134 数字图像处理（第三版） 4.3.3取样定理 我们在2.4节中直观地介绍了取样的概念。现在，我们考虑形式上的取样过程，并确立一个条件 在该条件下， 一个连续函数完全可由其取样集合来恢复 对于以原点为中心的有限区间（带宽）【-44】之外的频率值，其傅里叶变换为零的函数 f称为带限函数。图4.7(a)就是这样一个函数，它是图4.6(a的一个放大部分。类似地，图4.7b)是 图4.6（©）所示临界取样后的函数的傅里叶变换更详细的视图。较低的/△T值将导致F()中的周期融 合，较高的V△T值在周期之间会提供更为清晰的间隔。 如果能从F()中包含的这个函数的拷贝的周期序列中分离出F(4)的一个拷贝，那么我们就可 以从取样后的版本复原fO,其中F(4)是取样后的函数子0)的傅里叶变换。回顺前节的讨论，F() 是周期为V△T的连续周期函数。因此，我们需要一个完整的周期来表征整个变换。这意味着我们用 傅里叶反变换从一个单周期就可恢复f0。 如果拷贝间的间距足够（见图4.6），从F()提取一个单周期使其等于F(4)是可能的。根据图4,76) 如果12△T>4或者 立>2 (4.3-6) 则可保证有足够大的间距。该公式指出，如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本，连续 的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。这个结论就是众所周知的取样定理。基于这一结果， 我们可以说，如果一个连续的带限函数用取样率大于函数最高颜率的两倍的取样来表示不会有信息损 失。反过来，我们也可以说以1/△T的取样率对一个信号取样的最 大频率是4=1/2△T。有时，奈奎斯特取样率对于完美函数的恢复 是充分的，但是，也存在引起闲难的情况，如我们稍后在例4.3中说明 的那样。这样，取样定理就规定了取样率必须超过奈奎斯特取样率。 F ab F() 247 27 图4.7(a)一个带限函数的变换，(b)对同一函数做临界取样得到的变换 为了从原理上了解如何从F()复原F(),考虑图4.8，该图显示了一个以略高于奈奎斯特取样 率取样后的函数的傅里叶变换。图4.8(6)中的函数由下式定义： ∫AT,-≤μ≤m H)=0. (4.3-7） 其他
第4章频率城滤波 135 当乘以图4.8(a)中的周期序列时，该函数就隔离了以原点为中心的周 式437)中的△7抵消了式4.35 期。然后，如图4.8(@所示.通过H(4)和F(4)相乘我们得到F(μ)： 中的A7 F(4)=H(H)F(4) (4.3-8) 一且得到了F(),我们就可以用傅里叶反变换来复原f): f0=」Fu)e2wdw (4.3-9 式(4.37)到式(4.39)从理论上证明了，以函数包含的最高频率的两倍的速率取样得到的函数的样本 来恢复一个带限函数是可能的。正如下一节我们将要讨论的那样，∫)必须是带限的这一要求通常 意昧着f)必须从-∞扩展到∞，实际上这一条件并不满足。正如稍后将要看到的那样，限制一个 函数的持续时间会妨碍该函数的完美复原，除非是特殊的情况。 AT F()=H()F() 图4.8使用一个理想低通滤波器提取一个带限函数的变换的一个周期 函数H()称为低通滤波器，因为它通过频率范围低端的频率，但是，它会消除（滤除）所有较高 的频率。它还被称为理想低通滤波器，因为它在幅度上无限快速地过渡（在位置-4处，在0和△7 之间，而在位置4处正好相反)，其特性用物理电子元件是不能达到的。我们可以用软件来模拟理 想滤波器，但是，像在47.2节中解释的那样，尽管这样，也有限制。在这一章后面，我们还有更多 的有关滤波器的内容要叙述。因为滤波器是从函数的取样恢复（重建）原始函数的手段，因此刚刚讨论 的用于此目的的滤波器称为重建滤波器。 4.3.4混淆 在这一点上 一个合理的向题是：如果一个带限函数用低于其最高频率的两倍取样率取样将会 发生什么情况？这相当于前一节中讨论的欠取样情况。图4.9(a)与图4.6(d)相同，说明了这一情况。 以低于奈奎斯特取样率取样的最终效果是周期重叠，并且不管使用什么滤波器。都不可能分离出变换39
