4.3 指数函数与对数函数的关系 课后·训练提升 1.设x)=3+9,则f(x)的定义域是( A.(0,+o) B.(9,+0) C.(10,+oo) D.(-0,+o∞) 解析：x)=3x+9>9, ∴.反函数的定义域为(9，+o),故选B 答案B 2.已知函数y=e的图象与函数y=x)的图象关于直线y=x对称，则() A.f(2x)=e2x(xER)B./2x)=In 2-In x(x>0) C.f2x)=2e*(xER)D.f2x)=In x+In 2(x>0) 解析：由y=e得x)=lnx, .'.(2x)=In 2x=In 2+In x(x>0) 答案D 3.已知函数y=log3(3-x)0≤x<3),则它的反函数是() Ay=3-3(x≥0)B.y=3+3(x≤1) C.y=3+3'(x≥0)D.y=3-3'(x≤1) 解析：由y=log3(3-x),得3-x=3y, ∴.x=3-3y,.有f1(x)=3-3,排除B,C ,原函数中0≤x<3,.0<3-x≤3， ∴…y=log3(3-x)≤1， f1(x)的定义域为x≤1，故选D. 答案D 4.已知函数y=x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=gx)的图象与函数y=x)的 图象关于直线y=x对称，则gx)+g(-x)的值为( A.2 B.1 C.0 D.不能确定 解析：因为y=x+1)是定义在R上的奇函数，图象关于点(O,0)对称，所以x)的图象 关于点(1,0)对称，又x)与gx)的图象关于直线y=x对称，所以gx)的图象关于点 (0,1)对称，所以gx)+g-x)=2,故选A. 答案：A 5.在P1,1),0(1,2),M2,3)和N任)四点中，函数y=a的图象与其反函数的图象的 公共点只可能是点() AP B.O C.M D.N
4.3 指数函数与对数函数的关系 课后· 1.设 f(x)=3 x+9,则 f -1 (x)的定义域是( ) A.(0,+∞) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:∵f(x)=3 x+9>9, ∴反函数的定义域为(9,+∞),故选 B. 答案:B 2.已知函数 y=e x 的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,则( ) A.f(2x)=e 2x (x∈R) B.f(2x)=ln 2·ln x(x>0) C.f(2x)=2ex (x∈R) D.f(2x)=ln x+ln 2(x>0) 解析:由 y=e x 得 f(x)=ln x, ∴f(2x)=ln 2x=ln 2+ln x(x>0). 答案:D 3.已知函数 y=log3(3-x)(0≤x<3),则它的反函数是( ) A.y=3-3 x (x≥0) B.y=3+3 x (x≤1) C.y=3+3 x (x≥0) D.y=3-3 x (x≤1) 解析:由 y=log3(3-x),得 3-x=3 y , ∴x=3-3 y ,∴有 f -1 (x)=3-3 x ,排除 B,C. ∵原函数中 0≤x<3,∴0<3-x≤3, ∴y=log3(3-x)≤1, ∴f -1 (x)的定义域为 x≤1,故选 D. 答案:D 4.已知函数 y=f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的 图象关于直线 y=x 对称,则 g(x)+g(-x)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.不能确定 解析:因为 y=f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,图象关于点(0,0)对称,所以 f(x)的图象 关于点(1,0)对称,又 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y=x 对称,所以 g(x)的图象关于点 (0,1)对称,所以 g(x)+g(-x)=2,故选 A. 答案:A 5.在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3)和 N( 1 2 , 1 4 )四点中,函数 y=ax 的图象与其反函数的图象的 公共点只可能是点( ) A.P B.Q C.M D.N
解析：设 ai-i. 得a=1 loga= 16 故)（侣）广与共反函数=0g的图象的公共点是点N很》经检验点PQ,M 均不符合题千的要求 答案D 6.如图，已知函数x)=31,则它的反函数y=f(x)的大致图象是() 2 解析：由x)=31可得f1(x)=log3x+1,故图象为C 答案：C 7设函数g)的图象与)(xER且x≠-)的图象关于直线)x对称，则 g(2)的值等于 解析：由题可知8)与网)互为反函数，令)t-2,得x=故g2)=号 4x+3 答案日 8.己知gx)=1+2lgx,则g(1)+g'(1)= 解析g(1)=1+2lg1=1,又令1+2lgx=1,得x=1,故g(1)+g'(1)=2. 答案2 9.若函数x)的反函数为f(x)=x2(x>0),则4)=」 解析：设4)=b,则4=f1(b)=b2,且b>0,故b=2 答案2 x+1x<0的反函数是 10.函数y=ex,x≥0 解析：当x<0时y=x+1的反函数是y=x-l,x<1 当x≥0时y=er的反函数是y=lnx,x≥l。 故原函数的反函数为y= (x-1,x<1, lnx,x≥1. 答案y=-1,x<1, lnx,x≥1 11.己知x)=loga(a-1)(a>0,且at1) (1)求x)的定义域， (2)讨论x)的单调性：
