D0I:10.13374/i.i8sn1001t53.2011.08.019 第33卷第9期 北京科技大学学报 Vol 33 No 9 2011年9月 Journal of Un iversity of Science and Techno lgy Beijing Sep 2011 板带厚度控制系统中引起混沌的条件论证 张巍巍王京 北京科技大学高效轧制国家工程研究中心，北京100083 *通信作者，Email zv2008@mail com 摘要在分析轧机运动方程的基础上，通过对同宿轨道及Mehikov函数的讨论，分析厚度控制系统参数与出现Smale混沌 之间的联系以及厚度控制系统出现混沌时对控制精度的影响.给出了板带轧机厚控系统出现Sae马蹄意义下混沌的条件， 通过仿真验证了轧制过程中轧锟偏心干扰造成厚度控制系统混沌的新观点·仿真分析表明，在混沌出现时轧件的厚度偏差将 发生较大偏移，可以通过混沌控制的途径提高产品精度· 关键词轧机：自动厚度控制(AGC):混沌：Duf价mg方程：Mehikov函数 分类号TP13TP273 A rgum en tation of causing chaos in au tom atic gauge control system s ZHANG Weiwei WANG Jing National Engineer Research Center for Advanced Rolling University of Science and Technobgy Beijing Beijing 100083 China *Corresponding au thor Email hv2008@gnail com ABSTRACT Based on the motion equations of mlling m ills the relation between the parameters of an automatic gauge control system and Smale chaos and the effect of chaos existing in the automatic gauge control system on the control precision were analyzed through discussing the homoclin ic obit and the Melnkov fiunction The condition that Smale horseshoe chaos occurs in the automatic gauge con- trol system was given A new idea was proposed and verified that moll eccentricity distubances on gauge control is chaotic during oll ing Siulation results show that the thickness deviation of the rolled will be large when chaos occurs and the product quality can be mproved by chaos control KEY WORDS rolling m ills automatic gauge control (AGC):chaos Duffing equation:Meln ikov fiunction 从1963年洛伦茨发现奇怪吸引子到现在，混 考虑初轧机主传动系统的扭振，建立了初轧机系统 沌理论成为非线性科学的主要研究内容之一，研究 的动力学方程，研究了初轧机系统在某个参数下的 动力系统如何发展成为混沌以及进入混沌后的新性 混沌运动，并运用状态变量的一阶微分反馈法和延 质受到众多科学工作者的重视，一些典型连续动力 迟反馈控制两种方法实现了系统的混沌控制，此 系统如洛斯勒系统、洛伦茨方程、Duffing方程和蔡 外，由于测量仪表不能直接测量某些信号，而这些信 氏电路逐渐被人们认识，随之非线性系统的混沌问 号要用于反馈控制，使得钢铁生产过程中的反馈控 题在工程上的应用研究近来已成为热点课题，自 制系统实际上成为延迟系统，文献[5]中提出，延迟 1997年东北大学轧制技术与连轧自动化国家重点 系统本身可能产生混沌现象，那么钢铁生产中的反 实验室首次发现六辊UC轧机轧制过程板形描述量 馈控制系统中也同样可能产生混沌现象， 服从的系统模型经倍周期通向混沌开始)，钢铁生 在所有的板带材生产质量控制因素中，一个普 产中的混沌问题的相关研究也备受瞩目.苟向锋 遍存在并且很难解决的问题就是轧辊偏心问题，这 等研究了具有间隙及振动边界情况下轧机制过 一问题成为影响产品质量不可忽视的重要因素之 程中产生的自激振动系统的混沌控制，张永祥等) 一，偏心的控制补偿已成为当代厚度控制(automatic 收稿日期：2010-09-29 基金项目：国家高技术研究发展计划资助项目(2009AA04Z163)
