面临的监测诊断对象和问题日趋复杂和困难,其关键问题之一是如何对监测诊断中得到的机 械动态信号的非平稳性进行有效地分析。所谓非平稳性,是指信号的统计特性与时间变化有 关。信号的统计特性包括时域统计特性(如均值、方差、偏斜度、峭度等)和频域统计 特性(如频谱、功率谱、互谱、相干分析等)。 工程中设备运行状态千变万化,存在着大量的非平稳动态信号。机械设备在运行过程中 的多发故障,如剥落、摩擦、松动、爬行、冲击、裂纹、断裂、喘振、旋转失速、油膜涡动 及油膜振荡等,当故障发生或发展时将导致动态信号非平稳性的出现。因此,非平稳性可表 征某些故障的存在。工矿企业中有许多变工况机电设备,如冶金轧机、矿山电铲、调速电机、 破碎机、发动机、往复机械等,它们在运行过程中的转速、功率、负载等往往是变化的,其 运行状态具有非平稳性。还有些设备,如发电机组、离心压缩机、风机等,它们在启、停机 时转速、功率等工况是非平稳的。一些机电设备在运行中的阻尼、刚度、弹性力、驱动力的 非线性及动态响应的非线性,反映在动态信号上具有非平稳性。即使稳态运行的旋转机械, 当出现碰摩、冲击等故障时,其转子的阻尼、刚度、弹性力等都发生变化,呈现出非线性, 振动信号变得非平稳。种种情况表明,从工程中获得的动态信号,它们的平稳性是相对的、 局部的,而非平稳性是绝对的、广泛的。 正因为非平稳动态信号的统计特性与时间有关,所以对非平稳信号的处理必须同时进行 时域、频域分析。在机电设备监测诊断中,目前通常采用基于平稳过程的经典信号处理方法, 分别仅从时域或频域给出信号的统计平均结果,无法同时兼顾信号在时域和频域的全貌和 部化特征,而这些局部化特征恰是故障的表征 传统的快速傅里叶变换(FFT)方法是长期使用的有效工具,我们对它怎么赞美都不过分。 它是用平稳的正弦波作为基函数去分解信号x(1),得到其频谱X。这一变换建立了一个从时 域到频域的通道。频谱)显示了包含在x(中的任一频率∫的总强度。傅里叶变换是时域和 频域的一种全局性的变换,不能同时进行时频分析。人们在傅里叶分析的基础上作了大量的 研究,提出并发展了一系列新的信号分析理论,在非平稳信号处理方面取得了令人瞩目的成 就,极大地促进了现代信号处理学科和技术的发展。文献详细地论述了当代非平稳信号处理 的理论和技术:短时傅里叶变换、 Cohen类时频分布、 Wigner-Ville时频分布、 Gabor变换、 Radon- Wigner变换、分数阶傅里叶变换、小波变换和小波包分析、线调频小波变换、循环平 稳信号分析以及调幅一调频信号分析等等。使读者如同置身于美丽宽广的海滨,打开了通向 深邃多彩的海底世界之门。 本书涉及到的非平稳信号处理的方法主要有短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析 第二代小波变换、循环平稳信号分析、经验模式分解和 Hilbert- Huang变换,以及不同特色和 功能的小波基函数的运用 短时傅里叶变换是D. Gabor在傅里叶变换的基础上于1946年提出的一种典型时频分析方
5 面临的监测诊断对象和问题日趋复杂和困难，其关键问题之一是如何对监测诊断中得到的机 械动态信号的非平稳性进行有效地分析。所谓非平稳性，是指信号的统计特性与时间变化有 关[9][10]。信号的统计特性包括时域统计特性（如均值、方差、偏斜度、峭度等）和频域统计 特性(如频谱、功率谱、互谱、相干分析等)。 工程中设备运行状态千变万化，存在着大量的非平稳动态信号。机械设备在运行过程中 的多发故障，如剥落、摩擦、松动、爬行、冲击、裂纹、断裂、喘振、旋转失速、油膜涡动 及油膜振荡等，当故障发生或发展时将导致动态信号非平稳性的出现。因此，非平稳性可表 征某些故障的存在。