第17卷第4期 智能系统学报 Vol.17 No.4 2022年7月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul.2022 D0:10.11992/tis.202107038 网络出版地址：https:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20220518.1934.004.html 属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 中情3，蒋云良23，张雄涛2 (1.湖州学院理工学院，浙江湖州313000：2.湖州师范学院信息工程学院，浙江湖州313000：3.湖州师范学院 浙江省现代农业资源智慧管理与应用研究重点实验室，浙江湖州313000) 摘要：针对属性权重未知的犹豫模糊多属性决策，利用犹豫模糊元边界的确定性与边界内隶属度的犹豫性： 把犹豫模糊元转换成集对分析中的三元联系数；再根据三元联系数的势函数和属性离差最大法确定属性权重， 基此建立属性权重未知条件下的基于三元联系数的犹豫模糊多属性决策模型，利用模型中不同犹豫强度对备 选方案进行排序。实例计算和对比分析结果表明，新模型不仅包含了其他模型得到的结果，还提供了更多潜在 的排序方案信息，由此形成的有条件决策，是犹豫模糊多属性决策不确定性本质属性的映照，与犹豫模糊多属 性决策实际应用情况吻合。 关键词：犹豫模糊多属性决策：犹豫模糊元；属性权重；三元联系数；势函数：犹豫强度示性系数：离差最大法： 条件决策 中图分类号：TP311 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2022)04-0728-09 中文引用格式：申情，蒋云良，张雄涛.。属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法.智能系统学报，2022,17(4)： 728-736. 英文引用格式：SHEN Qing,JIANG Yunliang,ZHANG Xiongtao.A hesitant fuzzy multi-attribute decision-making method with unknown attribute weightsJCAAI transactions on intelligent systems,2022,17(4):728-736. A hesitant fuzzy multi-attribute decision-making method with unknown attribute weights SHEN Qing'3,JIANG Yunliang23,ZHANG Xiongtao23 (1.School of Science and Engineering,Huzhou College,Huzhou 313000.China:2.School of Information Engineering,Huzhou Nor- mal University,Huzhou 313000,China;3.Zhejiang Provincial Key Laboratory of Smart Management Application of Modern Ag- ricultural Resources,Huzhou Normal University,Huzhou 313000,China) Abstract:For hesitant fuzzy multi-attribute decision making(HFMADM)with unknown attribute weight,using the cer- tainty of the hesitation fuzzy element boundary and the hesitation of the membership degree within the boundary,the hesitant fuzzy element is transformed into the ternary connection number(TCN)in set pair analysis.The attribute weight is then determined using the potential function of the TCN and the principle of maximum deviation of attributes. Furthermore,a hesitant fuzzy multi-attribute decision-making model based on TCN is established under the condition of unknown attribute weight.The possible ranking of alternatives is discussed by using different hesitant intensity values in the model.The results of case calculation and comparative analysis show that the new model not only contains the find- ings of other models but also provides other possible ranking alternatives.The conditional decision formed by this mod- el reflects the essential attribute of uncertainty in HFMADM,which is consistent with its practical application. Keywords:hesitant fuzzy multi-attribute decision making;hesitant fuzzy element;attribute weight;ternary connection number:potential function;indicative coefficient of hesitation intensity:maximum deviation;conditional decision making 多属性决策是有广泛应用背景的一类决策。 面，使得这一类决策问题通常受种种不确定性的 但由于客观事物既有确定性一面又有不确定性一 困扰，决策者会因此在决策时产生一定的犹豫性， 这使得Torra等-al的犹豫模糊集(hesitant fuzzy 收稿日期：2021-07-19.网络出版日期：2022-05-19. 基金项目：浙江省重点研发计划项目(2020C01097). sCt,HFS)理论应运而生。HFS理论允许元素属于 通信作者：蒋云良.E-mail:jyl@zjhu.edu.cn. 集合的隶属度可以是若干个犹豫模糊值，一定程