第 33卷 第 9期 2011年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．33Ｎｏ．9 Ｓｅｐ．2011 板带厚度控制系统中引起混沌的条件论证 张巍巍 * 王 京 北京科技大学高效轧制国家工程研究中心北京 100083 * 通信作者Ｅ-ｍａｉｌ：ｚｈｖ2008＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｍ 摘 要 在分析轧机运动方程的基础上通过对同宿轨道及 Ｍｅｌｎｉｋｏｖ函数的讨论分析厚度控制系统参数与出现 Ｓｍａｌｅ混沌 之间的联系以及厚度控制系统出现混沌时对控制精度的影响．给出了板带轧机厚控系统出现 Ｓｍａｌｅ马蹄意义下混沌的条件 通过仿真验证了轧制过程中轧辊偏心干扰造成厚度控制系统混沌的新观点．仿真分析表明在混沌出现时轧件的厚度偏差将 发生较大偏移可以通过混沌控制的途径提高产品精度． 关键词 轧机；自动厚度控制 （ＡＧＣ）；混沌；Ｄｕｆｆｉｎｇ方程；Ｍｅｌｎｉｋｏｖ函数 分类号 ＴＰ13；ＴＰ273 Ａｒｇｕｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｃａｕｓｉｎｇｃｈａｏｓｉｎａｕｔｏｍａｔｉｃｇａｕｇｅｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｓ ＺＨＡＮＧＷｅｉ-ｗｅｉ * ＷＡＮＧＪｉｎｇ ＮａｔｉｏｎａｌＥｎｇｉｎｅｅｒＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒｆｏｒＡｄｖａｎｃｅｄＲｏｌｌｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ * ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ-ｍａｉｌ：ｚｈｖ2008＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｍ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｍｏｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｒｏｌｌｉｎｇｍｉｌｌｓｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆａｎａｕｔｏｍａｔｉｃｇａｕｇｅｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ ａｎｄＳｍａｌｅｃｈａｏｓａｎｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｃｈａｏｓｅｘｉｓｔｉｎｇｉｎｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｇａｕｇｅｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｏｎｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｐｒｅｃｉｓｉｏｎｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｔｈｒｏｕｇｈ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇｔｈｅｈｏｍｏｃｌｉｎｉｃｏｒｂｉｔａｎｄｔｈｅＭｅｌｎｉｋｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎ．ＴｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｔｈａｔＳｍａｌｅｈｏｒｓｅｓｈｏｅｃｈａｏｓｏｃｃｕｒｓｉｎｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｇａｕｇｅｃｏｎ- ｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｗａｓｇｉｖｅｎ．Ａｎｅｗｉｄｅａｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｄｖｅｒｉｆｉｅｄｔｈａｔｒｏｌｌｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｏｎｇａｕｇｅｃｏｎｔｒｏｌｉｓｃｈａｏｔｉｃｄｕｒｉｎｇｒｏｌｌ- ｉｎｇ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓｄｅｖｉａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｏｌｌｅｄｗｉｌｌｂｅｌａｒｇｅｗｈｅｎｃｈａｏｓｏｃｃｕｒｓａｎｄｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｑｕａｌｉｔｙｃａｎｂｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄｂｙｃｈａｏｓｃｏｎｔｒｏｌ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｒｏｌｌｉｎｇｍｉｌｌｓ；ａｕｔｏｍａｔｉｃｇａｕｇｅｃｏｎｔｒｏｌ（ＡＧＣ）；ｃｈａｏｓ；Ｄｕｆｆｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｍｅｌｎｉｋｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎ 收稿日期：2010--09--29 基金项目：国家高技术研究发展计划资助项目 （2009ＡＡ04Ｚ163） 从 1963年洛伦茨发现奇怪吸引子 ［1］到现在混 沌理论成为非线性科学的主要研究内容之一．