解析:设{ 𝑎 1 2 = 1 4 , log𝑎 1 2 = 1 4 , 得 a= 1 16 . 故 y=( 1 16) 𝑥 与其反函数 y=log 1 16 x 的图象的公共点是点 N( 1 2 , 1 4 ),经检验,点 P,Q,M 均不符合题干的要求. 答案:D 6.如图,已知函数 f(x)=3 x-1 ,则它的反函数 y=f-1 (x)的大致图象是( ) 解析:由 f(x)=3 x-1 可得 f -1 (x)=log3x+1,故图象为 C. 答案:C 7.设函数 g(x)的图象与 f(x)= 2𝑥+1 4𝑥+3 (𝑥 ∈ R, 且𝑥 ≠ − 3 4 )的图象关于直线 y=x 对称,则 g(2)的值等于 . 解析:由题可知,g(x)与 f(x)互为反函数,令 f(x)= 2𝑥+1 4𝑥+3 =2,得 x=- 5 6 ,故 g(2)=- 5 6 . 答案:- 5 6 8.已知 g(x)=1+2lg x,则 g(1)+g-1 (1)= . 解析:g(1)=1+2lg 1=1,又令 1+2lg x=1,得 x=1,故 g(1)+g-1 (1)=2. 答案:2 9.若函数 f(x)的反函数为 f -1 (x)=x2 (x>0),则 f(4)= . 解析:设 f(4)=b,则 4=f-1 (b)=b2 ,且 b>0,故 b=2. 答案:2 10.函数 y={ 𝑥 + 1,𝑥 < 0, e 𝑥 ,𝑥 ≥ 0 的反函数是 . 解析:当 x<0 时,y=x+1 的反函数是 y=x-1,x<1; 当 x≥0 时,y=e x 的反函数是 y=ln x,x≥1. 故原函数的反函数为 y={ 𝑥-1,𝑥 < 1, ln𝑥,𝑥 ≥ 1. 答案:y={ 𝑥-1,𝑥 < 1, ln𝑥,𝑥 ≥ 1 11.已知 f(x)=loga(a x -1)(a>0,且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性;
(3)解方程2x)=f(x), 解(1)要使函数有意义，必须-1>0，当a>1时，x>0; 当0<a<1时，x<0. ∴.当a>1时x)的定义域为(0，+oo: 当0<a<1时x)的定义域为(o,0) (2)当a>1时，设0<x1<x2,则1<a<a, 故0<a-1<ax2-1, ..loga(ax1-1)<loga(ax2-1), x)x2) 故当a>1时，x)在区间(0，+o)内是增函数； 类似地，当0<a<1时x)在区间(-o,0)内为增函数， (3)令y=loga(a-1), 则a=1, ..x=loga(a+1). ∴f1(x)=loga(ar+1) 由2x)=f'(x),得loga(a2x-1)=loga(ad+1), a21=r+1,解得=2或=-1（舍去）， ∴.x=loga2 12.已知函数)=(（)，其反函数为y=gd (1)若gmx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围； (2)若x∈[-l,1,求函数y=(x)P-2ax)+3的最小值ha. 解)由函数x)=(份)广，可得其反函数为)g)=gx 因为g(mx2+2xr+1)=-log_(mx2+2x+1)的定义域为R,即有mx2+2x+1>0恒成立， 当m=0时2x+10不板成立所以8二4m<0解得mE1,+@ 2)冷()，1eB,2],即有=f-2am+3=aP+3-2,若a>2, 则区间}，2]为单调递减区间，当12时mm=7-4a, 若≤a≤2，则当1=a时，nmn=3-a2; 若a<2则区间}，2为单调递增区间，当1之时mm=号a 7-4a,a>2 则h(a)= 3-a2,sa≤2， 是-a,a<
(3)解方程 f(2x)=f-1 (x). 解:(1)要使函数有意义,必须 a x -1>0,当 a>1 时,x>0; 当 0<a<1 时,x<0. ∴当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 1<𝑎 𝑥1 < 𝑎 𝑥2 , 故 0<𝑎 𝑥1 -1<𝑎 𝑥2 -1, ∴loga(𝑎 𝑥1 -1)<loga(𝑎 𝑥2 -1), ∴f(x1)<f(x2). 故当 a>1 时,f(x)在区间(0,+∞)内是增函数; 类似地,当 0<a<1 时,f(x)在区间(-∞,0)内为增函数. (3)令 y=loga(a x -1), 则 a y=ax -1, ∴x=loga(a y+1). ∴f -1 (x)=loga(a x+1). 由 f(2x)=f-1 (x),得 loga(a 2x -1)=loga(a x+1), ∴a 2x -1=ax+1,解得 a x=2 或 a x=-1(舍去), ∴x=loga2. 12.已知函数 f(x)=( 1 2 ) 𝑥 ,其反函数为 y=g(x). (1)若 g(mx2+2x+1)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)若 x∈[-1,1],求函数 y=(f(x))2 -2af(x)+3 的最小值 h(a). 解:(1)由函数 f(x)=( 1 2 ) 𝑥 ,可得其反函数为 y=g(x)=log1 2 x, 因为 g(mx2+2x+1)=log1 2 (mx2+2x+1)的定义域为 R,即有 mx2+2x+1>0 恒成立, 当 m=0 时,2x+1>0 不恒成立,所以{ 𝑚 > 0, 𝛥 = 4-4𝑚 < 0, 解得 m∈(1,+∞). (2)令 t=( 1 2 ) 𝑥 ,t∈[ 1 2 ,2],即有 y=t2 -2at+3=(t-a) 2+3-a 2 ,若 a>2, 则区间[ 1 2 ,2]为单调递减区间,当 t=2 时,ymin=7-4a; 若 1 2 ≤a≤2,则当 t=a 时,ymin=3-a 2 ; 若 a<1 2 ,则区间[ 1 2 ,2]为单调递增区间,当 t= 1 2 时,ymin= 13 4 -a. 则 h(a)={ 7-4𝑎,𝑎 > 2, 3-𝑎 2 , 1 2 ≤ 𝑎 ≤ 2, 13 4 -𝑎,𝑎 < 1 2