DOI: 10.11992/tis.202107038 网络出版地址: https://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20220518.1934.004.html 属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 申情1,3，蒋云良2,3，张雄涛2,3 （1. 湖州学院 理工学院，浙江 湖州 313000; 2. 湖州师范学院 信息工程学院，浙江 湖州 313000; 3. 湖州师范学院 浙江省现代农业资源智慧管理与应用研究重点实验室，浙江 湖州 313000） 摘 要：针对属性权重未知的犹豫模糊多属性决策，利用犹豫模糊元边界的确定性与边界内隶属度的犹豫性， 把犹豫模糊元转换成集对分析中的三元联系数；再根据三元联系数的势函数和属性离差最大法确定属性权重， 基此建立属性权重未知条件下的基于三元联系数的犹豫模糊多属性决策模型，利用模型中不同犹豫强度对备 选方案进行排序。实例计算和对比分析结果表明，新模型不仅包含了其他模型得到的结果，还提供了更多潜在 的排序方案信息，由此形成的有条件决策，是犹豫模糊多属性决策不确定性本质属性的映照，与犹豫模糊多属 性决策实际应用情况吻合。 关键词：犹豫模糊多属性决策；犹豫模糊元；属性权重；三元联系数；势函数；犹豫强度示性系数；离差最大法； 条件决策 中图分类号：TP311 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2022)04−0728−09 中文引用格式：申情, 蒋云良, 张雄涛. 属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 [J]. 智能系统学报, 2022, 17(4): 728–736. 英文引用格式：SHEN Qing, JIANG Yunliang, ZHANG Xiongtao. A hesitant fuzzy multi-attribute decision-making method with unknown attribute weights[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2022, 17(4): 728–736. A hesitant fuzzy multi-attribute decision-making method with unknown attribute weights SHEN Qing1,3 ，JIANG Yunliang2,3 ，ZHANG Xiongtao2,3 (1. School of Science and Engineering, Huzhou College, Huzhou 313000, China; 2. School of Information Engineering, Huzhou Normal University, Huzhou 313000, China; 3. Zhejiang Provincial Key Laboratory of Smart Management & Application of Modern Agricultural Resources, Huzhou Normal University, Huzhou 313000, China) Abstract: For hesitant fuzzy multi-attribute decision making (HFMADM) with unknown attribute weight, using the certainty of the hesitation fuzzy element boundary and the hesitation of the membership degree within the boundary, the hesitant fuzzy element is transformed into the ternary connection number (TCN) in set pair analysis. The attribute weight is then determined using the potential function of the TCN and the principle of maximum deviation of attributes. Furthermore, a hesitant fuzzy multi-attribute decision-making model based on TCN is established under the condition of unknown attribute weight. The possible ranking of alternatives is discussed by using different hesitant intensity values in the model. The results of case calculation and comparative analysis show that the new model not only contains the findings of other models but also provides other possible ranking alternatives. The conditional decision formed by this model reflects the essential attribute of uncertainty in HFMADM, which is consistent with its practical application. Keywords: hesitant fuzzy multi-attribute decision making; hesitant fuzzy element; attribute weight; ternary connection number; potential function; indicative coefficient of hesitation intensity; maximum deviation; conditional decision making 多属性决策是有广泛应用背景的一类决策。 