研究 动力系统如何发展成为混沌以及进入混沌后的新性 质受到众多科学工作者的重视．一些典型连续动力 系统如洛斯勒系统、洛伦茨方程、Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和蔡 氏电路逐渐被人们认识随之非线性系统的混沌问 题在工程上的应用研究近来已成为热点课题．自 1997年东北大学轧制技术与连轧自动化国家重点 实验室首次发现六辊 ＵＣ轧机轧制过程板形描述量 服从的系统模型经倍周期通向混沌开始 ［2］钢铁生 产中的混沌问题的相关研究也备受瞩目．苟向锋 等 ［3］研究了具有间隙及振动边界情况下轧机制过 程中产生的自激振动系统的混沌控制．张永祥等 ［4］ 考虑初轧机主传动系统的扭振建立了初轧机系统 的动力学方程研究了初轧机系统在某个参数下的 混沌运动并运用状态变量的一阶微分反馈法和延 迟反馈控制两种方法实现了系统的混沌控制．此 外由于测量仪表不能直接测量某些信号而这些信 号要用于反馈控制使得钢铁生产过程中的反馈控 制系统实际上成为延迟系统．文献 ［5］中提出延迟 系统本身可能产生混沌现象那么钢铁生产中的反 馈控制系统中也同样可能产生混沌现象． 在所有的板带材生产质量控制因素中一个普 遍存在并且很难解决的问题就是轧辊偏心问题这 一问题成为影响产品质量不可忽视的重要因素之 一偏心的控制补偿已成为当代厚度控制 （ａｕｔｏｍａｔｉｃ DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2011．09．019
,1172, 北京科技大学学报 第33卷 gauge control AGC)系统的重要组成部分.国内外 图1(a)表示轧辊、轴承圆周均匀，理想状态下即没 学者从20世纪70年代就开始研究轧辊偏心问 有偏心时的轧制过程，考虑干扰，轧件厚度的偏差 题可，对轧辊偏心的原因，偏心对轧件厚度、轧制力 如图1(c)中的实线1所示.由于辊身圆周的不均 及产品质量的影响等方面展开了深入的研究，最近 匀性、轴承圆周的不均匀性、辊身或轴承与轴承之间 的研究表明，AGC厚度控制系统属于复杂的非线性 的结合不适当导致轧辊偏心，其形式如图1(b)所 系统，出现偏心现象时，支撑辊偏心服从正弦波规 示，进而轧辊偏心导致轧制过程中辊缝的周期变化 律，轧辊运动方程具有Dumg方程的形式可，综合 和轧件厚度的周期性变化，图1(c)中虚线2是干扰 干扰在轧件厚度精度方面可能产生混沌现象，作为 和轧辊偏心共同作用时轧件厚度的偏差，轧辊偏心 干扰项会造成厚度精度上的不确定性变化，使产品 的存在可引起轧件厚度偏差10m以上，对于精度 质量的进一步提高受到很大影响，为此本文以此现 要求较高的轧制过程，轧辊偏心的影响不容忽略，必 象作为研究对象，从Duffing方程出发，首次利用 须要采用偏心控制补偿方法来达到产品质量的 Mehn ikov解析方法探讨AGC系统参数与出现Smale 要求， 混沌之间的联系，以确定产生混沌运动的条件， 考虑轧辊偏心影响，对轧辊的运动分析四 如下， 1轧机的偏心模型 在轧辊与轧件接触弧内，由于摩擦系数和变形 轧机偏心指由于轧辊和轧辊轴承形状的不规则 阻力的综合作用，轧辊必然受到阻尼力，阻尼力通常 等原因引起的周期性辊缝变化[)，如图1所示. 与速度成比例，即x为阻尼系数. 支撑辊 支撑辊 丁作辊 工作锟 h 入口侧 出门侧 入口侧 :口侧 (b) c 图1轧辊偏心示意图.()无偏心时轧制过程；(b)偏心轧制过程；(c)轧件厚度偏差 Fig 1 D iagnms of moll eccentricity:(a)mollng pmogress of non eccentricity (b)mlling pmogress of eccentricity (c)deviation of molling thickness 在轧制过程中，考虑轧辊辊系的弹性势能具有 系数，m是支承辊辊系的等效质量，F和ω分别为支 以下形式： 撑辊偏心力的幅值和角频率。将运动方程化为 Uk2+k. +:+sx+e2上cow1=0 m m m 式中：x为轧辊的偏心位移：x为轧辊线速度；k与 令km=Hhhm=一a,点m=一YFm=d则 为与弹性形变相关的系数，与h比较，通常是 x十μx一ax-Yx=6 coswt (1) 一较小的系数，此系统的恢复力为 式(l)正好符合Duffing方程的形式，这也表明 仁d0=-kx一e 对于轧辊偏心造成厚度精度变化的过程可能会出现 dx 混沌现象，下面利用同宿轨道和Smale马蹄理论探 当系统保持辊缝恒定时，辊缝会随着轧辊偏心 讨系统参数和混沌现象出现之间的关系，以确定产 发生周期变化，旋转的轧辊其偏心将引起轧制力周 生混沌运动的条件. 期变化，轧制力的周期变化非正弦变化，它的主频 与支承辊旋转频率一致.轧制力可表示为) 2厚度控制系统发生混沌运动的条件 F.c(. 对于式(1)，等价于方程组 x-y (2) 考虑基波对钢材厚度的影响，得到轧辊运动方程 y=-Hy十ax十Yx3+8 cosot 一bx一hx一kx十F coso t=mx 在轧钢系统中，a>0,Y<0,容易知道，此系统有 式中，为阻尼系数，k与。为与弹性形变相关的 三个奇点：鞍点o(00),稳定焦点F(一am
