二、随机时间序列模型的平稳性条件
二、随机时间序列模型的平稳性条件
1、AR(p)模型的平稳性条件 自回归移动平均模型(ARMA)是随机时间序列分析模 型的普遍形式,自回归模型(AR)和移动平均模型(MA) 是它的特殊情况。 关于这几类模型的研究,是时间序列分析的重点内容: 主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。 随机时间序列模型的平稳性,可通过它所生成的随机时间 序列的平稳性来判断 如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的, 就说该AR(p)模型是平稳的, 否则,就说该AR(p)模型是非平稳的
自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模 型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA） 是它的特殊情况。 关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容： 主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。 1、AR(p)模型的平稳性条件 随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间 序列的平稳性来判断。 如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的， 就说该AR(p)模型是平稳的， 否则，就说该AR(p)模型是非平稳的
考虑p阶自回归模型AR(p) X=p1x11+q2X12+…+q p t-p 引入滞后算子( lag operator)L: LXX+-1,L2XtX1-2,., LPXFXI-p (米)式变换为 (1-01L-92l2-…-LD)X 记(L)=(1-0L-q22-…-q1),则称多项式方程 dp()=(1-q1z-2-….-012zp)=0 为AR(p)的特征方程( characteristic equation)。 可以证明,如果该特征方程的所有根在单位圆外 (根的模大于1),则AR(p)模型是平稳的
考虑p阶自回归模型AR(p) Xt =1Xt-1+ 2Xt-2 + … + pXt-p +t (*) • 引入滞后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1 , L2Xt=Xt-2 , …, LpXt=Xt-p (*)式变换为 (1-1L- 2L 2-…-pL p)Xt =t 记(L)= (1-1L- 2L 2-…-pL p),则称多项式方程 (z)= (1-1z- 2z 2-…-pz p)=0 为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外 （根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的
例921AR(1)模型的平稳性条件 对1阶自回归模型AR(1) pX -1+8 方程两边平方再求数学期望,得到X的方差 E(X2)=2E(X21)+E(1)+2E(X11E1) 由于X仅与ε相关,因此,E(X=0。如果该模型稳 定,则有E(X2)=E(X12),从而上式可变换为: 在稳定条件下,该方差是一非负的常数,从而有qpk1
例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。 对1阶自回归模型AR(1) X t X t t = + −1 方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 2 1 2 2 E Xt E Xt E t E Xt t = − + + − 由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t )=0。如果该模型稳 定，则有E(Xt 2 )=E(Xt-1 2 )，从而上式可变换为： 2 2 2 0 1 − = X = 在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 ||<1
而AR(1)的特征方程 (二)=1-=0 的根为 z=1/ AR(1)稳定,即|<1,意味着特征根大于1 例922AR(2)模型的平稳性。 对AR(2)模型 X1=q1X11+2X1=2 方程两边同乘以Xt,再取期望得: y0=1y1+q2y2+E(X,E,)
而AR(1)的特征方程 (z) = 1−z = 0 的根为 z=1/ AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根大于1。 例9.2.2 AR(2)模型的平稳性。 对AR(2)模型 Xt Xt Xt t = + + 1 −1 2 −2 方程两边同乘以Xt，再取期望得： ( ) 0 1 1 2 2 E Xt t = + +