但由于客观事物既有确定性一面又有不确定性一 面，使得这一类决策问题通常受种种不确定性的 困扰，决策者会因此在决策时产生一定的犹豫性， 这使得 Torra 等 [1-2] 的犹豫模糊集（hesitant fuzzy set, HFS）理论应运而生。HFS 理论允许元素属于 集合的隶属度可以是若干个犹豫模糊值，一定程 收稿日期：2021−07−19. 网络出版日期：2022−05−19. 基金项目：浙江省重点研发计划项目（2020C01097）. 通信作者：蒋云良. E-mail：jyl@zjhu.edu.cn. 第 17 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.17 No.4 2022 年 7 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul. 2022
第4期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·729· 度上发展了Zadeh模糊集理论，吸引了不少学者 画给定元素对于给定集合的隶属程度。例如， 基于HFS理论研究犹豫模糊环境下的多属性决 3位科技专家在评估某科技项目创新程度时分别 策问题。Xia等)最早给出犹豫模糊集的数学表 给出0.65、0.75、0.8三个隶属度，这3个隶属度用 达式。在中国，张超等研究了犹豫模糊图及其 <0.65,0.75,0.8>表示，称之为犹豫模糊元。犹豫模 在多属性决策中的应用，武文颖等给出了基于 糊元是犹豫模糊集理论的核心，一般用a(x)表示 概率犹豫信息集成方法的群决策模型，王宝丽等 一个犹豫模糊元，定义如下。 提出基于粒计算给出未知属性权重时的犹豫模糊 定义1设X是一个非空集合，从集合X到[0,1] 多准则决策方法10等。集对分析理论能同时表 区间上的一个函数称为犹豫模糊元(hesitant fuzzy 示系统的确定性测度与不确定性测度以及两者之 element,.HFE)。Xia等给出的犹豫模糊集的数学 间的关系，把人们对事物的确定性与不确定性关 表达式为 系的辩证认识转换成一个具体的数学工具一 M={(x,hw(x)》lx∈X (1) 联系数。集对分析自赵克勤于1989年提出以 式中：x代表某一属性；hw(x)表示方案M对属性x 来，已在人工智能和不确定性决策中得到应用27。 的隶属程度，也称综合犹豫模糊元，它是方案 文献[18]针对准则权系数信息不完全确定的多准 M在n个属性上的n个犹豫模糊元ha(x)(A=1, 则直觉模糊决策，将直觉模糊数转化为二元联系 2,…,的综合值。 数，建立了基于二元联系数的多准则直觉模糊决 Tora给出犹豫模糊元的计算公式四： 策综合加权模型。文献[19-20]研究了区间数和 =U1-y1 联系数之间的关系，分别提出了准则值和准则权 yeh 重为区间数的多准则决策方法。文献[21-22]中 hi0h2= min (yi,y2 针对二元联系数信息的集成问题，定义了几种二 Yneh为eh: h Uh2= 元联系数信息集成的几何算子，提出了基于二元 max{yi,y2】 力∈h,次h: 联系数的信息不完全的群决策方法。文献23]通 其中：h、h、h,是3个犹豫模糊元。 过将三角模糊数转化为二元联系数，提出了一种 熟悉模糊数学的人知道，对于两个和两个以 基于三角模糊数的二元联系数双重多属性决策方 上模糊隶属度作“取大取小”运算会丢失信息和导 法。文献[24]将不确定语言变量转换为二元联系 致误判。同理，对于两个和两个以上犹豫模糊元作 数，利用二元联系数的距离公式，建立了多目标 “取大取小”运算也会丢失信息和导致误判。因 规划模型。文献[25-26]利用二元联系数方法解 此，如何科学地提取一个犹豫模糊元的犹豫模糊 决了区间直觉模糊多属性决策和犹豫模糊多属性 信息，又为后续的数学建模运算与决策提供方便， 决策问题。 显然是犹豫模糊多属性决策研究的关键问题。 本文利用犹豫模糊元边界的确定性与边界内 1.2 权重未知的犹豫模糊多属性决策问题 隶属度取值的不确定性，把同样具有确定性与不 在犹豫模糊多属性决策问题中，属性权重对 确定性双重特性的集对分析理论中的三元联系数 决策起着举足轻重的作用。通常，在给定的一个模 引人到属性权重未知的犹豫模糊多属性决策研 糊多属性多方案决策问题中，属性权重由专家根 究，建立了属性权重未知情况下的基于三元联系 据自身的知识和经验给定，但专家定权会有一定的 数的犹豫模糊多属性决策新模型，该新模型不仅 主观性，简称主观定权；与主观定权法相反的有 包含了其他模型的结果，还提供了其他可能的方 “客观定权法”，这是根据原始数据之间的关系来 案排序结果，由此形成的有条件决策，是犹豫模 确定权重。在同一个多属性决策问题中，如何客 糊多属性决策不确定性本质属性的映照，与犹豫 观地给多个属性确定权重，是一个复杂的问题；为 模糊多属性决策实际应用情况吻合，且算法简 了界定本文要研究和解决的问题，下面对权重未 明；此外，在第5节还介绍了经典势函数shi(W)的 知的犹豫模糊多属性决策问题先作一般性描述： 扩展公式，使得本文给出的新模型有更好的潜力 设有四元组D=(S,Q,W,P)表示一个犹豫模糊多准 应对更为复杂的犹豫模糊多属性决策问题。 则决策系统，其中S为评价对象集S=(S1,S,…, Sm),m≥2：Q为评价属性集Q=(Q1,Q2,…,2,n≥2； 1权重未知的犹豫模糊多属性决策 且Q1,Q2,…,Qn都是越大越好的效益型属性；W为 11犹豫模糊集 属性权重集w=0m,w2,…,w)m=1,n≥2；P为 犹豫模糊集的基本特征在于用多个隶属度刻 评价函数P=f(S×Q)∈[0,1]