136 数字图像处理（第三版） 的一个单周期。例如，使用图4.9(6)中的理想低通滤波器，将会得到如图4.9()所示的一个变换，该 变换已被来自邻近周期的频率破坏了。然后，反变换会产生1的一个破坏了的函数。由函数欠取样导 致的这种效果就是周知的频率混淆，或简称为混清。在字面上，混淆是一个过程，在这一过程中， 个连续函数的高频分量在取样后的函数中用低频“化妆”了。这与通常所用的混浦一词是一致的，其 意思是“错认了“。 AT-2-ATi HG) )=H()F 图4.9（一个欠取样带限函数的傅里叶变换（图中来自邻近周期的干扰显示为虚线）；(6)图4.86)中 所用的同一个理想低通滤波器：(C图()和图(6)的乘积。来自邻近周期的干扰导致了混希，面 混妨碍了F)的完美复原。并因此妨碍了原始带限连绫函数的完美复原。请与图48比较 很不幸，除了下面提到的某些特殊情况外，在取样过的函数中，混淆总是存在的。尽管原始取 样过的函数是带限的。在实践中，我们必须要做的是限制函数的时间在我们限制函数的持续时间时 总会引进无限的频率分量。例如，假设我们想要把带限函数∫)的持续时间限制在区间0，T刀内。我 们可以让f)乘以如下函数来达到： =6 (4.3-10) 这个函数具有与图44(a相同的基本形状，其变换H)具有无限扩展的频率分量，如图4.46)所示 由卷积定理可知，乘积h()/)的变换是这两个函数的变换的卷积。虽然f)的变换是带限的，将该 变换与H()卷积.它包含在另一个函数上滑动一个函数的过程，这就产生一个频率分量无限扩展的 结果。因此，没有有限持续时间的函数是带限的。反过来，一个带限函数一定从-∞扩展到∞① 根据前一段说明的原因，我们断定，用有限长度的取样和记录工作，混淆是一个不可避免的事 实。在实践中，可以通过平滑输入函数减少高频分量的方法（如对图像采用散焦方法）来降低混滑的是 画 ①一个重要的特例是当一个从-©扩覆到∞的函数是带限的周期函数时。此时。该函数可被裁断并且仍是带限的，前提是该裁 断精确包含整数个周期。单个载离的周期（及函数可由一细滨足取样定理井在截断的区间上获得的离散样本来表示
第4章频率城滤波 137 响。这种处理称为抗混淆，它必须在函数被取样之前完成，因为混淆是一个取样问题，而取样问题不 能使用计算技术“事后取消”。 例4.3混淆。 图4.10显示了混淆的一个经典例子。在两个方向上无限扩展的纯正弦波具有单一频率，因此它很明 显是带限的。假定图中的正弦波（现在忽略图中的大点）用式si(u)来表 回忆可知，1个周期/秒定义为1也。 示，并且水平轴对应时间（单位为秒）。函数在1=，-1,0.1,2,3…处与 时间轴相交。 sin(u)的周期P是2s,其频率是1/P或1/2周期秒。根据取样定理，如果取样率1V△T超过某一信 号最高频率的两倍，我们可以由取样后的一组样本来复原该信号。这意昧着取样率大于】个样本秒 2×/2)=】或△T<1s时，才能恢复该信号。显然，以准确的两倍频率(1个样本秒)的取样率对信号取 样，在1=，-l0,12,3…处得到的样本是sin(-,sin(0),sn(),sin(2.…,它们都是零。这说明了 取样定理要求取样率超过信号最高频率两倍的原因，就像前面提及的那样。 图4.10中的大黑点是以小于1个样本秒的取样率对信号均匀取样后得到的样本（事实上，样本间的间 隔超过了2s,它给出的取样率低于12个样本秒。取样后的信号看上去像正弦波，但其频率是原始信号的十 分之一。