工矿企业中有许多变工况机电设备，如冶金轧机、矿山电铲、调速电机、 破碎机、发动机、往复机械等，它们在运行过程中的转速、功率、负载等往往是变化的，其 运行状态具有非平稳性。还有些设备，如发电机组、离心压缩机、风机等，它们在启、停机 时转速、功率等工况是非平稳的。一些机电设备在运行中的阻尼、刚度、弹性力、驱动力的 非线性及动态响应的非线性，反映在动态信号上具有非平稳性。即使稳态运行的旋转机械， 当出现碰摩、冲击等故障时，其转子的阻尼、刚度、弹性力等都发生变化，呈现出非线性， 振动信号变得非平稳。种种情况表明，从工程中获得的动态信号，它们的平稳性是相对的、 局部的，而非平稳性是绝对的、广泛的。 正因为非平稳动态信号的统计特性与时间有关，所以对非平稳信号的处理必须同时进行 时域、频域分析。在机电设备监测诊断中，目前通常采用基于平稳过程的经典信号处理方法， 分别仅从时域或频域给出信号的统计平均结果，无法同时兼顾信号在时域和频域的全貌和局 部化特征，而这些局部化特征恰是故障的表征。 传统的快速傅里叶变换(FFT)方法是长期使用的有效工具，我们对它怎么赞美都不过分。 它是用平稳的正弦波作为基函数去分解信号 x(t)，得到其频谱 X(f)。这一变换建立了一个从时 域到频域的通道。频谱 X(f) 显示了包含在 x(t)中的任一频率 f 的总强度。傅里叶变换是时域和 频域的一种全局性的变换，不能同时进行时频分析。人们在傅里叶分析的基础上作了大量的 研究，提出并发展了一系列新的信号分析理论，在非平稳信号处理方面取得了令人瞩目的成 就，极大地促进了现代信号处理学科和技术的发展。文献[9]详细地论述了当代非平稳信号处理 的理论和技术：短时傅里叶变换、Cohen 类时频分布、Wigner-Ville 时频分布、Gabor 变换、 Radon-Wigner 变换、分数阶傅里叶变换、小波变换和小波包分析、线调频小波变换、循环平 稳信号分析以及调幅—调频信号分析等等。使读者如同置身于美丽宽广的海滨，打开了通向 深邃多彩的海底世界之门。 本书涉及到的非平稳信号处理的方法主要有短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析、 第二代小波变换、循环平稳信号分析、经验模式分解和 Hilbert-Huang 变换，以及不同特色和 功能的小波基函数的运用。 短时傅里叶变换是D. Gabor在傅里叶变换的基础上,于1946年提出的一种典型时频分析方
法,他在那篇著名的“通信理论”论文中生动形象地指出 “迄今为止,通信理论的基础一直是由信号分析的两种方法组成的 种将信号描述成时间的函数,另一种将信号描述成频率的函数( Fourier分析)。 这两种方法都是理想化的……。然而,我们每一天的经历一一特别是我们的 听觉一一却一直是用时间和频率两者来描述信号的。” 人们的语音信号是最典型的非平稳信号,对非平稳信号要进行时频分析是理所当然的了 所谓短时傅里叶变换,是用一个时间宽度很短的、可以在时间坐标上滑动的窗函数与信号相 乘再来进行傅里叶变换。它具有明确的物理意义,可视为信号在分析时间t附近由时间窗限定 的一小段信号的“局部频谱”,得到由时间t和频率∫确定的二维时频分布。可以说,短时傅 里叶变换架起了从傅里叶变换到小波变换的桥梁 小波变换思想是由法国从事石油信号处理的工程师 L. Morlet在1984年首先提出213, 他发现所分析的信号中,高频成份一般持续时间较短,而低频成份一般持续时间较长。当采 用短时傅里叶变换分析信号时,若要对高频分量有好的时间分辨率就必须选择宽带窄时窗; 若要对低频分量有好的频率分辨率,就必须选择窄带宽时窗,但二者不可兼得。他采用能够 压缩或伸展的 Gaussian函数作为窗函数,由于窗函数具有局部性、振荡性和波幅小, Morlet 称之为“具有固定形状的小波( wavelets of constant shape)”,从而诞生了具有里程碑意义的小波 分析。