度上发展了 Zadeh 模糊集理论，吸引了不少学者 基于 HFS 理论研究犹豫模糊环境下的多属性决 策问题。Xia 等 [3] 最早给出犹豫模糊集的数学表 达式。在中国，张超等[4] 研究了犹豫模糊图及其 在多属性决策中的应用，武文颖等[5] 给出了基于 概率犹豫信息集成方法的群决策模型，王宝丽等[6] 提出基于粒计算给出未知属性权重时的犹豫模糊 多准则决策方法[7-10] 等。集对分析理论能同时表 示系统的确定性测度与不确定性测度以及两者之 间的关系，把人们对事物的确定性与不确定性关 系的辩证认识转换成一个具体的数学工具− 联系数。集对分析自赵克勤[11] 于 1989 年提出以 来，已在人工智能和不确定性决策中得到应用[12-17]。 文献 [18] 针对准则权系数信息不完全确定的多准 则直觉模糊决策，将直觉模糊数转化为二元联系 数，建立了基于二元联系数的多准则直觉模糊决 策综合加权模型。文献 [19-20] 研究了区间数和 联系数之间的关系，分别提出了准则值和准则权 重为区间数的多准则决策方法。文献 [21-22] 中 针对二元联系数信息的集成问题，定义了几种二 元联系数信息集成的几何算子，提出了基于二元 联系数的信息不完全的群决策方法。文献 [23] 通 过将三角模糊数转化为二元联系数，提出了一种 基于三角模糊数的二元联系数双重多属性决策方 法。文献 [24] 将不确定语言变量转换为二元联系 数，利用二元联系数的距离公式，建立了多目标 规划模型。文献 [25-26] 利用二元联系数方法解 决了区间直觉模糊多属性决策和犹豫模糊多属性 决策问题。 本文利用犹豫模糊元边界的确定性与边界内 隶属度取值的不确定性，把同样具有确定性与不 确定性双重特性的集对分析理论中的三元联系数 引入到属性权重未知的犹豫模糊多属性决策研 究，建立了属性权重未知情况下的基于三元联系 数的犹豫模糊多属性决策新模型，该新模型不仅 包含了其他模型的结果，还提供了其他可能的方 案排序结果，由此形成的有条件决策，是犹豫模 糊多属性决策不确定性本质属性的映照，与犹豫 模糊多属性决策实际应用情况吻合，且算法简 明；此外，在第 5 节还介绍了经典势函数 shi(μ) 的 扩展公式，使得本文给出的新模型有更好的潜力 应对更为复杂的犹豫模糊多属性决策问题。 1 权重未知的犹豫模糊多属性决策 1.1 犹豫模糊集 犹豫模糊集的基本特征在于用多个隶属度刻 hA (x) 画给定元素对于给定集合的隶属程度。例如， 3 位科技专家在评估某科技项目创新程度时分别 给出 0.65、0.75、0.8 三个隶属度，这 3 个隶属度用 <0.65,0.75,0.8>表示，称之为犹豫模糊元。犹豫模 糊元是犹豫模糊集理论的核心，一般用 表示 一个犹豫模糊元，定义如下。 定义 1 设 X 是一个非空集合，从集合 X 到 [0,1] 区间上的一个函数称为犹豫模糊元（hesitant fuzzy element，HFE）。Xia 等给出的犹豫模糊集的数学 表达式为 M = {⟨x,hM (x)⟩|x ∈ X} (1) hM (x) hA (x)(A = 1, 2,··· ,n) 式中：x 代表某一属性； 表示方案 M 对属性 x 的隶属程度 ,也称综合犹豫模糊元，它是方 案 M 在 n 个属性上的 n 个犹豫模糊元 的综合值。 Torra 给出犹豫模糊元的计算公式[2] ： h c = ∪ γ∈h {1−γ} h1 ∩h2 = ∪ γ1∈h1 ,γ2∈h2 min{γ1, γ2} h1 ∪h2 = ∪ γ1∈h1 ,γ2∈h2 max{γ1, γ2} 其中：h、h1、h2 是 3 个犹豫模糊元。 熟悉模糊数学的人知道，对于两个和两个以 上模糊隶属度作“取大取小”运算会丢失信息和导 致误判。同理，对于两个和两个以上犹豫模糊元作 “取大取小”运算也会丢失信息和导致误判。因 此，如何科学地提取一个犹豫模糊元的犹豫模糊 信息，又为后续的数学建模运算与决策提供方便， 显然是犹豫模糊多属性决策研究的关键问题。 1.2 权重未知的犹豫模糊多属性决策问题 S = (S 1,S 2,··· , S m) m ⩾ 2 Q = (Q1,Q2,··· ,Qn) n ⩾ 2 Q1,Q2,··· ,Qn W = (w1 ,w2 ,··· ,wn), ∑n k=1 wk = 1,n ⩾ 2 P = f (S × Q) ∈ [0,1] 在犹豫模糊多属性决策问题中，属性权重对 决策起着举足轻重的作用。通常，在给定的一个模 糊多属性多方案决策问题中，属性权重由专家根 据自身的知识和经验给定，但专家定权会有一定的 主观性，简称主观定权；与主观定权法相反的有 “客观定权法”，这是根据原始数据之间的关系来 确定权重。在同一个多属性决策问题中，如何客 观地给多个属性确定权重，是一个复杂的问题；为 了界定本文要研究和解决的问题，下面对权重未 知的犹豫模糊多属性决策问题先作一般性描述： 设有四元组 D=(S,Q,W,P) 表示一个犹豫模糊多准 则决策系统，其中 S 为评价对象集 ， ；Q 为评价属性集 ， ； 且 都是越大越好的效益型属性；W 为 属性权重集 ；P 为 评价函数 。 第 4 期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·729·
·730· 智能系统学报 第17卷 要求在未知，w2,…,wm)具体数值，但∑m=1 证明根据定义2和式(5)可知，当三元联系 条件下，决断出S中的最优对象，并作出S中m 数中的示性系数i,j取适当的数值时，可以得到 个对象的优劣排序。 由式(1)定义的犹豫模糊元中任意一个隶属度， 当评价函数P为犹豫模糊元时，属性权重未 例如前面提到的犹豫模糊元h4(x)=(0.65,0.75,0.8), 知的犹豫模糊多属性决策问题可以进一步描述 由此按定义2得到犹豫模糊元三元联系数 如下： μ=0.65+(0.8-0.65)i+(1-0.8)j= 0.65+0.15i+0.2i 设有m个备用方案(S1,S2,…,Sm),每个方案各 显然有 有n个相同的属性(Q1,Q2,…,Q),但对每个属性的 μ=0.65+0.15i+0.20=0.65 评价函数Pa(k=1,2,…,m:t=1,2,…,n)不同，且用犹 豫模糊元hn(xu)=(xu1,x2,…,m)表示，属性权重 μ=0.65+0.15i+0.267=0.75 μ=0.65+0.15i+0.2=0.8 w=mg…w,we0.∑m=1,但w,,… 性质2系统性。 W具体数值未知，为方便，约是各属性都是越大越 证明首先，式(5)所示三元联系数具有整体 好的效益型属性，要求在m个备用方案中决策出 性，这是因为相对于犹豫模糊元h()=(c1,x2,…,x), 最优方案，并对这些方案在犹豫模糊环境下的优 多了h)的补集ha(x,也就是，有ha(x)=cj,ha(x)= 劣排序作犹豫模糊性分析。 a+bio 不难看出：属性权重未知的犹豫模糊多属性 根据系统是由两个或两个以上要素组成的有 决策问题比属性权重已知的犹豫模糊多属性决策 机整体的定义，可知式(5)所示三元联系数是一 问题更为复杂。 个系统，所以具有系统性。 其次，三元联系数的系统性还体现在3个联 2三元联系数 系分量a,bi,g的层次性，这种层次性由3个联系 2.1基于犹豫模糊元的三元联系数定义 分量的示性系数1，i,j得到充分体现，因为 三元联系数是集对分析理论中的一种结构函 ie[0,1],j∈[-1,0]。 