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 ｇａｕｇｅｃｏｎｔｒｏｌＡＧＣ）系统的重要组成部分．国内外 学者从 20世纪 70年代就开始研究轧辊偏心问 题 ［6］对轧辊偏心的原因偏心对轧件厚度、轧制力 及产品质量的影响等方面展开了深入的研究．最近 的研究表明ＡＧＣ厚度控制系统属于复杂的非线性 系统出现偏心现象时支撑辊偏心服从正弦波规 律轧辊运动方程具有 Ｄｕｆｆｉｎｇ方程的形式 ［7］综合 干扰在轧件厚度精度方面可能产生混沌现象作为 干扰项会造成厚度精度上的不确定性变化使产品 质量的进一步提高受到很大影响．为此本文以此现 象作为研究对象从 Ｄｕｆｆｉｎｇ方程出发首次利用 Ｍｅｌｎｉｋｏｖ解析方法探讨 ＡＧＣ系统参数与出现 Ｓｍａｌｅ 混沌之间的联系以确定产生混沌运动的条件． 1 轧机的偏心模型 轧机偏心指由于轧辊和轧辊轴承形状的不规则 等原因引起的周期性辊缝变化 ［8］如图 1所示． 图 1（ａ）表示轧辊、轴承圆周均匀理想状态下即没 有偏心时的轧制过程．考虑干扰轧件厚度的偏差 如图 1（ｃ）中的实线 1所示．由于辊身圆周的不均 匀性、轴承圆周的不均匀性、辊身或轴承与轴承之间 的结合不适当导致轧辊偏心其形式如图 1（ｂ）所 示进而轧辊偏心导致轧制过程中辊缝的周期变化 和轧件厚度的周期性变化图 1（ｃ）中虚线 2是干扰 和轧辊偏心共同作用时轧件厚度的偏差．轧辊偏心 的存在可引起轧件厚度偏差 10μｍ以上对于精度 要求较高的轧制过程轧辊偏心的影响不容忽略必 须要采用偏心控制补偿方法来达到产品质量的 要求． 考虑轧 辊 偏 心 影 响对 轧 辊 的 运 动 分 析 ［7］ 如下． 在轧辊与轧件接触弧内由于摩擦系数和变形 阻力的综合作用轧辊必然受到阻尼力阻尼力通常 与速度成比例即 ｋ0ｘ ·ｋ0为阻尼系数． 图 1 轧辊偏心示意图．（ａ） 无偏心时轧制过程；（ｂ） 偏心轧制过程；（ｃ） 轧件厚度偏差 Ｆｉｇ．1 Ｄｉａｇｒａｍｓｏｆｒｏｌｌｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ：（ａ） ｒｏｌｌｉｎｇｐｒｏｇｒｅｓｓｏｆｎｏｎ-ｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ；（ｂ） ｒｏｌｌｉｎｇｐｒｏｇｒｅｓｓｏｆｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ；（ｃ） ｄｅｖｉａｔｉｏｎｏｆｒｏｌｌｉｎｇｔｈｉｃｋｎｅｓｓ 在轧制过程中考虑轧辊辊系的弹性势能具有 以下形式： Ｕ＝ 1 2 ｋ1ｘ 2＋ 1 4 ｋ2ｘ 4． 式中：ｘ为轧辊的偏心位移；ｘ · 为轧辊线速度；ｋ1 与 ｋ2为与弹性形变相关的系数与 ｋ1比较通常 ｋ2 是 一较小的系数．此系统的恢复力为 ｆ＝－ ｄＵ ｄｘ ＝－ｋ1ｘ－ｋ2ｘ 3． 当系统保持辊缝恒定时辊缝会随着轧辊偏心 发生周期变化．旋转的轧辊其偏心将引起轧制力周 期变化．轧制力的周期变化非正弦变化它的主频 与支承辊旋转频率一致．轧制力可表示为 ［9］ Ｆ＝∑ ∞ ｉ＝1 Ｆｉｃｏｓ（ωｉｔ＋θ）． 考虑基波对钢材厚度的影响得到轧辊运动方程 －ｋ0ｘ · －ｋ1ｘ－ｋ2ｘ 3＋Ｆｃｏｓωｔ＝ｍｘ ··． 式中ｋ0为阻尼系数ｋ1 与 ｋ2 为与弹性形变相关的 系数ｍ是支承辊辊系的等效质量Ｆ和 ω分别为支 撑辊偏心力的幅值和角频率．将运动方程化为 ｘ ··＋ ｋ0 ｍ ｘ · ＋ ｋ1 ｍ ｘ＋ ｋ2 ｍ ｘ 3－ Ｆ ｍ ｃｏｓωｔ＝0． 令 ｋ0／ｍ＝μｋ1／ｍ＝－αｋ2／ｍ＝－γＦ／ｍ＝δ则 ｘ ··＋μｘ · －αｘ－γｘ 3＝δｃｏｓωｔ （1） 式 （1）正好符合 Ｄｕｆｆｉｎｇ方程的形式这也表明 对于轧辊偏心造成厚度精度变化的过程可能会出现 混沌现象．下面利用同宿轨道和 Ｓｍａｌｅ马蹄理论探 讨系统参数和混沌现象出现之间的关系以确定产 生混沌运动的条件． 2 厚度控制系统发生混沌运动的条件 对于式 （1）等价于方程组 ｘ · ＝ｙ ｙ · ＝－μｙ＋αｘ＋γｘ 3＋δｃｏｓωｔ （2） 在轧钢系统中α＞0γ＜0 ［7］容易知道此系统有 三个奇点：鞍点 Ｆ0 （00）稳定焦点 Ｆ1 （ －α／γ ·1172·
