第2课时 对数函数及其性质的应用 基础巩固 1.己知0<x<y<a<1,则有( A.loga(xy)<0 B.0<loga(xy)<1 C.1<loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 解析：.0<x<ya<1,.xya2 又0<a<1,∴.loga(xy)>logaa2=2. 答案D 2.方程1og2(x+4)=2x的实数解的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析：方程解的个数即函数y=l0g2(x+4)与y=2图象交点的个数，作出两函数图象， 由图象易知两图象有两个交，点， 答案：C 3.若x∈(e1,1),a=lnx,b=2lnx,c=(lnx)3,则( A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 解析：x∈(el,1),∴.-l<lnx<0 '.'b-a=2In x-In x=In x<0,..b<a. c-a=(In x)3-In x=In x[(In x)2-11>0. .c>a. 答案：C 4.函数y=log=(x2-2x)的单调递增区间是( A.(1,+o) B.(2,+oo) C.(-0,1) D.(-0,0) 解析：由x2-2x>0得x<0或x>2,又y=log2x在区间(0，+o)内是减函数，故函数 y=log1(x2-2x)的单调递增区间为(-o,0) 答案D 5.若函数x)= flogax,x >1, 是R上的增函数，则实数a的取值范围为( (8-a)x-4,x≤11 A.(1,+o) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) a>1, 解析：由题可得{8-a>0,故4≤a<8.选D 8-a-4≤0， 答案D 6.函数y=log0.8(-x2+4x)的单调递减区间是
第 2 课时 对数函数及其性质的应用 基础巩固 1.已知 0<x<y<a<1,则有( ) A.loga(xy)<0 B.0<loga(xy)<1 C.1<loga(xy)<2 D.loga(xy)>2 解析:∵0<x<y<a<1,∴xy<a2 . 又 0<a<1,∴loga(xy)>logaa 2=2. 答案:D 2.方程 log2(x+4)=2 x 的实数解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:方程解的个数即函数 y=log2(x+4)与 y=2 x 图象交点的个数,作出两函数图象, 由图象易知两图象有两个交点. 答案:C 3.若 x∈(e-1 ,1),a=ln x,b=2ln x,c=(ln x) 3 ,则( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 解析:∵x∈(e-1 ,1),∴-1<ln x<0. ∵b-a=2ln x-ln x=ln x<0,∴b<a. 又 c-a=(ln x) 3 -ln x=ln x[(ln x) 2 -1]>0, ∴c>a. 答案:C 4.函数 y=log1 π (x 2 -2x)的单调递增区间是( ) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,0) 解析:由 x 2 -2x>0 得 x<0 或 x>2,又 y=log1 π x 在区间(0,+∞)内是减函数,故函数 y=log1 π (x 2 -2x)的单调递增区间为(-∞,0). 答案:D 5.若函数 f(x)={ log𝑎𝑥,𝑥 > 1, (8-𝑎)𝑥-4,𝑥 ≤ 1 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) 解析:由题可得{ 𝑎 > 1, 8-𝑎 > 0, 8-𝑎-4 ≤ 0, 故 4≤a<8.选 D. 答案:D 6.函数 y=log0.8(-x 2+4x)的单调递减区间是
解析：令-x2+4x>0得0<x<4,故函数的定义域为(0,4) 因为t=-x2+4x的递增区间为(-0,2] 故函数y=l0g0.8(-x2+4x)的递减区间为(0,2] 答案：0,2] 7.已知定义域为R的偶函数x)在区间[0，+∞)内是增函数，且月=0，则不等式 log4x)<0的解集是 解析：由题意可知(log4)<0台logr<台log4<1og4r<log42台头x<2 答案（任，2） 8.己知函数x)=2+log3x(1≤x≤9)，则函数g(x)=P(x)+x2)的最大值为 最小值为 解折由已知得西数的定义装为三)1≤≤3卫 g(x)=P(x)+/x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6. 则当1og3x=0,即x=1时gx)有最小值g(1)=6; 当1og3x=1,即x=3时gx)有最大值g(3)=13. 答案：136 9.己知函数x)满足x+1)=lg(2+x)lg(x). (1)求函数x)的解析式及定义域： (2)判断并证明x)的单调性 解：(1x+1)=lg2+x)lg(-x)=lg(1+1+x)-lg[1-(1+x)], =e1+e1-a0得1r<1 x)的定义域为(1,1) (2)x)在区间(-1,1)内是增函数.证明如下： =g1+He1-w)-e2装 令1=+设-1<x1<2<1, 1.x 则1-h=1+-+=2)<0, 1-x11-x2 (1-x1(1-x2) .1<2, .'.Ig ti<lg b, x)在区间(1,1)内是增函数 10.已知函数x)=loga(x+1)Hoga(1-x(a>0,且a时1) (1)求函数x)的定义域： (2)判断函数x)的奇偶性，并加以证明： (3)设a=2解不等式x)>0, 解(0)由题意知货0解得-<1所以函致的定义城为1)