数，也称同异反联系数，其一般形式为μ=a+ 再次，在μ=a+bi+cj冲a、bi、g存在相互作用， bi+cj,但对应于不同的“反”有不同的类型，如“正 例如当i、j有具体数值时，会对a起增减作用。 负型‘反’(j=-1,i∈[-1,1)”“有无型反’(j=0,i∈ 第四，不确定性。不仅ie[0,1],je[-1,0]在各 [0,1])”等；为了把三元联系数用于未知属性权重 自的定义区间取哪一个具体数值具有不确定性， 的犹豫模糊多属性决策研究，重作定义： 而且当i在[0,1]取定某个具体的数值时，是加大 定义2设hA(w=(x1,x,…,xn)是一个犹豫模 a还是减小c也具有不确定性；同理，当j在 糊元，0<x<3<…<xn<1,x1x2,…,xn∈[0,1]，并 「-1,0]取定某个具体的数值时，是减小a还是减 称x1是h(x)的下界，xn是h(x)的上界，令 小b也具有不确定性。 a=x (2) 显然，上述不确定性说明了式(5)所示三元 b=Xn-X1 (3) 联系数不仅是一个不确定性系统，也同时说明应 c=1-xn (4) 用三元联系数解决不确定性多属性决策问题时与 称μ=a+bi+cj,i=[0,1],je[-1,0]为基于犹豫 实际不确定性环境的对应性与灵活性。 模糊元的三元联系数，或称犹豫模糊元联系数， 性质3可比较性。 也简称三元联系数。 证明情况1，示性系数效应结果比较。根 一般式为 据定义2，易知 Jμ=a+bi+ci (5) a+b+c=1, (a+bi+c0)>(a+bi+c提，） 式中：ae[0,1],b∈[0,1]，ce[0,1],ie[0,1],je[-1,0], (a+bi+c>(a+bi+c) 1称为犹豫模糊元联系数中偏于肯定的犹豫模糊 成立。 强度系数，j称为犹豫模糊元联系数中偏于否定 情况2，示性系数有确定值时的结果比较。 的犹豫模糊强度系数。统称i、j为犹豫模糊强度 由情况1进一步推知，当两个三元联系数41=a+ 示性系数，简称示性系数。 bi+c1j与2=2+b2i+c2j中的i1,j1与2，j2各有 以上定义的三元联系数具有以下性质。 确定的值时，41与4能比较大小。 性质1与犹豫模糊元具有等价性。 例如对于三元联系数41=0.6+0.3i1+0.1j1与
(w1,w2,··· ,wn) ∑n k=1 要求在未知 具体数值，但 wk = 1 条件下，决断出 S 中的最优对象，并作出 S 中 m 个对象的优劣排序。 当评价函数 P 为犹豫模糊元时，属性权重未 知的犹豫模糊多属性决策问题可以进一步描述 如下： (S 1,S 2,··· ,S m) (Q1,Q2,··· ,Qn) Pkt (k = 1,2,··· ,m;t = 1,2,··· ,n) hp (xkt) = (xkt1, xkt2,··· , xktn) w = [w1 w2 ··· wn] T wt ∈ [0,1], ∑n t=1 wt = 1 w1,w2,··· , wn 设有 m 个备用方案 ，每个方案各 有 n 个相同的属性 ，但对每个属性的 评价函数 不同，且用犹 豫模糊元 表示，属性权重 ， ， 但 具体数值未知，为方便，约定各属性都是越大越 好的效益型属性，要求在 m 个备用方案中决策出 最优方案，并对这些方案在犹豫模糊环境下的优 劣排序作犹豫模糊性分析。 不难看出：属性权重未知的犹豫模糊多属性 决策问题比属性权重已知的犹豫模糊多属性决策 问题更为复杂。 2 三元联系数 2.1 基于犹豫模糊元的三元联系数定义 µ = a+ bi+c j j = −1,i ∈ [−1,1] j = 0,i ∈ [0,1] 三元联系数是集对分析理论中的一种结构函 数，也称同异反联系数，其一般形式为 ，但对应于不同的“反”有不同的类型，如“正 负型‘反’（ ）”“有无型‘反’（ ）”等；为了把三元联系数用于未知属性权重 的犹豫模糊多属性决策研究，重作定义： hA (x) = (x1, x2,··· , xn) 0 < x1 < x2 < ··· < xn < 1 x1, x2,··· , xn ∈ [0,1] 定义 2 设 是一个犹豫模 糊元， ， ，并 称 x1 是 hA(x) 的下界，xn 是 hA(x) 的上界，令 a = x1 (2) b = xn − x1 (3) c = 1− xn (4) 称 µ = a+bi+c j，i = [0,1], j ∈ [−1,0] 为基于犹豫 模糊元的三元联系数，或称犹豫模糊元联系数， 也简称三元联系数。 一般式为 { µ = a+bi+c j, a+b+c = 1, (5) 式中： a ∈ [0,1],b ∈ [0,1], c ∈ [0,1],i ∈ [0,1], j ∈ [−1,0]， i 称为犹豫模糊元联系数中偏于肯定的犹豫模糊 强度系数，j 称为犹豫模糊元联系数中偏于否定 的犹豫模糊强度系数。统称 i、j 为犹豫模糊强度 示性系数，简称示性系数。 以上定义的三元联系数具有以下性质。 性质 1 与犹豫模糊元具有等价性。 hA (x) = (0.65,0.75,0.8) 证明 根据定义 2 和式（5）可知，当三元联系 数中的示性系数 i，j 取适当的数值时，可以得到 由式（1）定义的犹豫模糊元中任意一个隶属度， 例如前面提到的犹豫模糊元 ， 由此按定义 2 得到犹豫模糊元三元联系数 µ = 0.65+(0.8−0.65)i+(1−0.8) j = 0.65+0.15i+0.2 j 显然有 µ = 0.65 + 0.15i+0.2 j| i=0 j=0 = 0.65 µ = 0.65+0.15i+0.2 j| i=0.667 j=0 = 0.75 µ = 0.65+0.15i+0.2 j| i=1 j=0 = 0.8 性质 2 系统性。 hA (x) = (x1, x2,··· , xn) hA (x) hA (x) = c j hA (x) = a+bi 证明 首先，式（5）所示三元联系数具有整体 性，这是因为相对于犹豫模糊元 ， 多了 hA(x) 的补集 ，也就是，有 ， 。 根据系统是由两个或两个以上要素组成的有 机整体的定义，可知式（5）所示三元联系数是一 个系统，所以具有系统性。 i ∈ [0,1] j ∈ [−1,0] 其次，三元联系数的系统性还体现在 3 个联 系分量 a，bi，cj 的层次性，这种层次性由 3 个联系 分量的示性系 数 1 ， i ， j 得到充分体现，因为 ， 。 再次，在 µ = a+bi+c j 中 a、bi、cj 存在相互作用， 例如当 i、j 有具体数值时，会对 a 起增减作用。 第四，不确定性。