第9期 张巍巍等：板带厚度控制系统中引起混沌的条件论证 .1173. 0),稳定焦点F2(一一a,0)如果系统不受阻 如果M()具有不依赖于的简单零点，则对 尼力和强迫力，即4=Q8=0时，方程(1)为一 充分小的&，根据Smale-Birkhoff同宿点定理， Ham ilton系统，Ham ilton量为 Poincat映射的某些迭代存在不变的双曲集，具有 H(s)-发=h Smale马蹄意义下的混沌 (3) 定理2AGC系统参数满足如下条件： 定理1当α0Y<0时，系统(2)出现同宿轨 62。 u3oN Y (5) 道，其参数方程为 8a/CeA 则系统出现Smale马蹄意义下的混沌 Ny 1+c 证明对于同宿轨道的Meln ikov函数 式中，C0为常数，由初始条件给出. M(6)=y(t)8cos()-y(t)dt= 证明由定性分析可知，当α>0Y<0时，F1 和F2为中心，F为鞍点，有过(00)点的同宿轨线 -μffar+8m(t6)d=-4+ 取H=0由式（③）y=±+号发，即d 分别计算和飞如下： =d= -2a7万 +号发=土d积分得 1-2a万 xdx= (6) 派 =t十C 由同宿轨线的参数方程(4)可得 式中，C由初始条件决定C=x(0) =ycos()dt= 由上式 2a-4a+2Y =+=C 2Ja+4a+2Yx 为计算上式的积分，记 便得到同宿轨道(4) 引理0]Smale Birkhoff同宿点定理设￡ R2Ge-5z l+/Cea,siw(zt6） R→R”是微分同胚，P是它的双曲不动点，且存在 函数f(z)的奇点为 W(p)与W"(P)的横截相交点亡p则具有双曲 不变集△，在△上拓扑等价于有限子移位映射，即 了 h十，k=士1士3… 出现混沌， 且各奇点均为一阶极点，选取积分路径如图2所示· 由引理，引入记号：aAb=ame一h,考查 围道内只有一个奇点a,由留数定理 Mel ikov函数 M(b)= { 0()Ag(0(,十b) e[-,()d 式中，知()为“=0是无阻尼情况下的值， af af a a 图2积分路径 D:f(o(s))= 难 Fig 2 Integral path 由等价方程组(2)，令f=s重=ax十Yx,g=0 g=cos厂“y记x=f(x)十g(x)通过计算可知 f(dz-2πRes[f(z,石] tmcD:f(o()=Meh kov函数就可以写为 Res[f(z),a] M(6)=上R6(O)Ag6(t6)d Ce on. (s()
第 9期 张巍巍等： 板带厚度控制系统中引起混沌的条件论证 0）稳定焦点 Ｆ2 （－ －α／γ0）．如果系统不受阻 尼力和强迫力即 μ＝0、δ＝0时方程 （1）为一 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统Ｈａｍｉｌｔｏｎ量为 Ｈ（ｘｙ）＝ 1 2 ｙ 2－ 1 2 αｘ 2－ 1 4 γｘ 4＝ｈ （3） 定理 1 当 α＞0、γ＜0时系统 （2）出现同宿轨 道其参数方程为 ｘ＝ －8α γ Ｃｅ α／2ｔ 1＋Ｃｅ αｔ （4） 式中Ｃ＞0为常数由初始条件给出． 证明 由定性分析可知当 α＞0、γ＜0时Ｆ1 和 Ｆ2为中心Ｆ0为鞍点有过 （00）点的同宿轨线． 取 Ｈ＝0由式 （3） ｄｘ ｄｔ ＝ｙ＝± αｘ 2＋ 1 2 γｘ 4 即ｄｘ αｘ 2＋ 1 2 γｘ 4＝±ｄｔ积分得 1 α ｌｎ 2 α－ 4α＋2γｘ 2 2 α＋ 4α＋2γｘ 2 ＝ｔ＋Ｃ1． 式中Ｃ1由初始条件决定 Ｃ1＝ｘ（0）． 由上式 2 α－ 4α＋2γｘ 2 2 α＋ 4α＋2γｘ 2＝ｅ α（Ｃ1＋ｔ） ＝Ｃｅ αｔ． 便得到同宿轨道 （4）． 引理 ［10］ Ｓｍａｌｅ-Ｂｉｒｋｈｏｆｆ同宿点定理 设 ｆ： Ｒ ｎ→Ｒ ｎ是微分同胚ｐ是它的双曲不动点且存在 Ｗ ｓ （ｐ）与 Ｗ ｕ （ｐ）的横截相交点 ｑ≠ｐ则 ｆ具有双曲 不变集 Λ在 Λ上 ｆ拓扑等价于有限子移位映射即 出现混沌． 由引理引入记号：ａ∧ ｂ＝ａ1ｂ2 －ａ2ｂ1考查 Ｍｅｌｎｉｋｏｖ函数 Ｍ（ｔ0）＝∫ ＋∞ －∞ ｆ（ｘ0（ｔ））∧ｇ（ｘ0（ｔ）ｔ＋ｔ0）· ｅｘｐ －∫ ＋∞ －∞ ｔｒａｃｅＤｆｆ（ｘ0（ｓ））ｄｓ ｄｔ． 式中ｘ0（ｔ）为 μ＝0是无阻尼情况下的值 Ｄｆｆ（ｘ0（ｓ））＝ ∂ｆ1 ∂ｘ1 ∂ｆ1 ∂ｘ2 ∂ｆ2 ∂ｘ1 ∂ｆ2 ∂ｘ2 ． 由等价方程组 （2）令 ｆ1 ＝ｙｆ2 ＝αｘ＋γｘ 3ｇ1 ＝0 ｇ2＝δｃｏｓωｔ－μｙ记 ｘ · ＝ｆ（ｘ）＋εｇ（ｘ）通过计算可知 ∫ ＋∞ －∞ ｔｒａｃｅＤｆｆ（ｘ0（ｔ））＝0Ｍｅｌｎｉｋｏｖ函数就可以写为 Ｍ（ｔ0）＝∫ ＋∞ －∞ ｆ（ｘ0（ｔ））∧ｇ（ｘ0（ｔ）ｔ＋ｔ0）ｄｔ 如果 Ｍ（ｔ0）具有不依赖于 ε的简单零点则对 充分 小 的 ε根 据 Ｓｍａｌｅ-Ｂｉｒｋｈｏｆｆ同 宿 点 定 理 Ｐｏｉｎｃａｒｅ映射的某些迭代存在不变的双曲集具有 Ｓｍａｌｅ马蹄意义下的混沌． 定理 2 ＡＧＣ系统参数满足如下条件： δ μ ＞ 2 3πω － α 3 γ ｃｏｓｈ πω α （5） 则系统出现 Ｓｍａｌｅ马蹄意义下的混沌． 证明 对于同宿轨道的 Ｍｅｌｎｉｋｏｖ函数 Ｍ（ｔ0）＝∫ ＋∞ －∞ ｙ（ｔ） δｃｏｓω（ｔ＋ｔ0）－μｙ（ｔ） ｄｔ＝ －μ∫ ＋∞ －∞ ｙ 2ｄｔ＋δ∫ ＋∞ －∞ ｙｃｏｓω（ｔ＋ｔ0）ｄｔ＝－μＩ1＋δＩ2 分别计算 Ｉ1和 Ｉ2如下： Ｉ1＝∫ ＋∞ －∞ ｙ 2ｄｔ＝∫ －2α／γ － －2α／γ ｘ ·ｄｘ＝ ∫ －2α／γ － －2α／γ αｘ 2＋ 1 2 γｘ 4ｄｘ＝－ 4 3γ α 3 2 （6） 由同宿轨线的参数方程 （4）可得 Ｉ2＝∫ ＋∞ －∞ ｙｃｏｓω（ｔ＋ｔ0）ｄｔ＝ －8 γ ω∫ ＋∞ －∞ Ｃｅ － α／2ｔ 1＋ Ｃｅ － αｔｓｉｎω（ｔ＋ｔ0）ｄｔ． 