4.1学习要求 基本要求：掌握正交实验设计的基本方法以及直观分析、方差分析的数据处理方法以及正 交实验设计在生产实践中的应用
4.1 学习要求 基本要求：掌握正交实验设计的基本方法以及直观分析、方差分析的数据处理方法以及正 交实验设计在生产实践中的应用
4.2内容简述 在实际生产和科学研究中，往往需要通过一定的试验，获得一些试验数据。对这些数据进 行科学分析或数学处理，可以帮助人们找出问题的症结及其相互关系，明确问题的内在规律， 从而寻求问题的解决方法。对于单影响因素的试验，可以采用0.618法、对分法、平行线法、 交替法、调优法等去解决，并在生产中都取得了显著的成效。但对于多影响因素问题，上述方 法就无能为力了，而正交试验正是解决多因素试验问题的有效方法。正交试验不仅能减少试验 次数，更为重要的是得到如下结论：(1)找出各因素对考核指标的影响规律（具体说就是，哪 些因素是主要的，哪些是次要的：哪些因素只起单独作用，哪些因素除了自己单独作用外，它 们之间还产生综合作用，这种综合作用的效果有多大：(2)综合作用是主要的还是因素的单独 作用是主要的)。选出各因素的一个水平来组成比较合适的生产条件（或称最优生产条件）
4.2 内容简述 在实际生产和科学研究中，往往需要通过一定的试验，获得一些试验数据。对这些数据进 行科学分析或数学处理，可以帮助人们找出问题的症结及其相互关系，明确问题的内在规律， 从而寻求问题的解决方法。对于单影响因素的试验，可以采用 0.618 法、对分法、平行线法、 交替法、调优法等去解决，并在生产中都取得了显著的成效。但对于多影响因素问题，上述方 法就无能为力了，而正交试验正是解决多因素试验问题的有效方法。正交试验不仅能减少试验 次数，更为重要的是得到如下结论：（1）找出各因素对考核指标的影响规律(具体说就是，哪 些因素是主要的，哪些是次要的；哪些因素只起单独作用，哪些因素除了自己单独作用外，它 们之间还产生综合作用，这种综合作用的效果有多大；（2）综合作用是主要的还是因素的单独 作用是主要的)。选出各因素的一个水平来组成比较合适的生产条件(或称最优生产条件)
4.2.1正交表 (1)正交表的正交性及其变换 在线性代数中，两个向量(a1,a,…,an)和(b1,b2,…,bn),如果其内积等于零，即 aib1+ab2+…+anbn=0 则称该二向量正交。 正交表的每一列可以看成是一个列向量，由于正交表中数字是表示因素水平的记号，而水 平记号用什么符号表示是无本质区别的，对于二水平正交表，我们可以把水平记号1、2分别 用一1和+1来代替。根据正交表的定义，任意两列构成的水平对是一个“完全有序对”，即 (一1，一1)，(-1，+1)，(+1，一1)，(+1，+1)重复的次数相同，则 入[(-1)×(-1)+(-1)×(+1)+(+1)×(-1)+(+1)×(+1)]=0 也就是说，二水平正交表任意两列是正交的。 推广到多于二水平的正交表，其任意两列构成的水平对是搭配均衡的，则称这两列是正交 的，这就是正交表名称的由来。 根据正交表的定义，首先，表的各列地位是平等的，因此各列位置可以置换：其次，用正 交表安排试验时，试验的次序可以是任意的，也就是说表的各行位置可以置换，再者，因素水 平的次序也可以任定，即同一列中水平记号可以置换。正交表的列间置换、行间置换和同一列 中水平记号的置换，称为正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的 (或同构的)。 (2)正交表的定义 设A是n×k矩阵，它的第j列元素由数字1,2,3，…，m所构成（或者为方便起见，也 可用别的符号来代替这些数字)，如果矩阵A的任意两列都搭配均衡，则称A是一个正交。其 中任意两列所构成的都是完全有序对，即(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)每对数字都出现两次。 因此矩阵A是一个正交表。 由正交表的定义可直接推出以下两个性质：每一列中各水平出现的次数相同。任意两列所 构成的水平对中，每个水平对重复出现的次数相同。 (3)正交表的种类 在多因素的正交试验中。常把正交表写成表格的形式，并在其左旁写上行号（试验号）， 在其上方写上列号（因素号）。此外还把这样的正交表简记为 Ln(miX m2x...mk) 式中L为正交表的代号，n表示这张正交表共有n行（安排n次试验），而ml×m2×… mk则表示次表有k列（最多安排k个因素），并且第j列的因素有mj个水平。 常见的水平数相同的正交表有 二水平正交表：L4(2),Lg(2),L122"),L16(25),L2),L64(23),L12s(22)等： 三水平正交表：L,(3,L2(35),L81(30,L24s(32)片 四水平正交表：L16(4),L64(42: 五水平正交表：L25(5),L125(53): 七水平正交表：L49(7)