不仅 i ∈ [0,1]， j ∈ [−1,0] 在各 自的定义区间取哪一个具体数值具有不确定性， 而且当 i 在 [0,1] 取定某个具体的数值时，是加大 a 还是减 小 c 也具有不确定性；同理， 当 j 在 [−1,0] 取定某个具体的数值时，是减小 a 还是减 小 b 也具有不确定性。 显然，上述不确定性说明了式（5）所示三元 联系数不仅是一个不确定性系统，也同时说明应 用三元联系数解决不确定性多属性决策问题时与 实际不确定性环境的对应性与灵活性。 性质 3 可比较性。 证明 情况 1，示性系数效应结果比较。根 据定义 2，易知 ( a+bi+c j| i=1 j=0 ) > ( a+bi+c j| i=1 j=−1 ) ( a+bi+c j| i=0 j=0 ) > ( a+bi+c j| i=0 j=−1 ) 成立。 µ1 = a1+ b1i1 +c1 j1 µ2 = a2+b2i+c2 j µ1 µ2 情况 2，示性系数有确定值时的结果比较。 由情况 1 进一步推知，当两个三元联系数 与 中的 i1，j1 与 i2，j2 各有 确定的值时， 与 能比较大小。 例如对于三元联系数 µ1 = 0.6 + 0.3i1 +0.1 j1与 ·730· 智 能 系 统 学 报 第 17 卷
第4期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·731· 2=0.5+0.25i2+0.25j2,当i=0.3,1=-0.5,i2=0.8, bi 2=-0.1时，有4山1=0.6+0.09-0.05=0.64,2=0.5+ 0.2-0.025=0.675。显然，这时有42>41。 情况3，同异反联系分量几何合成结果比 =1+0+0j 较。把三元联系数4=a4+bi+cji(k=1,2,…,) 0 a 映射到“同异反”三维空间见图1，计算三元联系 数的“模”： n=√a候+b候+c2(k=1,2,…,m) 根据“模”r的大小关系确定n个三元联系数 =a+bi4+c的大小关系。其原理是把三元联 图2同异反犹豫模糊决策空间中完全非犹豫点 系数看成是一组三维向量，在“同异反犹豫模糊决 Fig.2 Completely non-hesitant point in identical discrep- 策”空间中求这三组三维向量的合成，见图1。 ancy contrary hesitant fuzzy space bi 情况5，势函数比较。 定义4当犹豫模糊三元联系数μ=a+bi+ cj中的c.不是零时，定义alc为犹豫模糊三元联系 数μ=a+bi+cj的势函数，记为 shi(）=alc (6) LFa+bi+ci 0 利用势函数可以比较两个犹豫模糊三元联系 a 数势的大小。 2.2三元联系数的运算 根据集对分析理论，三元联系数可以作普通 的加减乘除四则运算，但本文仅用到其中的加法 可 运算和乘法运算，定义如下： 图1同异反犹豫模糊空间中的同异反犹豫向量合成示意 定义5设41=a1+b1i+c1j,=a2+b2i+c2j是 Fig.1 Synthesis of identical discrepancy contrary vectors in identical discrepancy contrary hesitant fuzzy 两个三元联系数，则它们的和是一个三元联系数 space μ=a+bi+cj,记作 从图1看出，三元联系数a+bi+cj的“模”是正 μ=41+2=a+bi+cj 向（肯定的）确定性测度α与负向（否定的）确定 式中：a=a1+a2,b=b1+b2,c=c1+c20 性测度c和不确定的犹豫测度bi在i=1时的一种 从定义5看出，三元联系数的加法运算满足 几何合成。 交换律，对于三个和更多个三元联系数相加满足 情况4，与完全非犹豫点的距离比较。 结合律。 定义3由定义1和定义2，可以进一步称犹 定义6设4山1=a1+bi+cj,2=a2+b2i+c2j是 豫模糊元三元联系数为s=1+0i+0j在图1所 两个三元联系数，则他们的乘积是一个三元联系 示同异反犹豫模糊决策空间中的点为完全肯定点 数μ=a+bi+cj,记作 (完全非犹豫点)，记为41o0,见图2。 μ=41×42=a+bi+cj 计算任意一个非完全不犹豫点，=+bi计 式中：a=a1a2+c1c3,b=b1a2+b2a+bb2+cb2,c= cjk=1,2,…,n)与完全非犹豫点1o0的海明距离 a192+b1c2+aG1,示性系数i,j在以上运算过程中 p,即 的规则是i=i,订=j,jj=1。 从定义6看出，三元联系数的乘法运算满足 p(k→1,0,0)=V(a-1)2+(b-0)2+(ck-0)2= 交换律，对于三个和更多个三元联系数相乘满足 Va-102+b2+c2 结合律。 当有m个非完全不犹豫点时，可以根据它们 定义7一个不等于零的实数k(k≠0)与三元 与完全肯定点（完全非犹豫点）41o.o的距离大小 联系数μ=a+bi+cj相乘，其积仍然是一个三元联 作出肯定程度的比较，与41a0距离小的要比与 系数。记作 41.a0,距离大的肯定。 ku=k(a+bi+cj)=ka+kbi+kcj
µ2 = 0.5 + 0.25i2 +0.25 j2 i1 = 0.3 j1 = −0.5 i2 = 0.8 j2 = −0.1 µ1 = 0.6+0.09−0.05 = 0.64 µ2 = 0.5+ 0.2−0.025 = 0.675 µ2 > µ1 ，当 ， ， ， 时，有 ， 。显然，这时有 。 µk = ak +bk ik +ck jk (k = 1,2,··· ,n) 情况 3，同异反联系分量几何合成结果比 较。把三元联系数 映射到“同异反”三维空间见图 1，计算三元联系 数的“模”： rk = √ a 2 k +b 2 k +c 2 k (k = 1,2,··· ,n) µk = ak +bk ik +ck jk 根据“模”rk 的大小关系确定 n 个三元联系数 的大小关系。其原理是把三元联 系数看成是一组三维向量，在“同异反犹豫模糊决 策”空间中求这三组三维向量的合成，见图 1。 cj c b a a μ=a+bi+cj bi 1 1 1 0 图 1 同异反犹豫模糊空间中的同异反犹豫向量合成示意 Fig. 1 Synthesis of identical discrepancy contrary vectors in identical discrepancy contrary hesitant fuzzy space a+bi+c j i = 1 从图 1 看出，三元联系数 的“模”是正 向（肯定的）确定性测度 a 与负向（否定的）确定 性测度 c 和不确定的犹豫测度 bi 在 时的一种 几何合成。 情况 4，与完全非犹豫点的距离比较。 