解析:令-x 2+4x>0 得 0<x<4,故函数的定义域为(0,4). 因为 t=-x 2+4x 的递增区间为(-∞,2], 故函数 y=log0.8(-x 2+4x)的递减区间为(0,2]. 答案:(0,2] 7.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)内是增函数,且 f( 1 2 )=0,则不等式 f(log4x)<0 的解集是 . 解析:由题意可知 f(log4x)<0⇔- 1 2 <log4x<1 2 ⇔log44 - 1 2<log4x<log44 1 2 ⇔ 1 2 <x<2. 答案:( 1 2 ,2) 8.已知函数 f(x)=2+log3x(1≤x≤9),则函数 g(x)=f2 (x)+f(x 2 )的最大值为 , 最小值为 . 解析:由已知,得函数 g(x)的定义域为{ 1 ≤ 𝑥 ≤ 9, 1 ≤ 𝑥 2 ≤ 9 ⇒1≤x≤3,且 g(x)=f2 (x)+f(x 2 )=(2+log3x) 2+2+log3x 2=(log3x) 2+6log3x+6. 则当 log3x=0,即 x=1 时,g(x)有最小值 g(1)=6; 当 log3x=1,即 x=3 时,g(x)有最大值 g(3)=13. 答案:13 6 9.已知函数 f(x)满足 f(x+1)=lg(2+x)-lg(-x). (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; (2)判断并证明 f(x)的单调性. 解:(1)f(x+1)=lg(2+x)-lg(-x)=lg(1+1+x)-lg[1-(1+x)], ∴f(x)=lg(1+x)-lg(1-x),由{ 𝑥 + 1 > 0, 1-𝑥 > 0, 得-1<x<1, ∴f(x)的定义域为(-1,1). (2)f(x)在区间(-1,1)内是增函数.证明如下: f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)=lg1+𝑥 1-𝑥 , 令 t= 1+𝑥 1-𝑥 ,设-1<x1<x2<1, 则 t1-t2= 1+𝑥1 1-𝑥1 − 1+𝑥2 1-𝑥2 = 2(𝑥1 -𝑥2 ) (1-𝑥1 )(1-𝑥2 ) <0, ∴t1<t2, ∴lg t1<lg t2, ∴f(x)在区间(-1,1)内是增函数. 10.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并加以证明; (3)设 a= 1 2 ,解不等式 f(x)>0. 解:(1)由题意知{ 𝑥 + 1 > 0, 1-𝑥 > 0, 解得-1<x<1,所以函数 f(x)的定义域为(-1,1)
(2)函数x)为奇函数. 证明如下：由(1)知函数x)的定义域为(-1,1)，对任意x∈(1,1)-x)=loga(-x+1) loga[1-(-x】=-loga(x+1)Hoga(1-x】=-x),所以函数x)是奇函数 (x+1>0, (3)由题意知log=x+1)>log=1-x,则有1-x>0,解得-1<x<0,所以不等式 x+1<1-x, x)>0的解集为{x-1<x<0} 拓展提高 1.若0<a<1,且函数fx)=logx,则下列各式中成立的是( A2)>日B)>2) c)2>D2> 解析：x)=llogaxl的图象如图所示， 当0<x<1时x)为减函数. >) 2)=llog,2I--log2=log) >得)故选B 答案B 0g2x,x>0, 2.已知函数x)-1og2(x),x<0,若aP-a,则实数a的取值范围是( A.(-1,0)U(0,1)B.(-0,-1)U(1,+o) C.(-0,-1)U(0,1)D.(-1,0)U(1,+o) 解析x)的图象如图所示， 则x)是奇函数，由a>-ad),得2a>0, 从图象可知a的取值范围是(-1,0)U(1,+o),故选D. 答案D 3.若函数x)=xn(x+Va2+x2)为偶函数，则a的值为( A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 解析x)为偶函数，-x)x)=0 Ep-xIn(-x+va2 +x2)-xIn(x+Va2+x2)=0
(2)函数 f(x)为奇函数. 证明如下:由(1)知函数 f(x)的定义域为(-1,1),对任意 x∈(-1,1),f(-x)=loga(-x+1)- loga[1-(-x)]=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数. (3)由题意知 log1 2 (x+1)>log1 2 (1-x),则有{ 𝑥 + 1 > 0, 1-𝑥 > 0, 𝑥 + 1 < 1-𝑥, 解得-1<x<0,所以不等式 f(x)>0 的解集为{x|-1<x<0}. 拓展提高 1.若 0<a<1,且函数 f(x)=|logax|,则下列各式中成立的是( ) A.f(2)>f( 1 3 )>f( 1 4 ) B.f( 1 4 )>f( 1 3 )>f(2) C.f( 1 3 )>f(2)>f( 1 4 ) D.f( 1 4 )>f(2)>f( 1 3 ) 解析:f(x)=|logax|的图象如图所示, 当 0<x<1 时,f(x)为减函数. ∵ 1 3 > 1 4 ,∴f( 1 3 )<f( 1 4 ). 