4.2.1 正交表 （1）正交表的正交性及其变换 在线性代数中，两个向量(a1，a2，„，an)和(b1，b2，„，bn)，如果其内积等于零，即 a1b1＋a2b2＋„„＋anbn＝0 则称该二向量正交。 正交表的每一列可以看成是一个列向量，由于正交表中数字是表示因素水平的记号，而水 平记号用什么符号表示是无本质区别的，对于二水平正交表，我们可以把水平记号 1、2 分别 用－1 和＋1 来代替。根据正交表的定义，任意两列构成的水平对是一个“完全有序对”，即 (－1，－1)，(－1，＋1)，(＋1，－1)，(＋1，＋1)重复的次数相同，则 λ[(－1)×(－1)＋(－1)×(＋1)＋(＋1)×(－1)＋(＋1)×(＋1)]＝0 也就是说，二水平正交表任意两列是正交的。 推广到多于二水平的正交表，其任意两列构成的水平对是搭配均衡的，则称这两列是正交 的，这就是正交表名称的由来。 根据正交表的定义，首先，表的各列地位是平等的，因此各列位置可以置换；其次，用正 交表安排试验时，试验的次序可以是任意的，也就是说表的各行位置可以置换，再者，因素水 平的次序也可以任定，即同一列中水平记号可以置换。正交表的列间置换、行间置换和同一列 中水平记号的置换，称为正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的 (或同构的)。 （2）正交表的定义 设 A 是 n×k 矩阵，它的第 j 列元素由数字 1，2，3，„，mj所构成(或者为方便起见，也 可用别的符号来代替这些数字)，如果矩阵 A 的任意两列都搭配均衡，则称 A 是一个正交。其 中任意两列所构成的都是完全有序对，即(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)每对数字都出现两次。 因此矩阵 A 是一个正交表。 由正交表的定义可直接推出以下两个性质：每一列中各水平出现的次数相同。任意两列所 构成的水平对中，每个水平对重复出现的次数相同。 （3）正交表的种类 在多因素的正交试验中。常把正交表写成表格的形式，并在其左旁写上行号（试验号）， 在其上方写上列号（因素号）。此外还把这样的正交表简记为 Ln(m1×m2ׄmk) 式中 L 为正交表的代号，n 表示这张正交表共有 n 行（安排 n 次试验），而 m1×m2ׄ mk 则表示次表有 k 列（最多安排 k 个因素），并且第 j 列的因素有 mj 个水平。 常见的水平数相同的正交表有 二水平正交表：L4(23 )，L8(27 )，L12(211)，L16(215)，L32(231)，L64(263)，L128(2127)等； 三水平正交表：L9(34 )，L27(313)，L81(340)，L243(3121)； 四水平正交表：L16(45 )，L64(421)； 五水平正交表：L25(56 )，L125(531)； 七水平正交表：L49(78 )
4.2.2正交试验设计的直观分析 (1)普通正交表 正交试验设计的分析方法大致可分为两种：一种是直观分析法（或称极差分析法），另一种 是方差分析法（又称统计分析法）。这里介绍的是直观分析法，它简单易懂，实用性强，应用广 泛。 根据考察试验结果的指标数量多少，正交试验设计又可分为单指标试验设计（考察指标只 有一个)和多指标试验设计（考察指标数大于大于2）。 (2)混合型正交试验设计 在实际工作中，有些试验受到设备、原材料、生产条件的限制，考察中某些因素水平选择 受到限制，或在有的试验中，要重点考察某些因素而多取几个水平，这时就会遇到水平数不同 的正交试验设计。因此，采用水平数不相同（混合型）正交表来安排试验及分析结果是一种有效 的方法。 (3)考虑交互作用的正交试验设计 前面介绍的试验方案的设计或试验结果的分析方法，都是指因素没有（或不考虑）交互作用 的情况。实际上，在许多试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间还会联合搭配起来对 指标产生作用。因素对试验总效果是由每一个因素对试验的单独作用加上各个因素之间的搭配 作用决定，这种联合搭配作用叫做交互作用
