等号仅在 1=…=x时成立 5.讨论代数方程的根,求其近似解(略) 6,近似计算与误差估计(略) 7.求函数的极值与最大(小)值 21·
[例14]求y=cosx的极值 答案:极大值y(2km+2)=√2em+÷,极小值y(2kx+5)=-2c+ [例15]设宽a米的河,修建一宽为b米之运河,二者成直角相交,问能驶进运河的船其 最大长度为多少? 答案:L=(ya2+y2)) 8求函数的拐点 [例16]证明曲线y=x+有位于同一直线上的三个拐点 9.求曲率与曲率圆方程 [例17求曲线y=nx上曲率取极值的点,(答案:( 1n2)处取极大值) 例18」求曲线y=tgx在点(1)处的曲率国方程 (答案:(x一 )2≈125 10.描绘函数图像 例19]y=2+42(牛顿三又戟线),描绘其图像 例20]y=x+,描绘其图像 11.综合论证题 [例21设∫(x)在0≤x<+∞上连续可微,且lim[f(x)+f(x)]=0,求证: am f(r)=0 [例22]求证函数f(x)= 当x>0 有各阶连续导数 当x≤0
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§6积分学 6.I积分学图表 定积分」 ·性质 [运算 匮概念] (1)定义:第丌 1)[f(x)土 广义积分达 积分和式,当→ (1)利用不定积分 ∞,H△x1→0时的 f(x)dz± 积分区间 2)注意:用第二换为无限 Kkr)dx 元法计算定积分时 ∑f(e△rAr )设f(x) 〔2)Kf(x)d 的条件(用执+∞)内湖:连楼:,成 →0弥为f(x)从 K f(r)dzs 到b的定积分 元法时,=的核取b>,着0若 f(x)dx≈ (2)儿何意义 (3)f(z)dx 条件类同)设1m/(x)dhmf(a)lr 般地说 ①函数在区闻 f(abdus a≤≤P上(或a>降在则定义 f(x)dx是介于 P)是单值的且具有!。f(x)dx far)dx (2)梯形法; 轴,函数 连续的导数中(); ∫(x)dx, f(x)dr f(x)的图形及纵(5)Jf(x)dr= ②n)=a(B)=imf(x)dx, 之 fCe)dx b且当在区间a≤t此时称广义积 间的各郁分面积 ≤P上变化时由变存在或收敏:西傻 的代数和 fCr)dx: 量代换关系式x=阅,称其尢意义或(2 变力作功液体压() J dtmb-a,)所确定的x的俊散 (3)物理意义 数值全部包含于区k2)同理 E7时的0越物 力等 7)若在[a,b] f(x)≤x), 间a≤x≤b内,则 f(dz (辛普生法 (4)存在定理 ①若函数f(x)在(x)d≤ 有定积分的换元公 ff(ryder 闭区间[a,b]上连fwx)dx 式{f(z)dx=imf(x)d 1 续,则f(x)在[a ≤f(x)dx),(3)当fx)为偶函(x)=Pm⑦=时引+4y b]上的积分必存(推论,()dx f()]·y(tdt 同理, y-:)+2(y2 人度取小/然做金的 ②若函数∫(x)在(3)设M,m是函数 lim//(a)dr+/()d 2 Lim f(dr, fim.f(dr+ fcr)dx 在a,b】上可积 f(r)dz 当f(x)为奇函数 (9)设f(x2)在[a,时f(x)dx=0 ≤M(b-a) 少存在一点 使下式成立 f(x)dr=f(E) (此为“定积分中值
w积分学 [用 几何学中 面图形 体积 (1)平行截面面积为已(1)平面曲线 知的立体体积 ①参数方程 V=i S(a)dr T= p(t) ①画草图; ②确定积分变量〔考虑单值性); 垂直于z轴,以x为横 ③确定被积函数; 坐标的截面面积) s=VaaG>+wat ()直角坐标 (2)旋转体体积 ②直角坐标 绕x轴旋转时: 积分变量 s-t+yidr ③极坐标 轴上方f(x)y轴右方y)‖绝y轴旋转时 s-.如+r x轴下方f(x)y轴左方(y) V=*i ad (2)空间曲线 2J-x°x-,(6》旋转体侧面积 分割平面域 S=2xyⅵ1+ydx i)参数方程 2 2()+y2(t)+a(t)dt (绕y轴 S=y()·()d (i)极坐标 S rid ⑨确定积分限 解方程组,求交点坐标; ⑤非单值时注意利形面积的和、差关系; 充分利用图形的对称性