µhA(x) = 1+0i+0 j µ(1,0,0) 定义 3 由定义 1 和定义 2，可以进一步称犹 豫模糊元三元联系数为 在图 1 所 示同异反犹豫模糊决策空间中的点为完全肯定点 （完全非犹豫点），记为 ，见图 2。 µk = ak +bk i+ ck j(k = 1,2,··· ,n) µ(1,0,0) 计算任意一个非完全不犹豫点 与完全非犹豫点 的海明距离 ρ，即 ρ(k → 1,0,0) = √ (ak −1) 2 +(bk −0) 2 +(ck −0) 2 = √ (ak −1) 2 +bk 2 +ck 2 µ(1,0,0) µ(1,0,0) µ(1,0,0) 当有 m 个非完全不犹豫点时，可以根据它们 与完全肯定点（完全非犹豫点） 的距离大小 作出肯定程度的比较，与 距离小的要比与 距离大的肯定。 cj a μ=1+0i+0j bi 1 1 1 0 图 2 同异反犹豫模糊决策空间中完全非犹豫点 Fig. 2 Completely non-hesitant point in identical discrepancy contrary hesitant fuzzy space 情况 5，势函数比较。 µ = a+bi+ c j a/ c µ = a+bi+c j 定义 4 当犹豫模糊三元联系数 中的 ck 不是零时，定义 为犹豫模糊三元联系 数 的势函数，记为 shi(µ) = a/ c (6) 利用势函数可以比较两个犹豫模糊三元联系 数势的大小。 2.2 三元联系数的运算 根据集对分析理论，三元联系数可以作普通 的加减乘除四则运算，但本文仅用到其中的加法 运算和乘法运算，定义如下： µ1 = a1 +b1i+c1 j µ2 = a2 +b2i+c2 j µ = a+bi+c j 定义 5 设 ， 是 两个三元联系数，则它们的和是一个三元联系数 ，记作 µ = µ1 + µ2 = a+bi+c j 式中：a = a1 +a2，b = b1 +b2，c = c1 +c2。 从定义 5 看出，三元联系数的加法运算满足 交换律，对于三个和更多个三元联系数相加满足 结合律。 µ1 = a1 +b1i+c1 j µ2 = a2 +b2i+c2 j µ = a+bi+c j 定义 6 设 ， 是 两个三元联系数，则他们的乘积是一个三元联系 数 ，记作 µ = µ1 ×µ2 = a+bi+c j a = a1a2 +c1c2 b = b1a2 +b2a1 +b1b2 +c1b2 c = a1c2 +b1c2 +a2c1 ii = i i j = j j j = 1 式中： ， ， ，示性系数 i，j 在以上运算过程中 的规则是 ， ， 。 从定义 6 看出, 三元联系数的乘法运算满足 交换律，对于三个和更多个三元联系数相乘满足 结合律。 k (k , 0) µ = a+bi+c j 定义 7 一个不等于零的实数 与三元 联系数 相乘，其积仍然是一个三元联 系数。记作 kµ = k (a+bi+c j) = ka+kbi+kc j 第 4 期 申情，等：属性权重未知情况下犹豫模糊多属性决策方法 ·731·
·732· 智能系统学报 第17卷 3 算法步骤 表1犹豫模糊决策系统 Table 1 Hesitant fuzzy decision making system 1)将决策者对各方案在每个属性下的评价值 对象 C2 C3 CA 进行数学表达形式转换。应用式(2~5)把专家给 {0.4,0.6} {0.8 {0.5} {0.4} 出的各属性评价值犹豫模糊元转换成三元联系数 9 {0.5} {0.4,0.9 {0.6} 0.7} 形式。 43 0.3,0.7 0.5.0.7 0.5,0.7 {0.3} 2)利用式(6)，即三元联系数μ=a+bi+cj的势 函数shi(m)计算公式，计算1)中得到的各三元联 小 {0.6} 0.60.8} {0.8} 0.60.8 系数的势函数值。 {0.6} {0.71 {0.55,0.65 {0.6} 3)利用基于离差的属性权重计算公式计算各 表2用三元联系数表示的犹豫模糊决策系统 属性权重： Table 2 Hesitant fuzzy decision making system expressed max shi(uu)-min shi(ue) TCN Wh= (7) ∑a,[maxshi((ae）-minshi】 人员 (c1) 4(c2) u(c3) (c) 4)利用综合加权求和计算公式计算各评价对 410.4+0.2i40.4i0.8+0i+0.2i0.5+0i+0.5i 0.4+0i+0.6j 象的综合三元联系数： 20.5+0i+0.5j0.4+0.5i40.j 0.6+0i+0.4 0.7+0i+0.3i u)=∑uew(c) (8) 4g0.3+0.4i+0.3j0.5+0.2i40.30.5+0.2i40.3 0.3+0i+0.7i =I 40.6+0i+0.4y0.6+0.2i+0.20.8+0i+0.2i0.6+0.2i+0.2 5)犹豫性分析。利用犹豫示性系数，了取不 450.6+0i+0.40.7+0i+0.30.55+0.1i0.35j0.6+0i+0.4 同值时各评价对象的三元联系数值，讨论犹豫性 对初排序的影响。 2)利用三元联系数μ=a+bi+cj的势函数 6)给出决策建议。根据以上5步结果，提出 shi(四计算公式式(6)，计算表2中各三元联系数的 决策建议，说明在何种犹豫模糊条件下的最优方 势函数值，得表3。 案及其他方案的优劣排序。 表3一个犹豫模糊决策系统三元联系数的势函数 Table 3 Potential function of TCN in a hesitant fuzzy de- 4应用实例 cision making system 人员 shie,() shic.(u) shics (u) shie.m） 为便于作对比分析，以下用2个实例来验证 1.0000 4.0000 1.0000 0.6667 本文前述模型的有效性。其中实例1取自文献[6]， 42 1.0000 4.0000 1.5000 2.3333 实例2取自文献[27。 u3 1.0000 1.6667 1.6667 0.4286 实例1某企业为选拔一重要部门优秀管理 人员，需要作多属性决策。企业负责人根据2位 1.5000 3.0000 4.0000 3.0000 专家的建议，从5位备选管理人员山4中根据专 1.5000 2.3333 1.5714 1.5000 业技能c1、理性技能c2、人际交往技能c3和设计 3)利用式(7)，得到各属性权重为 技能c,四个方面选择1位部门经理。各个考核准 w=0.0595 则权重未知。