又由于 E(X1E1)=1E(X1E1)+2E(X2E1)+E(E2)=2 于是 y0=91y1+q2y2+ 同样地,由原式还可得到 y1=1y0+92y1 y2=91y1+2y 于是方差为 (1+02)(1-(1-02)(1+
又由于 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E X t t = E X t− t + E X t− t + E t = 于是 2 0 1 1 2 2 = + + 同样地，由原式还可得到 2 1 1 2 0 1 1 0 2 1 = + = + 于是方差为 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 1 2 1 2 2 2 0 + − − + − − =
由平稳性的定义,该方差必须是一不变的正数,于是有 qp1+q2<1,q2-l<1,|2k 这就是AR(2)的平稳性条件,或称为平稳域。它是一顶点 分别为(-2,-1),(2-1),(0,1)的三角形。 (-2,-1) 图 9.2.1 AR(2)模型的平稳域
由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+2<1, 2-1<1, |2|<1 这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点 分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 图 9.2.1 AR(2)模型的平稳域
AR(2)模型 X=q1X11+q2X12+E 对应的特征方程1-91z-02z2=0的两个根z1、z满足 z1z2=-1/(02,z1+z2=01/ 解出q1,q2 0=51+2 1-2 由AR(2)的平稳性,l2=1/z1z2k1,则至少有一个根 的模大于1,不妨设z1>1,有 q1+q2= 1-(1--)(1--)<1 (1--)(1 于是|z21。由q2-01<1可推出同样的结果
对应的特征方程1-1z-2z 2=0 的两个根z1、z2满足： z1z2 =-1/2 , z1+z2 =-1/2 Xt Xt Xt t = + + 1 −1 2 −2 AR(2)模型 解出1，2 1 2 2 1 z z = − 1 2 1 2 1 z z z + z = 由AR(2)的平稳性，|2 |=1/|z1||z2 |<1 ，则至少有一个根 的模大于1，不妨设|z1|>1，有 ) 1 1 )(1 1 1 (1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 − = − − − + + = z z z z z z z z ) 0 1 )(1 1 (1 1 2 − − z z 于是| z2 |>1。由 2 - 1 <1可推出同样的结果
对高阶自回模型AR(p)来说,多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根,但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性 (1)AR(p)模型稳定的必要条件是: +(2+..+(n<1 (2)由于q1(i=1,2,p)可正可负,AR(p)模 型稳定的充分条件是: 1+|p2|+..+|<1
对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是： 1+2++p<1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模 型稳定的充分条件是： |1|+|2|++|p|<1
2、MA(q)模型的平稳性 对于移动平均模型MR(q) X 0 0 t-2 0 其中ε是一个白噪声,于是 E(X1)=E(E1)-日1E(E-1)-…-6E(60)=0 var (x1)=(1+02+…+02)2 71=covX1,x1=1)=(-1+602+6283+…+6-4) yG-1=coVX,X=q+)=(-641+00 g= cov(X,, X-a)=-0 02 当滞后期大于q时,Xt的自协方差系数为0。 因此:有限阶移动平均模型总是平稳的
对于移动平均模型MR(q)： Xt =t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一个白噪声，于是 2、MA(q)模型的平稳性 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 E X t = E t − 1 E t−1 −− q E q = ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 2 2 2 0 1 cov( , ) cov( , ) ( ) cov( , ) ( ) var (1 ) q t t q q q t t q q q t t q q t q X X X X X X X = = − = = − + = = − + + + + = = + + + − − − + − − − 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。 因此:有限阶移动平均模型总是平稳的