这使我们联想到1807年法国的热学工程师 Fourier根据他的实践提出任一函数都能够展 成三角函数的无穷级数的思想,这一创新思想却没有得到当时著名数学家 Lagrange、 Laplace 和 Legendre的认可,他不得不坚持15年去说服别人和发表他的研究成果《 The Analytic Theory of heat》。他认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉”并深信数学是解决实际问题的 卓越工具。人们至今还折服于傅里叶变换内在的数学美表现出的科学力量,著名物理学家 Maxwel称赞 Fourier的专著是一本“伟大的数学诗篇”,非常恰当。我们惊奇地看到这些创新 的概念都是由工程科技工作者提出的,这是因为他们始终置身于探索自然奥秘的最前沿,能 准确地探测到自然规律的脉搏。“实践出真知”,正是这一真理促使了现代信号处理理论和技 术的迅速发展。 目前,在非平稳信号处理的理论和技术研究中,小波分析的理论和技术最受人们的重视。 小波变换从基函数角度出发,吸取傅里叶变换中的三角基(进行频率分析)与短时傅里叶变 换中的时移窗函数的特点,形成振荡、衰减的基函数。它的定义域有限,故称为小波。小波 基函数是时间t、尺度因子a和时移参数b的函数。尺度因子a增大(减小),小波函数就伸 展(收缩),其频谱频带缩窄并向低频移动(频带展宽并向高频移动)。时移参数b与时间【相 对应,尺度因子a与频率相对应。所以小波变换可用于时频分析,但我们应当这样来理解小波 分析与时频分析之间的关系:时频分析中的时频平面(1,f)在小波分析中变成了时间一尺度平 面(b,a)。它们之间有一定的区别:时频分析是在二维时频平面上(t,)坐标处反映非平稳信
6 法[10]，他在那篇著名的“通信理论”论文中生动形象地指出： “迄今为止，通信理论的基础一直是由信号分析的两种方法组成的：一 种将信号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数(Fourier 分析)。 这两种方法都是理想化的……。然而，我们每一天的经历——特别是我们的 听觉——却一直是用时间和频率两者来描述信号的。” 人们的语音信号是最典型的非平稳信号，对非平稳信号要进行时频分析是理所当然的了。 所谓短时傅里叶变换，是用一个时间宽度很短的、可以在时间坐标上滑动的窗函数与信号相 乘再来进行傅里叶变换。它具有明确的物理意义，可视为信号在分析时间t 附近由时间窗限定 的一小段信号的“局部频谱”，得到由时间t 和频率 f 确定的二维时频分布。可以说，短时傅 里叶变换架起了从傅里叶变换到小波变换的桥梁。 小波变换思想是由法国从事石油信号处理的工程师 J. Morlet 在 1984 年首先提出[11,12,13] ， 他发现所分析的信号中，高频成份一般持续时间较短，而低频成份一般持续时间较长。当采 用短时傅里叶变换分析信号时，若要对高频分量有好的时间分辨率就必须选择宽带窄时窗； 若要对低频分量有好的频率分辨率，就必须选择窄带宽时窗，但二者不可兼得。他采用能够 压缩或伸展的 Gaussian 函数作为窗函数，由于窗函数具有局部性、振荡性和波幅小，Morlet 称之为“具有固定形状的小波(wavelets of constant shape)”，从而诞生了具有里程碑意义的小波 分析。这使我们联想到 1807 年法国的热学工程师 Fourier 根据他的实践提出任一函数都能够展 成三角函数的无穷级数的思想，这一创新思想却没有得到当时著名数学家 Lagrange、Laplace 和 Legendre 的认可，他不得不坚持 15 年去说服别人和发表他的研究成果《The Analytic Theory of Heat》。