为计算上式的积分记 ｆ（ｚ）＝ Ｃｅ － α／2ｔ 1＋ Ｃｅ － αｔｓｉｎω（ｚ＋ｔ0）． 函数 ｆ（ｚ）的奇点为 ｚｋ＝ 1 α ｌｎ 1 Ｃ ＋ｉπ ｋ＝±1±3…． 且各奇点均为一阶极点选取积分路径如图 2所示． 围道内只有一个奇点 ｚ1由留数定理 图 2 积分路径 Ｆｉｇ．2 Ｉｎｔｅｇｒａｌｐａｔｈ ∮ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫ｌ1 ｆ（ｚ）ｄｚ＋∫ｌ2 ｆ（ｚ）ｄｚ＋∫ｌ3 ｆ（ｚ）ｄｚ＋ ∫ｌ4 ｆ（ｚ）ｄｚ＝2πｉＲｅｓ［ｆ（ｚ）ｚ0 ］ Ｒｅｓ［ｆ（ｚ）ｚ1 ］ ＝ ｌｉｍｚ→ｚ0 （ｚ－ｚ1） Ｃｅ － α／2ｚ 1＋ Ｃｅ － αｚｓｉｎω（ｚ＋ｔ0）＝ ·1173·
,1174. 北京科技大学学报 第33卷 sinw(a十b)= 由引理，此系统发生Smale马蹄意义下的混沌的条 a 件即是(5) cosh 十 3仿真分析 a 1 元 结合钢铁企业中应用最为广泛的板带材生产中 aC sinh广， 二h a 的冷连轧机组进行相关参数和出口厚度的频谱仿真 2πRef(= 分析.选偏心的基波频率1≤w≤30.22 1,1 十 0.0≤≤0.1满足条件(5)作仿真，图3列出了部 cosh- 分仿真结果.由图可以看出，x随无周期、有界和 不规则振荡，系统在三个奇点之间来回切换，围绕某 一个不动点运动的周期数呈现出随机特征，且各种 又因为 周期轨道在系统中稠密，任何一种周期轨道在区域 内都是不稳定的，系统确实进入了混沌， 目前学者提出了多种补偿轧辊偏心对轧件厚度 影响的方法，这些方法可以分为三类：第1类为 被动控制法，这类方法使辊缝控制系统对轧辊偏心 引起的厚度干扰不敏感，较典型的如死区法，此方法 开e=2xCe▣ 滤掉控制信号中的偏心干扰信号，防止厚度计控制 。1+Jcea1+Jcea 方法的误调节：第2类为主动控制法，这类方法一般 同理 把轧辊偏心分量和随后得到的补偿信号送到辊缝控 制器中以补偿轧辊偏心，如辨识方法和频谱分析法； 第3类为预防控制法，一般是在轧制前采取一定措 上述两个积分当a→∞和。→∞时分别趋于0 施减小轧辊偏心对轧件厚度的影响，在轧制中不施 因此 加控制，在偏心干扰使轧件厚度控制未进入混沌现 鱼(d典)d-0 象时，上面的几种方法可有效抑制偏心干扰，减小对 轧件厚度的影响， 单Jd 考虑一般实际现场的AGC系统，由于来料偏 差和偏心干扰造成的厚度偏差如图4所示，图中e Ce fos Cesin (cosh 2dx十 表示厚度偏差.未施加偏心控制时的情形如 图4(a)所示，厚度偏差在50“m以内.采用第1 9w 2x@dx= 类控制法，偏心干扰未使厚度系统发生混沌运动 a 时的厚度偏差如图4(b)所示，明显看到厚度偏差 减小，可使偏差维持在30m以内，图4(c)是当 N-8a cosh 2g1 偏心干扰使厚度系统进入混沌运动，同样采用第1 类控制法时的厚度偏差，厚度偏差没有减小反而 式中， 增大，超过了55m,这对于精度要求较高的轧制 l- ()dx 过程来说是不允许的，可以看出，一旦偏心干扰使 厚度控制进入了混沌现象，轧件的厚控精度将受 由留数定理式，比较实部得 到严重影响，当厚度精度通过一般的控制方法不 k=πW 7) 能满足生产要求时，应考虑混沌现象带来的影响， 可通过改变轧制条件避免混沌现象的出现，如变 因此，带入式(6)和式(7)，Meln ikovi函数表示如下： 形区的润滑状况来改变阻尼系数，调节轧钢节奏 M(b)= 和速度设定来改变偏心频率，或者应用混沌控制 理论，设计新的控制器或者优化原控制器参数来 抑制混沌现象
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 － ｉ α ｓｉｎω（ｚ1＋ｔ0）＝ － ｉ α ｓｉｎω ｔ0＋ 1 α ｌｎ 1 Ｃ ｃｏｓｈ πω α ＋ 1 α ｃｏｓω ｔ0＋ 1 α ｌｎ 1 Ｃ ｓｉｎｈ πω α 2πｉＲｅｓｆ（ｚ）ｚ1 ＝ 2π α ｓｉｎω ｔ0＋ 1 α ｌｎ 1 Ｃ ｃｏｓｈ πω α ＋ 2π α ｉｃｏｓω ｔ0＋ 1 α ｌｎ 1 Ｃ ｓｉｎｈ πω α ． 又因为 ｌｉｍＲ→ ＋∞∫ｌ1 ｆ（ｚ）ｄｚ＝ 1 ω γ －8α Ｉ2 ｌｉｍＲ→ ＋∞∫ｌ2 ｆ（ｚ）ｄｚ≤ ∫ｌ2 Ｃｅ － α／2ｚ 1＋ Ｃｅ － αｚｄｚ≤ ∫ 2Ｅ α 0 Ｃｅ － α／2ｘ1 1＋ Ｃｅ － αｘ1 ＝ 2π α Ｃｅ － α／2ｘ1 1＋ Ｃｅ － αｘ1． 同理 ｌｉｍＲ→ ＋∞∫ｌ4 ｆ（ｚ）ｄｚ≤ 2π α Ｃｅ － α／2ｘ2 1＋ Ｃｅ － αｘ2． 上述两个积分当 ｘ1→∞和 ｘ2→∞时分别趋于 0 因此 ｌｉｍＲ→ ＋∞∫ｌ2 ｆ（ｚ）ｄｚ＝ｌｉｍＲ→ ＋∞∫ｌ4 ｆ（ｚ）ｄｚ＝0 ｌｉｍＲ→ ＋∞∫ｌ3 ｆ（ｚ）ｄｚ＝ ∫ ＋∞ －∞ Ｃｅ － α／2ｘ 1＋ Ｃｅ － αｘｓｉｎω（ｘ＋ｔ0）ｃｏｓｈ 2πω α ｄｘ＋ ∫ ＋∞ －∞ Ｃｅ － α／2ｘ 1＋ Ｃｅ － αｘｉｃｏｓω（ｘ＋ｔ0）ｓｉｎｈ 2πω α ｄｘ＝ 1 ω γ －8α ｃｏｓｈ 2πω α Ｉ2＋ｉｓｉｎｈ 2πω α Ｉ3． 