定义:若成x)=f( 4)叫做(x)的原函数:(x)的所有 原函数的全体叫∫(x)的不定积分(积分曲线族)。 L般积分法 在物 力学中 换元积分法 ·[分部积分法 元素法 [第一换元 换元法 设x=(w)(单调 ①所求量Q要满足与区间】设k=(x)(可导)可导a)≠0) 注意;有时连续用之 ②选取x为积分变量,,1)法|换元公式: [ab]相关和可加性条件; 换元公式 fir)dr e lpx] 方得结果;有时需移项 for)Jy(r)dr= 至左边变为“2I”等方 为积分区间 分割[为个子区间果F+C 得结渠;有时与换元积 是x)的反函|分法综合使用 (通常等分之); 定/(a)d- ④考察任一子区间薄层),分关键配微分d;积分 《常见两类 找出量Q的元素; 性变量一致 三角代换 x2+a2型令 a2型令 (连续函数) a,seca;√a-x2 ⑤对Q的元素取定积分,即分 倒代换: (用之可消 见 去被积函数分母中的 图 求 积 类间题 [定集1f(x)在a,b上莲续,px)=Jf()→ 变液函数平均值 [定理2f(x)在a,b]上连续→(x)=f(d是 f(x)在该区间上的一个原函数 [定理3](NL公式);F(x)是连续函数f(x)在ab 上的一个原函数→(x)dx=F(b)-F(a) NEWTON-LEIBNIZ公式
性质;(1):f(x)x=(x),(x)dx-f(x)+; 不定积分 (2)|(x)+(x)+…+ψx)]dx=|f(x)x+()dx+…+l(x)dx; (3)af(r) f(x)dx(a*o 匚几神函数类型积分法」 查积分表法(见书末附表) *有理再数 角函数有理式 无理酒数][三项徼分式 剪操:非真分式时化成整式加上真分a|ksm,x(1)8,2x+b)|①被积函数表连式为 设分式(x-(-b.(+①令“一B2 ①令x+b=41.为有理数,a、b为 实数 px+q)…(x2+rx+s),则真分式 ②|R(x,√ax+b)d Q(x) (x-a 7之一为整数 ③代换后,利用有理 ③按有理函数积分法就是 ③可通过代换化为无 函数积分法等求之 ④代入。 理函数之积分 (r2+ rr +s) +Rx+多 被视新(Kx (其中p2-4<0,…,r2-45<0) 待定系数法求上式中诸常数 令 一 dx =1 Aln C Ddx de+m cr) da -ln r2+pr R t2+bx+o) v-ap 将ax2+bx+c配方, arcta 2 - 本的蛋款之或用积分 拆成二积分 (x2+px+9) 利同递推公式 J )(2+a2)+(2n (其中In= u+a)
62主要习题类型 计算不定积分 [例1] 1+sinx (答案:etg+C) [例2] cos.r 答案:xtg2+2nosy-ln(1+csx)+C [例3] d x√1 答案:+x+11-1+z 1+√1+ [例4] 答案 +c [例5]②+osz)snx 答案:1n(2+cosx)-ln(1+cosx)+hln(1-cosr)+C 「例6 x3-x2+2x-2 答案;2n(x-1)+n(x2+2)+C [例7 arctic (1+x) 答案吉[ma+xy+-+)-1- larct.x 例8 y(x+1)2(x-1)x 答案:-3yx+ 例9建立,一点千的递推公式 答案:l,=(n-2)n √1+x2 [例10] T +cosx-I 答案g2-cg号+c 例1j0+d 答案:x+92+18+3x2+C 1Ja++m0≠0,(答第号+b-2++m+O 验证原函数(略) 3应用定积分性质比较定积分大小与估值(略) 4.计算定积分 [例13] n(1+x) 1+ (答案:ln2) [例14]计算I=1(1+x-1)e-+dx 答案:I 3 [例15]计算.=cos(为自然数 (答案:n=(28)1 (2k+1)!! [例16】设1= tg"rdr,n为大于1的整数计算l+-2,并证明;1 2(n+1)<< 2(n-1) 答案
[例17 sinx (答案:0) 5.证明定积分的关系式或性质 [例18]设f(x)为[0,1]的非负单调非增函数(即当x<y时,f(x)≥f(y)),利用积分 中值定理证明对于0<a<日<1,有下列不等式成立(x)dx≥(x)x [例19]已知当a≤x≤b时,(x)>0,門(x)>0,证明:(b-a)f(a)<|f(x)dx b。f(a)+f(b) 5例20]设∫(x)为连续函数证明:xf(sin)dx=f(sinx)dx,并计算 xsint-dz 答案:) [例21]举例说明周期为T的可积函数∫(x)的积分f()d不一定是周期函数 6.定积分的近似计算(略) 计算广义积分 例22]计算I= (x2-a2)√x2-1 (a为大于0的常数) (答案:当a<1I= a1=ae=正 当a>1 a a+√a-1 当a=1I发散) [例23]证明 [例24]证明f(x)e"dx f(r) dx, [例25]计算 可G 答案:2) 8.求平面图形的面积 [例26]证明对于参数方程x=9(t),y=收)(t≤t≤T),绘出曲线所围成的面积公 式为:S=1g(t)y"(t)d=-|g(x)y(t)dt,其中当参数增加时,曲线是逆时针方向描绘的;或 2.[)y()-()()yd [例27]求曲线x=2+√y-1,直线y=2x及直线y=8-2x所围成图形的面积 (答案:S=7古) [例281计算由曲线x+y=ax2y所围成的平面图形的面积.(答案:S=m=) 8√2 9.求体积(两类) 例29]求由下列两曲面:x2+y2+x2=a2,x2+y2=ax所组成的体积 (答案:v=3(-3)
[例30]求用通过底面直径的平面从直圆柱上切下的弓形体体积,设圆柱的底半经为a, 底面方程为x2+y2≤a2,截面通过x轴上的直径,且与底面成a角(答案:V=3ag) [例31]证明把面积0≤a≤0≤B≤丌,0≤r≤r(0)绕极轴旋转所成的体积为:v 2x[r(0)sinede 10.求曲线孤长 [例32]求曲线r=1+e09(≤2)的弧长 答案:S=|p[√2+hn(1+√2) 11.求交力作功(略 12.求液体压力 [例33]半径为a的球沉入密度为ρ的液体中,深度(距球心)为h(h≥a),求在球表面 上方和下方所受液体压力的表达式 答案:上方:P1=xp2(h-2);下方:Pr=xm2(h+2) 13.求函数平均值及其它(略)