又 f(2)=|loga2|=-loga2=loga 1 2 =f( 1 2 ), ∵ 1 2 > 1 3 ,∴f( 1 2 )<f( 1 3 ).故选 B. 答案:B 2.已知函数 f(x)={ log2𝑥,𝑥 > 0, log1 2 (-𝑥),𝑥 < 0,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞) 解析:f(x)的图象如图所示, 则 f(x)是奇函数,由 f(a)>f(-a),得 2f(a)>0, 从图象可知 a 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞),故选 D. 答案:D 3.若函数 f(x)=xln(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )为偶函数,则 a 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.1 或-1 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0, 即-xln(-x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )-xln(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )=0
..In(x+Va2 +x2)+In(-x+Va2 +x2)=0, lnl(x+va2+x2)(-x+Va2+x2)]=0, 即na2=0 .a2=1,a=±1，故选D 答案D 4.己知函数x)=log(2r+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是 () A.0<ml<b<1 B.0<b<rl<1 C.0<b1<a<1 D.0<al<b-1<1 解析：令g(x)=2r+b-1,这是一个增函数，而由图象可知函数x)=logag(x)是单调递 增的，所以必有a>1. 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之间，即-1<0)<0， 所以-1<logab<0 故al<b<1,因此0<rl<b<1 答案：A 5.己知函数x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+o)内单调递增.若实数a满 足log2a)+1og1a)≤21)，则a的取值范围是( ) A.[1,2] B(0 c6,2] D.(0,2] 解析：f1og1a)=-log2a)=log20, ∴.原不等式可化为Iog2a)≤1). 又x)在区间[0，+o)内单调递增， ∴.0≤log2a≤1，即1≤a≤2 .x)是偶函数，∴1og2a)≤-1)月 又x)在区间(-o,0]上单调递减， ∴-l≤log2a≤0，∴2≤a≤1 综上可知，≤a≤2. 答案C 6已知函数1X>的值域为R则实数a的取值范围是 解析：由题意知，当x>1时x)=2a+lnx>2a
∴ln(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )+ln(-x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )=0, ∴ln[(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )(-x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )]=0, 即 ln a 2=0. ∴a 2=1,a=±1,故选 D. 答案:D 4.已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的关系是 ( ) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析:令 g(x)=2 x+b-1,这是一个增函数,而由图象可知函数 f(x)=logag(x)是单调递 增的,所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间,即-1<f(0)<0, 所以-1<logab<0, 故 a -1<b<1,因此 0<a-1<b<1. 答案:A 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数 a 满 足 f(log2a)+f(log1 2 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( ) A.[1,2] B.(0, 1 2 ] C.[ 1 2 ,2] D.(0,2] 解析:∵f(log1 2 a)=f(-log2a)=f(log2a), ∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1). 又 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增, ∴0≤log2a≤1,即 1≤a≤2. ∵f(x)是偶函数,∴f(log2a)≤f(-1). 又 f(x)在区间(-∞,0]上单调递减, ∴-1≤log2a≤0,∴ 1 2 ≤a≤1. 综上可知, 1 2 ≤a≤2. 答案:C 6.已知函数 f(x)={ 2𝑎 + ln𝑥,𝑥 > 1, 𝑎 + 1-𝑥 2 ,𝑥 ≤ 1 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 . 解析:由题意知,当 x>1 时,f(x)=2a+ln x>2a;