式中 Ｉ3＝∫ ＋∞ －∞ Ｃｅ － α／2ｘ 1＋ Ｃｅ － αｘｃｏｓω（ｘ＋ｔ0）ｄｘ． 由留数定理式比较实部得 Ｉ2＝πω －8 γ ｓｅｃｈ πω α ｓｉｎω ｔ0－ ｌｎＣ α （7） 因此带入式 （6）和式 （7）Ｍｅｌｎｉｋｏｖ函数表示如下： Ｍ（ｔ0）＝ μ 4 3γ α 3 2 ＋δπω －8 γ ｓｅｃｈ πω α ｓｉｎω ｔ0－ ｌｎＣ α ． 由引理此系统发生 Ｓｍａｌｅ马蹄意义下的混沌的条 件即是 （5）． 3 仿真分析 结合钢铁企业中应用最为广泛的板带材生产中 的冷连轧机组进行相关参数和出口厚度的频谱仿真 分析．选偏心的基波频率 1≤ω≤30∙2≤δ≤2 0∙05≤μ≤0∙1满足条件 （5）作仿真图 3列出了部 分仿真结果．由图可以看出ｘ随 ｔ无周期、有界和 不规则振荡系统在三个奇点之间来回切换围绕某 一个不动点运动的周期数呈现出随机特征且各种 周期轨道在系统中稠密任何一种周期轨道在区域 内都是不稳定的系统确实进入了混沌． 目前学者提出了多种补偿轧辊偏心对轧件厚度 影响的方法．这些方法可以分为三类 ［11］：第 1类为 被动控制法这类方法使辊缝控制系统对轧辊偏心 引起的厚度干扰不敏感较典型的如死区法此方法 滤掉控制信号中的偏心干扰信号防止厚度计控制 方法的误调节；第 2类为主动控制法这类方法一般 把轧辊偏心分量和随后得到的补偿信号送到辊缝控 制器中以补偿轧辊偏心如辨识方法和频谱分析法； 第 3类为预防控制法一般是在轧制前采取一定措 施减小轧辊偏心对轧件厚度的影响在轧制中不施 加控制．在偏心干扰使轧件厚度控制未进入混沌现 象时上面的几种方法可有效抑制偏心干扰减小对 轧件厚度的影响． 考虑一般实际现场的 ＡＧＣ系统由于来料偏 差和偏心干扰造成的厚度偏差如图 4所示图中 ｅ 表示 厚 度 偏 差．未 施 加 偏 心 控 制 时 的 情 形 如 图 4（ａ）所示厚度偏差在 50μｍ以内．采用第 1 类控制法偏心干扰未使厚度系统发生混沌运动 时的厚度偏差如图 4（ｂ）所示明显看到厚度偏差 减小可使偏差维持在 30μｍ以内．图 4（ｃ）是当 偏心干扰使厚度系统进入混沌运动同样采用第 1 类控制法时的厚度偏差厚度偏差没有减小反而 增大超过了 55μｍ这对于精度要求较高的轧制 过程来说是不允许的．可以看出一旦偏心干扰使 厚度控制进入了混沌现象轧件的厚控精度将受 到严重影响．当厚度精度通过一般的控制方法不 能满足生产要求时应考虑混沌现象带来的影响 可通过改变轧制条件避免混沌现象的出现如变 形区的润滑状况来改变阻尼系数调节轧钢节奏 和速度设定来改变偏心频率或者应用混沌控制 理论设计新的控制器或者优化原控制器参数来 抑制混沌现象． ·1174·
第9期 张巍巍等：板带厚度控制系统中引起混沌的条件论证 .1175. G:cHoc -3-2-10 80 100 x/10 um a 0.5 0.5 40 60 80 100 x/10μm (-s-m O/ -2 -1 60 100 x/10μm s 图3系统在不同参数下出现混沌的相图和时域图.(a)r=0.08a=1Y=一1,6=2w=1:(b)=0.1,a=1,Y=一16=0.275w= 1.2(c)=0.1,a=1y=-16=0.6w=1.5 Fig 3 Phase diagnms and tie domain diagnms of chaos underdifferent panmeters (a)=0.08 a=1 Y--1 6-2 =1:(b)4=0.1 a= 1y=-16=0.275.m=1.2(c)=0.1a=1Y=-16=0.6w=1.5 于控制过程对工艺参数有依赖性，偏心干扰使厚度 IWWWMWWWL 控制系统发生混沌现象是可能的，通过数学分析， -0.056 0 10 20 30 40 50 给出了板带轧机厚控系统出现Smae马蹄意义下混 s () 沌的条件，验证了轧制过程中轧辊偏心干扰造成厚 度控制系统混沌的新观，点，仿真分析说明了混沌出 10 20 30 40 50 现时轧件的厚度偏差将发生较大偏移，在高精度板 (b) 带轧机厚度控制系统中期望应用混沌控制的途径提 高产品精度 -0.05yY 0 10 20 30 40 50 参考文献 图4偏心干扰造成厚度系统的偏差.(a)未施加偏心控制时的 [1]Tanasz K.Chaos for Engineers Theory Applica tions and Control 厚度偏差；(b)采用第1类控制法时的厚度偏差；(c)出现混沌 Berline Springer 2008 时的厚度偏差 [2]Zhu W Y,Li X D.W ang G D.Analysis of chaotic behavior of Fig 4 Erors of the gauge systm caused by moll eccentricity:(a) the six moll UC m ill J Iron SteelRes 1997.9(5):17 deviation of thickness w ithout eccentricity control (b)deviation of (朱伟勇，刘向东，王国栋。