他认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉”并深信数学是解决实际问题的 卓越工具[14]。人们至今还折服于傅里叶变换内在的数学美表现出的科学力量，著名物理学家 Maxwell 称赞 Fourier 的专著是一本“伟大的数学诗篇”，非常恰当。我们惊奇地看到这些创新 的概念都是由工程科技工作者提出的，这是因为他们始终置身于探索自然奥秘的最前沿，能 准确地探测到自然规律的脉搏。“实践出真知”，正是这一真理促使了现代信号处理理论和技 术的迅速发展。 目前，在非平稳信号处理的理论和技术研究中，小波分析的理论和技术最受人们的重视。 小波变换从基函数角度出发，吸取傅里叶变换中的三角基（进行频率分析）与短时傅里叶变 换中的时移窗函数的特点，形成振荡、衰减的基函数。它的定义域有限，故称为小波。小波 基函数是时间t 、尺度因子 a 和时移参数b 的函数。尺度因子 a 增大（减小），小波函数就伸 展（收缩），其频谱频带缩窄并向低频移动（频带展宽并向高频移动）。时移参数b 与时间t 相 对应，尺度因子a 与频率相对应。所以小波变换可用于时频分析，但我们应当这样来理解小波 分析与时频分析之间的关系：时频分析中的时频平面(t, f ) 在小波分析中变成了时间―尺度平 面(b, a) 。它们之间有一定的区别：时频分析是在二维时频平面上(t, f ) 坐标处反映非平稳信
号在t时刻信号的频率、幅值或能量:小波分析是在所谓的时间一尺度平面上反映非平稳信号 在I时刻信号位于分解频带中的幅值或能量。也就是时频分析和小波分析提供信号所携带的信 息的方式不同。小波变换以不同的尺度(分辨率)来观察信号,将信号分解到不同的频带中 既看到了信号的全貌,又看到了信号的细节,具有多分辨能力。应当注意到小波变换的多分 辨率是低频段频率分辨率髙而时间分辨率低,高频段频率分辨率低而时间分辨率髙。这与人 们的视觉和听觉相适应。若非平稳信号由低频长波期叠加高频短波期组成,则小波变换是十 分理想的分析工具。小波变换已有 Mallat快速算法,该算法在小波变换中的地位如同FFT 算法在傅里叶变换中的地位圆,使小波分析迅速应用到众多领域 并不是所有信号的特性都适合用小波变换进行分析,如何提高小波分析中高频段信号的 频率分辨率,这在许多工程应用中十分重要。小波包就是在这种需要下发展起来的6m。小 波包分析对小波变换中没有分解的高频段信号进行再分解,在不同的层次上对各种频率作不 同的分辨率选择,更具有灵活性。以 Mallat算法为基础,小波包信号分解与重构也具有快速 算法,工程实用性很强。小波变换和小波包分析已在机械动态分析与监测诊断中取得了实效。 在通信、遥测、雷达和声纳等系统中,存在一类特殊的非平稳信号,它们的非平稳性表 现为周期平稳性。以雷达回波为例,由于地貌变化的随机性,回波是非平稳的。如果天线以 匀速旋转扫描,则回波的非平稳表现为循环平稳( cyclostationary)。在机械系统运行过程中, 轴承、齿轮、旋转机械、往复机械的振动信号具有周期性,特别是存在机械故障而岀现非平 稳性时,信号呈现循环平稳现象很普遍。循环平稳信号不同于平稳信号,也不同于上述讨论 的非平稳信号,其主要原因是这类信号的统计量变化的周期性可被充分利用。循环平稳信号 分析的目的是得到信号或系统的时变特性,其主要分析手段是利用循环统计量。通常,循环 平稳信号的二阶统计量具有周期特性,基于循环自相关函数或循环谱的二阶循环平稳的信 号分析理论是重要的分析手段。