当x≤1时x)=a+1-x2≤a+1. 要使函数x)的值域为R,需满足2a≤a+1,即a≤1. 答案(-0,1] 7.已知函数x)-() -log2x,0<a<b<c,ab)c)<0,实数d是函数x)的一个零点， 给出下列四个判断： ①dka;②dbb;③dkc,④dpc 其中可能成立的是 .(填序号) 解析：易知函数x)在区间(0，+∞)内单调递减 因为0<a<b<cab)c)<0,所以若a<0,则必有b)<0,c)<0,又d)=0,所以 dka,此时①成立； 若b)<0,则必有a)<0,c)K0,此时dKa 若c)<0,则可以a)>0b)>0或a)<0,b)<0,当a)<0b)K0时，dKa, 当(a)>0,b)>0时，因为d=0,所以b<dKc,此时②③成立.综上可知，可能成立的 是①②③ 答案：①②③ 8已知函数=l0ga>0,且al,m1)是奇函数 (1)求实数m的值： (2)探究函数x)在区间(1，+∞)内的单调性： (3)若a=2,试求函数x)在区间[3,5]上的值域 解(1)由已知条件得-x)+x)=0对定义域中的x均成立. ∴logm+2+log-m=0,即mx+.-mx-1, -x-1 x.1 -x.1x.1 .m2x21=x21对定义域中的x均成立. ∴.m2=1,即m=1(舍去)或m=-1. (②)油1得=loe若 设仁牛1=1+2-1+2 x.1 x-1 1 当>1时hb品品=动0n< 2 当a>1时，loga<loga2,即x1)下x2), .当a>1时x)在区间(1，+o)内是减函数 同理当0<a<1时x)在区间(1，+o)内是增函数 (3)当a=2时)=1og紫结合2)可知x)在区间B,5]上是减函数，故 5)≤x)≤3)，即1og2三≤x)≤1 所以在区间[3,5]上的值城为[og2,1 挑战创新 己知函数x)=logax(a>0,a时1)，且3)2)=1
当 x≤1 时,f(x)=a+1-x 2≤a+1. 要使函数 f(x)的值域为 R,需满足 2a≤a+1,即 a≤1. 答案:(-∞,1] 7.已知函数 f(x)=( 1 3 ) 𝑥 -log2x,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,实数 d 是函数 f(x)的一个零点, 给出下列四个判断: ①d<a;②d>b;③d<c;④d>c. 其中可能成立的是 .(填序号) 解析:易知函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减. 因为 0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,所以若 f(a)<0,则必有 f(b)<0,f(c)<0,又 f(d)=0,所以 d<a,此时①成立; 若 f(b)<0,则必有 f(a)<0,f(c)<0,此时 d<a; 若 f(c)<0,则可以 f(a)>0,f(b)>0 或 f(a)<0,f(b)<0,当 f(a)<0,f(b)<0 时,d<a, 当 f(a)>0,f(b)>0 时,因为 f(d)=0,所以 b<d<c,此时②③成立.综上可知,可能成立的 是①②③. 答案:①②③ 8.已知函数 f(x)=loga 1-𝑚𝑥 𝑥-1 (a>0,且 a≠1,m≠1)是奇函数. (1)求实数 m 的值; (2)探究函数 f(x)在区间(1,+∞)内的单调性; (3)若 a=2,试求函数 f(x)在区间[3,5]上的值域. 解:(1)由已知条件得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 均成立. ∴loga 𝑚𝑥+1 -𝑥-1 +loga 1-𝑚𝑥 𝑥-1 =0,即 𝑚𝑥+1 -𝑥-1 · 1-𝑚𝑥 𝑥-1 =1, ∴m2x 2 -1=x2 -1 对定义域中的 x 均成立. ∴m2=1,即 m=1(舍去)或 m=-1. (2)由(1)得 f(x)=loga 1+𝑥 𝑥-1 . 设 t= 𝑥+1 𝑥-1 = 𝑥-1+2 𝑥-1 =1+ 2 𝑥-1 , ∴当 x1>x2>1 时,t1-t2= 2 𝑥1 -1 − 2 𝑥2 -1 = 2(𝑥2 -𝑥1 ) (𝑥1 -1)(𝑥2 -1) <0,∴t1<t2. 当 a>1 时,logat1<logat2,即 f(x1)<f(x2), ∴当 a>1 时,f(x)在区间(1,+∞)内是减函数. 同理当 0<a<1 时,f(x)在区间(1,+∞)内是增函数. (3)当 a=2 时,f(x)=log2 1+𝑥 𝑥-1 ,结合(2)可知,f(x)在区间[3,5]上是减函数,故 f(5)≤f(x)≤f(3),即 log2 3 2 ≤f(x)≤1. 所以 f(x)在区间[3,5]上的值域为[log2 3 2 ,1]. 挑战创新 已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),且 f(3)-f(2)=1