六辊UC轧机轧制过程混沌、分形 thickness with the first contmol method:(c)deviation of thickness 特性探索和定量判据动力学分析，钢铁研究学报，1997,9 with chaos (5):22) [3]Gou X F Lou G W.Zhu L Y.et al Chaos contmolling of molling mills Mech Sci Technol Aerosp Eng 2009 28(6):726 4结论 (苟向锋，罗冠炜，朱凌云，等。初轧机的混沌控制。机械科学 与技术，2009,28(6)：726) 本文针对高精度板带轧机厚度控制系统中轧辊 [4]Zhang Y X.Yu JN.Chaos control for a clss of self excited vibm 偏心干扰对厚度的影响，进行了一些新的探讨.由 tion systen J Shandong Univ SeiTechnolNatSci 2006 25(1):
第 9期 张巍巍等： 板带厚度控制系统中引起混沌的条件论证 图 3 系统在不同参数下出现混沌的相图和时域图．（ａ） μ＝0∙08α＝1γ＝－1δ＝2ω＝1；（ｂ） μ＝0∙1α＝1γ＝－1δ＝0∙275ω＝ 1∙2；（ｃ） μ＝0∙1α＝1γ＝－1δ＝0∙6ω＝1∙5 Ｆｉｇ．3 Ｐｈａｓｅｄｉａｇｒａｍｓａｎｄｔｉｍｅ-ｄｏｍａｉｎｄｉａｇｒａｍｓｏｆｃｈａｏｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：（ａ）μ＝0∙08α＝1γ＝－1δ＝2ω＝1；（ｂ）μ＝0∙1α＝ 1γ＝－1δ＝0∙275ω＝1∙2；（ｃ） μ＝0∙1α＝1γ＝－1δ＝0∙6ω＝1∙5 图 4 偏心干扰造成厚度系统的偏差．（ａ） 未施加偏心控制时的 厚度偏差；（ｂ） 采用第 1类控制法时的厚度偏差；（ｃ） 出现混沌 时的厚度偏差 Ｆｉｇ．4 Ｅｒｒｏｒｓｏｆｔｈｅｇａｕｇｅｓｙｓｔｅｍｃａｕｓｅｄｂｙｒｏｌｌｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ： （ａ） ｄｅｖｉａｔｉｏｎｏｆｔｈｉｃｋｎｅｓｓｗｉｔｈｏｕｔｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙｃｏｎｔｒｏｌ； （ｂ） ｄｅｖｉａｔｉｏｎｏｆ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓｗｉｔｈｔｈｅｆｉｒｓｔｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄ； （ｃ） ｄｅｖｉａｔｉｏｎｏｆｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｗｉｔｈｃｈａｏｓ 4 结论 本文针对高精度板带轧机厚度控制系统中轧辊 偏心干扰对厚度的影响进行了一些新的探讨．由 于控制过程对工艺参数有依赖性偏心干扰使厚度 控制系统发生混沌现象是可能的．通过数学分析 给出了板带轧机厚控系统出现 Ｓｍａｌｅ马蹄意义下混 沌的条件验证了轧制过程中轧辊偏心干扰造成厚 度控制系统混沌的新观点．仿真分析说明了混沌出 现时轧件的厚度偏差将发生较大偏移在高精度板 带轧机厚度控制系统中期望应用混沌控制的途径提 高产品精度． 参 考 文 献 ［1］ ＴｏｍａｓｚＫ．ＣｈａｏｓｆｏｒＥｎｇｉｎｅｅｒｓＴｈｅｏｒｙＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ． Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ2008 ［2］ ＺｈｕＷ ＹＬｉｕＸＤＷａｎｇＧＤ．Ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｃｈａｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆ ｔｈｅｓｉｘ-ｒｏｌｌＵＣｍｉｌｌ．ＪＩｒｏｎＳｔｅｅｌＲｅｓ19979（5）：17 （朱伟勇刘向东王国栋．六辊 ＵＣ轧机轧制过程混沌、分形 特性探索和定量判据动力学分析．钢铁研究学报19979 （5）：22） ［3］ ＧｏｕＸＦＬｏｕＧＷＺｈｕＬＹｅｔａｌ．Ｃｈａｏｓｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｏｆｒｏｌｌｉｎｇ ｍｉｌｌｓ．ＭｅｃｈＳｃｉＴｅｃｈｎｏｌＡｅｒｏｓｐＥｎｇ200928（6）：726 （苟向锋罗冠炜朱凌云等．初轧机的混沌控制．机械科学 与技术200928（6）：726） ［4］ ＺｈａｎｇＹＸＹｕＪＮ．Ｃｈａｏｓｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｓｅｌｆ-ｅｘｃｉｔｅｄｖｉｂｒａ- ｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ．ＪＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖＳｃｉＴｅｃｈｎｏｌＮａｔＳｃｉ200625（1）： ·1175·