23平稳随机过程 在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程,因为在通信系统中所遇到的信 号和噪声,大多数可视为平稳随机过程。因此,研究平稳随机过程有很大的实际意义, 、平稳随机过程的概念 平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即:对于 任意的正整数n和任意实数t,h,…,,r,随机过程5(o的n维概率密度函数满足 ∫n(x1,x2…,xn;l1,12;…,tn)=fn(x1,x2…,xn1+,l2+r,…Ln+r)(2-23) 则称ξ()为平稳随机过程(严平稳随机过程或狭义平稳随机过程)。由此可见,平稳随机 过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为f1(x,1)=f(x,1+r)=f1(x),所以它 的一维分布与1无关:又,∫2(x,x2;1,2)=f2(x1,x21+x,12+z)=f2(x1,x2r),所 以它的二维分布只与时间间隔r有关 平稳随机过程的数学期望为 a(t)=E(0)=xf(x, t)dx= xf(x)dx=a (224) 平稳随机过程的方差为 a2(0)=D5()-=【x-ao)3(x)=[[x-af(xk=o2(25) 由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关:它的自相关函数只与时间间隔有 关,即 R(4+=E5(1(+)=[xx(x1x:)d=R()(2) 满足式(2-24)~(2-26)的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程 而从本质上说,只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变,那么就可以 认为此随机过程是平稳的。如,在稳定的环境工作的通信机,其输出噪声就是平稳的。 旦我们确定某一随机过程是平稳的,我们就可以在任意时刻测定它的统计特性 、平稳随机过程的各态历经性 对平稳随机过程5(1),如果它的数字特征与某一样本x(0)的相对应的时间平均值之间 有下列关系:
1－6 2.3 平稳随机过程 在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程，因为在通信系统中所遇到的信 号和噪声，大多数可视为平稳随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。 一、平稳随机过程的概念 平稳随机过程是指它的任何 n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即：对于 任意的正整数 n 和任意实数 t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的 n 维概率密度函数满足 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 = + + + n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t （2-23） 则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机 过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为 ( , ) ( , ) ( ) 1 1 1 1 1 f x t = f x t + = f x ，所以它 的一维分布与 t 无关；又， ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 f x x t t = f x x t + t + = f x x ，所 以它的二维分布只与时间间隔τ有关。 平稳随机过程的数学期望为 − − a(t) = E{(t)} = xf1 (x,t)dx = xf1 (x)dx = a （2-24） 平稳随机过程的方差为 2 1 2 1 2 2 ( ) = {( )} = [ − ( )] ( , ) = [ − ] ( ) = − − t D t x a t f x t dx x a f x dx （2-25） 由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有 关，即 ( , ) [ ( ) ( )] ( , ; ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 R t t + = E t t + = x x f x x dx dx = R − − （2-26） 满足式（2-24）~（2-26）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。 而从本质上说，只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变，那么就可以 认为此随机过程是平稳的。如，在稳定的环境工作的通信机，其输出噪声就是平稳的。一 旦我们确定某一随机过程是平稳的，我们就可以在任意时刻测定它的统计特性。 二、平稳随机过程的各态历经性 对平稳随机过程ξ(t)，如果它的数字特征与某一样本 x(t)的相对应的时间平均值之间 有下列关系：
a=EL5(]=lim Tx(dt=a a2=E5()-a}=mn[x0)-a=a (2-27) R(r)=E[5(1)(t2)=mx()x(+r)dt=R(r) 则称平稳随机过程5()具有各态历经性。“各态历经”的意思是说,从随机过程得到的任 实现,它好象历经了随机过程的所有可能状态一样。由式(2-27)可知,各台历经的随 机过程,就其数字特征而言,无需无限次的考察,而只需获得一次考察,从而使“统计平 均”化为“时间平均”,简化了计算 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性,所以具有各态历经性的随机过程一定是平 稳随机过程;但不是所有的平稳随机过程都具有各态历经性。 [例2-2]试证明随相信号s(1)=AcoS(01+O)是广义平稳随机过程其中, A,O是常数,相位O是在0~2上均匀分布的随机变量。 iIE BH m(t)=EAcos(@, (+0))=AE(cos@,t cos8-sin o tsin 0) Acos @otE(cos 0)-Asin VotE(sn 8)3 AcosTa cos 6d6- Asin sin 0d0=0 2(0)=Es()-m)2)=E2b4cos(o1+O)3} 4E(+c20+0)}=4 R(L, t+r)=EAcoS(@, t+0)Acos[oo (t+r)+O ece o(2001+00+2)} A2 2 o+5-E(cos( 20,t +0.T+20)5 -COSOot=R(T) 可见,m(t)、a2(1)和R(t,t+)均与时间无关,而R(t,1+)=R(z 仅与时间间隔有关,所以,s()是广义平稳随机过程 24平稳随机过程的相关函数和功率谱密度
1－7 [ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( ) ( )] lim [ ( ) ] 1 {[ ( ) ] } lim ( ) 1 [ ( )] lim 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x t x t dt R T R E t t x t a dt T E t x t dt a T a E t T T T T T T T T T = = + = = − = − = = = = → − → − → − （2-27） 则称平稳随机过程ξ(t)具有各态历经性。“各态历经”的意思是说，从随机过程得到的任 一实现，它好象历经了随机过程的所有可能状态一样。由式（2-27）可知，各台历经的随 机过程，就其数字特征而言，无需无限次的考察，而只需获得一次考察，从而使“统计平 均”化为“时间平均”，简化了计算。 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，所以具有各态历经性的随机过程一定是平 稳随机过程；但不是所有的平稳随机过程都具有各态历经性。 [例 2-2]试证明随相信号 ( ) cos( ) s t = A 0 t + 是广义平稳随机过程。其中， 0 A, 是常数，相位 是在 0 ~ 2 上均匀分布的随机变量。 仅与时间间隔有关，所以， 是广义平稳随机过程。 可见， 、 和 均与时间无关，而 证明： ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) cos ( ) 2 {cos(2 2 )} 2 cos 2 {cos cos(2 2 )} 2 ( , ) { cos( ) cos[ ( ) )]} 2 1 cos 2( ) 2 ( ) [ ( ) ( )] [ cos( )] sin 0 2 1 cos sin 2 1 cos cos {cos } sin {sin )} ( ) { cos( )} {cos cos sin sin )} 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 s t m t t R t t R t t R R A E t A A E t A R t t E A t A t A E t A t E s t m t E A t A t d A t d A t E A t E m t E A t AE t t + + = = = = + + + = + + + + = + + + = + + = = − = + = − = = − = + = − 2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度