类似地,高阶循环平稳理论是基于循环平稳信号的三阶或更 高阶数字特征(高阶循环矩、高阶循环累积量及它们的谱),由于累积量实质上是一种广义的 相关函数,所以高阶循环累积量和循环自相关函数一样,也是分析循环平稳信号的主要数学 工具 1998年,NE. Huang提出了一种非平稳、非线性信号分析方法,称为经验模式分解EMD ( Empirical Mode Decomposition)方法,在国内外十分流行,已经在众多领域得到了广泛的应 用。EMD方法的基本思想认为任何信号是由一些不同的本征(固有)模式函数IMF( trinsic Mode Function)或基本模式分量组成,EMD方法是基于信号的离散数据x(k)本身,对数据的 局部最大值和局部最小值分别采用三次样条函数拟合成上包络和下包络,上下包络将所有的 数据都包含在它们之间。根据上下包络求得均值,如果数据x(k)与均值之差满足IF的必要 条件,就可得到第一个IMF。依此类推,将x(k)分解为多个IMF,直到无法再分解为止,所 得到的IMF相互正交,且能量守恒。进一步通过Hbet变换将IF转换成解析信号并求得这 7
7 号在t 时刻信号的频率、幅值或能量；小波分析是在所谓的时间―尺度平面上反映非平稳信号 在 t 时刻信号位于分解频带中的幅值或能量。也就是时频分析和小波分析提供信号所携带的信 息的方式不同。小波变换以不同的尺度（分辨率）来观察信号，将信号分解到不同的频带中， 既看到了信号的全貌，又看到了信号的细节，具有多分辨能力。应当注意到小波变换的多分 辨率是低频段频率分辨率高而时间分辨率低，高频段频率分辨率低而时间分辨率高。这与人 们的视觉和听觉相适应。若非平稳信号由低频长波期叠加高频短波期组成，则小波变换是十 分理想的分析工具。小波变换已有 Mallat 快速算法[15]，该算法在小波变换中的地位如同 FFT 算法在傅里叶变换中的地位[9]，使小波分析迅速应用到众多领域。 并不是所有信号的特性都适合用小波变换进行分析，如何提高小波分析中高频段信号的 频率分辨率，这在许多工程应用中十分重要。小波包就是在这种需要下发展起来的[16,17]。小 波包分析对小波变换中没有分解的高频段信号进行再分解，在不同的层次上对各种频率作不 同的分辨率选择，更具有灵活性。以 Mallat 算法为基础，小波包信号分解与重构也具有快速 算法，工程实用性很强。小波变换和小波包分析已在机械动态分析与监测诊断中取得了实效。 在通信、遥测、雷达和声纳等系统中，存在一类特殊的非平稳信号，它们的非平稳性表 现为周期平稳性。以雷达回波为例，由于地貌变化的随机性，回波是非平稳的。如果天线以 匀速旋转扫描，则回波的非平稳表现为循环平稳(cyclostationary)[9]。在机械系统运行过程中， 轴承、齿轮、旋转机械、往复机械的振动信号具有周期性，特别是存在机械故障而出现非平 稳性时，信号呈现循环平稳现象很普遍。循环平稳信号不同于平稳信号，也不同于上述讨论 的非平稳信号，其主要原因是这类信号的统计量变化的周期性可被充分利用。循环平稳信号 分析的目的是得到信号或系统的时变特性，其主要分析手段是利用循环统计量。通常，循环 平稳信号的二阶统计量具有周期特性[9,18]，基于循环自相关函数或循环谱的二阶循环平稳的信 号分析理论是重要的分析手段。类似地，高阶循环平稳理论是基于循环平稳信号的三阶或更 高阶数字特征（高阶循环矩、高阶循环累积量及它们的谱），由于累积量实质上是一种广义的 相关函数，所以高阶循环累积量和循环自相关函数一样，也是分析循环平稳信号的主要数学 工具。 1998 年，N. E. Huang 提出了一种非平稳、非线性信号分析方法，称为经验模式分解 EMD (Empirical Mode Decomposition)方法[19]，在国内外十分流行，已经在众多领域得到了广泛的应 用。