4.2.2 正交试验设计的直观分析 （1）普通正交表 正交试验设计的分析方法大致可分为两种：一种是直观分析法(或称极差分析法)，另一种 是方差分析法(又称统计分析法)。这里介绍的是直观分析法，它简单易懂，实用性强，应用广 泛。 根据考察试验结果的指标数量多少，正交试验设计又可分为单指标试验设计(考察指标只 有一个)和多指标试验设计(考察指标数大于大于 2)。 （2）混合型正交试验设计 在实际工作中，有些试验受到设备、原材料、生产条件的限制，考察中某些因素水平选择 受到限制，或在有的试验中，要重点考察某些因素而多取几个水平，这时就会遇到水平数不同 的正交试验设计。因此，采用水平数不相同(混合型)正交表来安排试验及分析结果是一种有效 的方法。 （3）考虑交互作用的正交试验设计 前面介绍的试验方案的设计或试验结果的分析方法，都是指因素没有(或不考虑)交互作用 的情况。实际上，在许多试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间还会联合搭配起来对 指标产生作用。因素对试验总效果是由每一个因素对试验的单独作用加上各个因素之间的搭配 作用决定，这种联合搭配作用叫做交互作用
4.2.3正交试验的方差分析 简单地说，方差分析是把试验观测数据分解为各个影响因素的波动和误差波动，然后将它 们的平均波动进行比较。其中心点是把试验观测数据总的波动分解为反映因素水平变化引起的 波动和反映试验误差引起的波动两部分。前者是由于因素本身的离散性而存在的方差，简称为 产品方差，它是产品所固有的：后者是由于试验误差（也称残差）二引起的方差，简称为试验方 差，它是由试验中的随机因素所引起的。方差分析亦即把观测数据的总的偏差平方和(S)分解 为反映必然性的各个因素的偏差平方和(SA、SB、SN)与反映偶然性的误差偏差平方和(S), 并计算比较它们的平均偏差平方和，以找出对试验观测数据起决定性影响的因素（即显著性或 高度显著性因素)作为进行定量分析判断的依据。 前面讲过的直观分析法虽然简单明了，计算工作量少，便于普及推广，但它不能把试验过 程中试验条件改变所引起的数据波动与试验误差引起的数据波动区分开，同时对影响试验结果 的各因素的重要程度，不能给以精确的数量估计。而方差分析能够为分析提供一个标准，判断 各因素的作用是否显著，从而弥补了直观分析法的不足。 为了考察某个因素对指标的作用，必须将总误差分解为条件误差和试验误差，并比较之， 作出因素对指标的作用是否显著的结论。这种分析方法称为方差分析法。 由于试验过程中误差的影响，不能直接测得试验结果的真值，但可以用同一条件下试验结 果的平均值来代替真值，这样可近似反映出误差的大小。同时，对误差来说，它们的正负是没 有意义的。主要的是知道它们的绝对值在什么范围内波动，所以，取它们的差值的平方和就可 得到。 F值的大小，可以用来判断因素水平对考察指标影响的显著性。F值接近1，说明因素水 平改变对考察指标的影响在误差范围内，即水平间无显著差异；F值越大，说明因素水平的改 变对指标的影响，超过了试验误差造成的影响，即条件误差相对试验误差大得多
4.2.3 正交试验的方差分析 简单地说，方差分析是把试验观测数据分解为各个影响因素的波动和误差波动，然后将它 们的平均波动进行比较。其中心点是把试验观测数据总的波动分解为反映因素水平变化引起的 波动和反映试验误差引起的波动两部分。前者是由于因素本身的离散性而存在的方差，简称为 产品方差，它是产品所固有的；后者是由于试验误差(也称残差)二引起的方差，简称为试验方 差，它是由试验中的随机因素所引起的。方差分析亦即把观测数据的总的偏差平方和(ST)分解 为反映必然性的各个因素的偏差平方和(SA、SB、…SN)与反映偶然性的误差偏差平方和(Se)， 并计算比较它们的平均偏差平方和，以找出对试验观测数据起决定性影响的因素(即显著性或 高度显著性因素)作为进行定量分析判断的依据。 前面讲过的直观分析法虽然简单明了，计算工作量少，便于普及推广，但它不能把试验过 程中试验条件改变所引起的数据波动与试验误差引起的数据波动区分开，同时对影响试验结果 的各因素的重要程度，不能给以精确的数量估计。而方差分析能够为分析提供一个标准，判断 各因素的作用是否显著，从而弥补了直观分析法的不足。 为了考察某个因素对指标的作用，必须将总误差分解为条件误差和试验误差，并比较之， 作出因素对指标的作用是否显著的结论。这种分析方法称为方差分析法。 由于试验过程中误差的影响，不能直接测得试验结果的真值，但可以用同一条件下试验结 果的平均值来代替真值，这样可近似反映出误差的大小。同时，对误差来说，它们的正负是没 有意义的。主要的是知道它们的绝对值在什么范围内波动，所以，取它们的差值的平方和就可 得到。 F 值的大小，可以用来判断因素水平对考察指标影响的显著性。F 值接近 1，说明因素水 平改变对考察指标的影响在误差范围内，即水平间无显著差异；F 值越大，说明因素水平的改 变对指标的影响，超过了试验误差造成的影响，即条件误差相对试验误差大得多