一方面，由于两位专家来自不同部 w%=0.2776 门，对各个备选人员在不同属性上的模糊评判可 w。=0.3569 能不同，即产生犹豫模糊判断值；另一方面，可能 w.=0.3059 有专家对部分备选人员在一些属性上的表现把握 4)利用式(8)，计算得山1、山2、4、山4、山5个评 不准或了解不够，从而出现不能给出模糊值的情 价对象各自的综合三元联系数： 况，如人力资源部门的管理人员对备选人员”1的 μ(41)=0.5467+0.0119i+0.4414j 人际交往技能c3方面了解不够，因此未做出评价， μ()=0.5691+0.1388i+0.2921j μ()=0.4269+0.1507i+0.4224j 仅有本部门2个评估专家给出的模糊判断值0.5。 μ(4)=0.6714+0.1167i+0.2119j 2位专家对备选人员的判断评价信息如表1所 μ(s)=0.6099+0.0357i+0.3544j 示。试给出5个排序对象的优劣次序。 5)犹豫性分析。 1)根据式(2)、(3)、(4)、(5)把表1中的各个 分别考察犹豫示性系数i、j取不同值时的 犹豫模糊元改写出成三元联系数的形式，得 5个评价对象的三元联系数值，并给出优劣排序， 表2。 结果见表4
3 算法步骤 1) 将决策者对各方案在每个属性下的评价值 进行数学表达形式转换。应用式 (2~5) 把专家给 出的各属性评价值犹豫模糊元转换成三元联系数 形式。 µ = a+bi+c j shi(µ) 2) 利用式 (6)，即三元联系数 的势 函数 计算公式，计算 1) 中得到的各三元联 系数的势函数值。 3) 利用基于离差的属性权重计算公式计算各 属性权重： wkt = ∑ maxshi(µkt)−minshi(µkt) n k=1 [ maxshi(µkt)−minshi(µkt) ] (7) 4) 利用综合加权求和计算公式计算各评价对 象的综合三元联系数： µ(uk) = ∑n k=1 µ(ck)w(ck) (8) 5) 犹豫性分析。利用犹豫示性系数 i，j 取不 同值时各评价对象的三元联系数值，讨论犹豫性 对初排序的影响。 6) 给出决策建议。根据以上 5 步结果，提出 决策建议，说明在何种犹豫模糊条件下的最优方 案及其他方案的优劣排序。 4 应用实例 为便于作对比分析，以下用 2 个实例来验证 本文前述模型的有效性。其中实例 1 取自文献 [6]， 实例 2 取自文献 [27]。 实例 1 某企业为选拔一重要部门优秀管理 人员，需要作多属性决策。企业负责人根据 2 位 专家的建议，从 5 位备选管理人员 u1~u5 中根据专 业技能 c1、理性技能 c2、人际交往技能 c3 和设计 技能 c4 四个方面选择 1 位部门经理。各个考核准 则权重未知。一方面，由于两位专家来自不同部 门，对各个备选人员在不同属性上的模糊评判可 能不同，即产生犹豫模糊判断值；另一方面，可能 有专家对部分备选人员在一些属性上的表现把握 不准或了解不够，从而出现不能给出模糊值的情 况，如人力资源部门的管理人员对备选人员 u1 的 人际交往技能 c3 方面了解不够，因此未做出评价， 仅有本部门 2 个评估专家给出的模糊判断值 0.5。 2 位专家对备选人员的判断评价信息如表 1 所 示。试给出 5 个排序对象的优劣次序。 1) 根据式 (2)、(3)、(4)、(5) 把表 1 中的各个 犹豫模糊元改写出成三元联系数的形式，得 表 2。 表 1 犹豫模糊决策系统 Table 1 Hesitant fuzzy decision making system 对象 c1 c2 c3 c4 u1 {0.4,0.6} {0.8} {0.5} {0.4} u2 {0.5} {0.4,0.9} {0.6} {0.7} u3 {0.3,0.7} {0.5,0.7} {0.5,0.7} {0.3} u4 {0.6} {0.6,0.8} {0.8} {0.6,0.8} u5 {0.6} {0.7} {0.55,0.65} {0.6} 表 2 用三元联系数表示的犹豫模糊决策系统 Table 2 Hesitant fuzzy decision making system expressed TCN 人员 μ(c1 ) μ(c2 ) μ(c3 ) μ(c4 ) u1 0.4+0.2i+0.4j 0.8+0i+0.2j 0.5+0i+0.5j 0.4+0i+0.6j u2 0.5+0i+0.5j 0.4+0.5i+0.1j 0.6+0i+0.4j 0.7+0i+0.3j u3 0.3+0.4i+0.3j 0.5+0.2i+0.3j 0.5+0.2i+0.3j 0.3+0i+0.7j u4 0.6+0i+0.4j 0.6+0.2i+0.2j 0.8+0i+0.2j 0.6+0.2i+0.2j u5 0.6+0i+0.4j 0.7+0i+0.3j 0.55+0.1i+0.35j 0.6+0i+0.4j µ = a+bi+c j shi(µ) 2 ) 利用三元联系数 的势函数 计算公式式 (6)，计算表 2 中各三元联系数的 势函数值，得表 3。 表 3 一个犹豫模糊决策系统三元联系数的势函数 Table 3 Potential function of TCN in a hesitant fuzzy decision making system 人员 shic1 (µ) shic2 (µ) shic3 (µ) shic4 (µ) u1 1.0000 4.0000 1.0000 0.6667 u2 1.0000 4.0000 1.5000 2.3333 u3 1.0000 1.6667 1.6667 0.4286 u4 1.5000 3.0000 4.0000 3.0000 u5 1.5000 2.3333 1.5714 1.5000 3) 利用式 (7)，得到各属性权重为 wc1 = 0.059 5 wc2 = 0.277 6 wc3 = 0.356 9 wc4 = 0.305 9 4) 利用式 (8)，计算得 u1、u2、u3、u4、u5 5 个评 价对象各自的综合三元联系数： µ(u1) = 0.546 7+0.011 9i+0.441 4 j µ(u2) = 0.569 1+0.138 8i+0.292 1 j µ(u3) = 0.426 9+0.150 7i+0.422 4 j µ(u4) = 0.671 4+0.116 7i+0.211 9 j µ(u5) = 0.609 9+0.035 7i+0.354 4 j 5) 犹豫性分析。 分别考察犹豫示性系数 i、j 取不同值时的 5 个评价对象的三元联系数值，并给出优劣排序， 结果见表 4。 ·732· 智 能 系 统 学 报 第 17 卷