EMD 方法的基本思想认为任何信号是由一些不同的本征(固有)模式函数 IMF (Intrinsic Mode Function)或基本模式分量组成，EMD 方法是基于信号的离散数据 x(k) 本身，对数据的 局部最大值和局部最小值分别采用三次样条函数拟合成上包络和下包络，上下包络将所有的 数据都包含在它们之间。根据上下包络求得均值，如果数据 x(k) 与均值之差满足 IMF 的必要 条件，就可得到第一个 IMF。依此类推，将 x(k) 分解为多个 IMF，直到无法再分解为止，所 得到的 IMF 相互正交，且能量守恒。进一步通过 Hilbert 变换将 IMF 转换成解析信号并求得这
些分量的瞬时频率和幅值,很好地反映信号的非平稳、非线性特征,人们将这一变换称为 Hilbert- Huang变换。同时应当指出,经验模式分解的应用和计算过程中,采样频率的选择、 极值点的样条拟合、数据段两端的计算误差等问题,尚有待人们进行更为深入的研究。 1.32信号的正交分解 我们知道傅里叶分析对正弦频率有十分理想的定位能力,这是因为傅里叶分析中采用的 基函数是具有正交性的三角函数系(正弦或余弦)。这种正交性是指三角函数系中任意两个 不同函数的乘积在区间[x,丌]的积分均为零,而函数系中任意一个函数的平方在区间 [-r,x]的积分不为零。显然,一个包含有正弦分量的信号x(1)的傅里叶分析,就是信号x(1) 与三角基函数相乘再积分,借助正交性将信号中的正弦分量以频率、幅值和相位三个物理量 表征出来,达到正弦分量的独立化提取。 函数正交是指一个函数系:0(1),四(1),…,φn(t),…,其中每个函数都定义在区 间[a,b]上的实函数或实变量的复值函数,如果满足 P (o (r)dt=0 (1.3.1) b 称该函数系为区间[a,b]上的正交函数系,式中*表示共轭。如果还满足 ∫O0=-2opd (1.32) 就称该函数系为区间[a,b]上的标准(规范)正交函数系。例如 l, conor,cos2ot,…, connor,…, sin not 是区间[-T/2,m2]上的正交函数系,式中O=2丌/T。函数系 2丌/T,n=0,±1,±2 (13.3) 是区间[-T/2,m2]上的标准正交函数系,i=√-1。 由傅里叶级数可知,函数x(1)在区间[-712,72]满足 Dirichlet条件且平方可积, 都具有 Fourier级数表达式 1)=∑c 其中常数cn称为傅里叶系数,定义为 x() 8
8 些分量的瞬时频率和幅值，很好地反映信号的非平稳、非线性特征，人们将这一变换称为 Hilbert-Huang 变换。同时应当指出，经验模式分解的应用和计算过程中，采样频率的选择、 极值点的样条拟合、数据段两端的计算误差等问题，尚有待人们进行更为深入的研究。 1.3.2 信号的正交分解 我们知道傅里叶分析对正弦频率有十分理想的定位能力，这是因为傅里叶分析中采用的 基函数是具有正交性的三角函数系（正弦或余弦）。这种正交性是指三角函数系中任意两个 不同函数的乘积在区间 [−π ,π ] 的积分均为零，而函数系中任意一个函数的平方在区间 [−π ,π ]的积分不为零。显然，一个包含有正弦分量的信号 x(t) 的傅里叶分析，就是信号 x(t) 与三角基函数相乘再积分，借助正交性将信号中的正弦分量以频率、幅值和相位三个物理量 表征出来，达到正弦分量的独立化提取。 函数正交是指一个函数系： ( ) 0 ϕ t ， ( ) 1 ϕ t ，", (t) ϕ n ，", 其中每个函数都定义在区 间[ a , b ]上的实函数或实变量的复值函数，如果满足 ∫ = − ∗ b a m n t t t b a ( ) ( )d 0 1 ϕ ϕ m ≠ n (1.3.1) 称该函数系为区间[ a , b ]上的正交函数系，式中∗表示共轭。