这个顿率低于原始连续函数中任何频率的取样后的信号是混淆的一个例子。只给出了图4.10中 的样本，在这种情况下，混淆的严重程度使得我们无法知道这些样本是不是原始函数的真实描述。正如 在这一章稍后稳将要看到的那样，图像中的混淆会产生类似的误导结果。 ● 图4.10混淆的说明。欠取样后的函数（黑点）看上去像一个频率比连续信号颍率低得多的正弦 波。该正弦波的周期是2s因此与水平轴的零交叉每秒钟出现 次 △T是样本间隔 4.3.5由取样后的数据重建（复原）函数 在这一节，我将说明由一组样本集合来重建函数实际上可以减少样本间的内插。即使简单地用显示 介质显示一幅图像的行为都要求来自其样本的图像重建。因此，理解取样数据重建的基础是很重要的。卷 积是这一理解的核心、，因而再度显示了这一概念的重要性 图4.8和式(438)的讨论概括了一个带限函数使用频率域方法由其样本完美复原的过程。使用卷 积定理，我们可以在空间域得到等价的结果。从式(4.3-8)，F()=H()F(4),可知 f0=3'{F()}=3'{H()F)}=h)★f) (43-11） 其中，最后一步来自式(4.2-21)的卷积定理。可以证明（见习题4.6），将式(431)给出的0代入 式(4.31)，然后使用式(4.2-20)，可导出f0的如下空间域表达式： f)=∑fmAT)sine(-nAT)/△T] (4.3-12) 240
138 数字图像处理（第三版） 其中，sic函数由式(42-19)定义。这个结果并不意外，因为盒状滤波器H(4)的傅里叶反变换是 个sic函数（见例4.I)。式(4.312）表明，完美重建的函数是用取样值加权的sic函数的无限和，并且 有重要的特性，即重建的函数恒等于在多个△T的整数增量处的样本值。也就是说.对于任何 1=k△T,其中k是整数，f)等于第k个样本fk△T)。这来自式(4.312)，因为sinc0)=1,并且 对于任何其他整数m.sinc(m)=O。样本点之间的f)值是由sic函数的和形成的内插。 式(4312)要求样本间的内插有无限多项。在实际中，这意味着我们必须找到一种样本间内插有 限的近似方法。正如我们在2.4.4节中讨论的那样，在图像处理中使用的主要内插方法是最近邻法、 双线性法和双三次内插法。在4.5.4节中，我们将讨论图像内插的效果。 4.4单变量的离散傅里叶变换(DFT) 本节的主要目的是从基本原理开始推导离散傅里叶变换。到目前为止的材料可看成是这些基本 原理的基础，因此，现在我们适当地推导DT所必需的工具。 4.4.1由取样后的函数的连续变换得到DFT 正如432节讨论的那样。 -个取样过的、带限的、扩展到一∞到∞范围的函数的傅里叶变换 也是扩展到-∞到∞范围的连续的周期函数。实践中，我们处理有限数量的样本，因此本节的目的是 推导对应于这种样本集合的DFT。 式(4.3-5)给出了关于原始函数变换的取样过的数据的变换F(4),但是，未给出采样后函数 于)本身的变换F(4)的表达式。我们直接由式(4.2-16)中给出的傅里叶变换的定义寻找这样一个 表大式. F(u)=f(r)e-Rdr (441) 用式(4.3)代替)，我们得到 F0m=j0ePwd山=∑fe6-AT)ed山=∑∫fe6t-nATe山 (4.4-2) =∑e 其中，最后一步来自式(4.32)。虽然，是离散函数，但正如我们由式(4.35)所知道的那样，其傅里 叶变换F(4)是周期为1/△T的无限周期连续函数。因此，我们需要表征F(4)的一个周期，而对一个 周期取样是DFT的基础。 假设我们想要在周期μ=0到μ=1/△T之间得到F()的M个等间距的样本。这可以通过在如 下顿率处取样得到： μ=MAT' m=0,l,2…,M-1 (4.4-3) 把4的这一结果代人式(4.42)，并令F表示得到的结果，则有 图 L m01.2. (444 40