如果还满足 1 1 2 ( ) ( )d ( ) d 1 b b mm m a a t tt t t ba ba ϕϕ ϕ ∗ = = − − ∫ ∫ (1.3.2) 就称该函数系为区间[ a , b ]上的标准(规范)正交函数系。例如 sin , sin 2 , , sin , , 1, cos , cos2 , , cos , , " " " " t t n t t t n t ω ω ω ω ω ω 是区间[ −T / 2, T/2 ]上的正交函数系，式中ω = 2π /T 。函数系 i n t e ω ， ω = 2π /T, n = 0, ±1, ± 2, " (1.3.3) 是区间[ −T / 2, T/2 ]上的标准正交函数系，i = −1。 由傅里叶级数可知，函数 x(t) 在区间[ −T / 2, T/2 ]满足Dirichlet条件且平方可积， ∫− < ∞ / 2 / 2 2 ( ) d T T x t t (1.3.4) 都具有Fourier级数表达式 ∑ ∞ =−∞ = n i n t n x(t) c e ω (1.3.5) 其中常数 n c 称为傅里叶系数，定义为 ∫− − = / 2 / 2 ( ) d 1 T T i n t n x t e t T c ω (1.3.6)
式(1.3.5)表示的傅里叶级数具有两个独特的性质m:第一,函数x()可分解为无限多个互相正 交的分量gn(1)=cne的和,其中正交是指gn与gn的内积对所有m≠n成立,即 T/2 (8m,8)=7m28mO(由=0m≠n (1.3.7) 第二个独特的性质是,正交分量gn或gn可用一个简单的基函数g1(m)的整数m或n的膨胀生 成,任何函数x()都可以用这些整数膨胀的正交基函数累加生成。这一性质使我们自然联想 到小波分析中,通过母小波的伸缩和平移生成小波族 小波变换中的正交小波基函数使我们产生了强烈的共鸣和浓厚的兴趣。在傅里叶变换中 基函数是唯一的,而在小波变换中基函数却不是唯一的,只要具有振荡、紧支特性,满足允 许条件的函数都可以作为小波基函数。因此,寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理 论中的一个重要研究课题。在进行机电设备监测诊断时,我们总希望故障信息能够互不干扰 地,也就是独立地被提取出来。为了达到这一目的,采用正交小波是非常重要的。值得庆幸 的是小波理论已经严格地给出了构造正交小波的数学条件,至今已有大量的正交小波被构造 出来。例如, Mallat.用样条函数构造了正交小波并给出小波变换的低通、高通滤波器系数 Daubechies提出选择低通滤波器H(ω)为三角多项式,用迭代算法构造出具有紧支集的正交尺 度函数和小波函数; Newland提出的谐波小波基函数具有正交性,在时域中光滑性好,频域中 的滤波盒性好,且有锁定信号相位的能力,等等。正是由于这种正交性,正交小波变换能够 将任意信号(平稳或非平稳)分解到各自独立的频带中,这种独立性归功于小波函数的正交 性,Mlt在他的论文中多次强调了正交与独立这一关系。这些独立的频带首尾相连,无冗 余,无疏漏,从而形成了多分辨分析方法。到目前为止,无论何种正交性能优良的小波基函 数,使分解频带之间毫不重叠是不可能的。如果要精确地给出这些频带之间的重叠量也是不 容易的,但是能够借助于小波函数的正交性来控制它们,使这些重叠量减到最小。这些独立 频带中的分解信号携带着机械设备运行时不同零部件的状态信息,正交性保证了这些状态信 息也是无冗余、无疏漏,排除了干扰,浓缩了了动态分析与监测诊断信息。正交小波变换和 多分辨分析这种理想的手段在机械动态分析、设备状态监测与故障诊断中倍受重视。 14信号处理的内积与基函数 在信号处理的各种运算中,内积发挥了重要作用。考虑实数序列X=(x,x2,…,xn) Y=(y,y2…,yn)∈R"(n维实数空间),它们的内积定义为 (X,Y=∑xy (14.1) 在傅里叶级数和傅里叶变换中均涉及到复指数序列,如果有复数二=x+y,它的共轭复数是 =x-y,注意到z==x2+y2,它确定了复平面上从(0,0)到(x,y)向量长度的
9 式(1.3.5)表示的傅里叶级数具有两个独特的性质[20]：第一，函数 x(t) 可分解为无限多个互相正 交的分量 i n t n n g (t): c e ω = 的和，其中正交是指 gm 与 gn 的内积对所有 m ≠ n 成立，即 ∫− ∗ 〈 〉 = = / 2 / 2 ( ) ( )d 0 1 , : T T m n m n g t g t t T g g m ≠ n (1.3.7) 第二个独特的性质是，正交分量 gm 或 gn 可用一个简单的基函数 ( ) 1 g t 的整数 m 或 n 的膨胀生 成，任何函数 x(t) 都可以用这些整数膨胀的正交基函数累加生成。这一性质使我们自然联想 到小波分析中，通过母小波的伸缩和平移生成小波族。 小波变换中的正交小波基函数使我们产生了强烈的共鸣和浓厚的兴趣。在傅里叶变换中 基函数是唯一的，而在小波变换中基函数却不是唯一的，只要具有振荡、紧支特性，满足允 许条件的函数都可以作为小波基函数。因此，寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理 论中的一个重要研究课题。在进行机电设备监测诊断时，我们总希望故障信息能够互不干扰 地，也就是独立地被提取出来。为了达到这一目的，采用正交小波是非常重要的。值得庆幸 的是小波理论已经严格地给出了构造正交小波的数学条件，至今已有大量的正交小波被构造 出来。例如，Mallat采用样条函数构造了正交小波并给出小波变换的低通、高通滤波器系数； Daubechies提出选择低通滤波器 H(ω) 为三角多项式，用迭代算法构造出具有紧支集的正交尺 度函数和小波函数；Newland提出的谐波小波基函数具有正交性，在时域中光滑性好，频域中 的滤波盒性好，且有锁定信号相位的能力，等等。正是由于这种正交性，正交小波变换能够 将任意信号（平稳或非平稳）分解到各自独立的频带中，这种独立性归功于小波函数的正交 性，Mallat在他的论文[10]中多次强调了正交与独立这一关系。这些独立的频带首尾相连，无冗 余，无疏漏，从而形成了多分辨分析方法。到目前为止，无论何种正交性能优良的小波基函 数，使分解频带之间毫不重叠是不可能的。如果要精确地给出这些频带之间的重叠量也是不 容易的，但是能够借助于小波函数的正交性来控制它们，使这些重叠量减到最小。这些独立 频带中的分解信号携带着机械设备运行时不同零部件的状态信息，正交性保证了这些状态信 息也是无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了动态分析与监测诊断信息。正交小波变换和 多分辨分析这种理想的手段在机械动态分析、设备状态监测与故障诊断中倍受重视。 1.4 信号处理的内积与基函数 在信号处理的各种运算中，内积发挥了重要作用[21]。考虑实数序列 ( , , , ) 1 2 n X = x x " x ， ( , , , ) 1 2 n Y = y y " y n ∈ R ( n 维实数空间)，它们的内积定义为 ∑= 〈 〉 = n j j j x y 1 X,Y . (1.4.1) 在傅里叶级数和傅里叶变换中均涉及到复指数序列，如果有复数 z = x + iy ，它的共轭复数是 z = x − iy ∗ ，注意到 2 2 2 z⋅ z = z = x + y ∗ ，它确定了复平面上从 (0, 0) 到 (x, y) 向量长度的