含有自校正模型的加权多模型自适应控制

工程科学学报，第40卷，第11期：1389-1401,2018年11月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.11:1389-1401,November 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.11.013;http://journals.ustb.edu.cn 含有自校正模型的加权多模型自适应控制 张玉振，李擎四，张维存 北京科技大学自动化学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:liqing@ics.usth.cu.cm 摘要研究了含有大范围参数不确定性离散时间被控对象的加权多模型自适应控制问题（包括模型集构建和加权算法分 析).通过构建含有自校正模型和多个固定模型的模型集覆盖并逼近被控对象，在模型输出误差可分的前提下，采用基于模型 输出误差性能指标的加权算法，并依据固定模型中是否包含真实被控对象模型的不同情形分析加权算法的收敛性.在权值收 敛的前提下，利用虚拟等价系统理论，分析了参数未知线性时不变和参数跳变的情形，在不依赖于特定局部控制算法的基础 上，证明了此种模型集构建下的加权多模型自适应控制系统的稳定性和收敛性，放宽了先期加权多模型自适应控制系统稳定 性分析中关于模型集构建的约束条件.最终，通过计算机MATLAB仿真，验证了此类加权多模型自适应控制系统的收敛性和 闭环稳定性. 关键词离散系统：多模型自适应控制：加权算法：稳定性：收敛性 分类号TP301.6 Weighted multiple model adaptive control with self-tuning model ZHANG Yu-zhen,LI Qing,ZHANG Wei-cun School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:liqing@ies.ustb.edu.cn ABSTRACT The issues of model set construction and weighting algorithm analysis in multiple model adaptive control of discrete-time systems with large parameter uncertainty are considered in this paper.First,to improve system performance by reducing the calculation burden and relaxing the convergence conditions for the classical weighting algorithm,a new weighting algorithm is adopted,which is based on the model output errors of the multi-model adaptive control system with a self-tuning model.Second,the weighting algorithm convergence is analyzed in two cases:when the model set contains the true model of plant and it tends to the fixed model,and when the model set does not contain the true model of plant and it tends to the self-tuning model.Third,according to the virtual equivalent sys- tem (VES)concept and methodology,the stability of weighted multiple model adaptive control (WMMAC)with a self-tuning model is presented under a unified framework.The analysis procedures for linear time-invariant (LTI)and parameter jump plants are independ- ent of specific local control methods and weighting algorithm,which only require that each local controller stabilizes the corresponding local model,the output of the formed closed-loop system tracks the reference signal,and the weighting algorithm is convergent.The principal contributions of the paper are the analysis of global stability and the convergence of the overall system with a self-tuning mod- el.Compared with the stability results of WMMAC in the early stage,the constraint condition that the model set only has fixed models is relaxed,which can enlarge the application range of the stability results in theory.In addition,because of the introduction of a self- tuning controller,the control performance of the system is significantly improved when the real model of the plant is not included in the model set.Finally,computer simulation results verify the feasibility and effectiveness of the proposed method. KEY WORDS discrete-time system;multiple model adaptive control;weighting algorithm;stability;convergence 收稿日期：2017-11-07 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61520106010,61741302)

工程科学学报,第 40 卷,第 11 期:1389鄄鄄1401,2018 年 11 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 40, No. 11: 1389鄄鄄1401, November 2018 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2018. 11. 013; http: / / journals. ustb. edu. cn 含有自校正模型的加权多模型自适应控制 张玉振, 李 擎苣 , 张维存 北京科技大学自动化学院, 北京 100083 苣 通信作者, E鄄mail: liqing@ ies. ustb. edu. cn 摘 要 研究了含有大范围参数不确定性离散时间被控对象的加权多模型自适应控制问题(包括模型集构建和加权算法分 析). 通过构建含有自校正模型和多个固定模型的模型集覆盖并逼近被控对象,在模型输出误差可分的前提下,采用基于模型 输出误差性能指标的加权算法,并依据固定模型中是否包含真实被控对象模型的不同情形分析加权算法的收敛性. 在权值收 敛的前提下,利用虚拟等价系统理论,分析了参数未知线性时不变和参数跳变的情形,在不依赖于特定局部控制算法的基础 上,证明了此种模型集构建下的加权多模型自适应控制系统的稳定性和收敛性,放宽了先期加权多模型自适应控制系统稳定 性分析中关于模型集构建的约束条件. 最终,通过计算机 MATLAB 仿真,验证了此类加权多模型自适应控制系统的收敛性和 闭环稳定性. 关键词 离散系统; 多模型自适应控制; 加权算法; 稳定性; 收敛性 分类号 TP301郾 6 收稿日期: 2017鄄鄄11鄄鄄07 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(61520106010, 61741302) Weighted multiple model adaptive control with self鄄tuning model ZHANG Yu鄄zhen, LI Qing 苣 , ZHANG Wei鄄cun School of Automation and Electrical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣 Corresponding author, E鄄mail: liqing@ ies. ustb. edu. cn ABSTRACT The issues of model set construction and weighting algorithm analysis in multiple model adaptive control of discrete鄄time systems with large parameter uncertainty are considered in this paper. First, to improve system performance by reducing the calculation burden and relaxing the convergence conditions for the classical weighting algorithm, a new weighting algorithm is adopted, which is based on the model output errors of the multi鄄model adaptive control system with a self鄄tuning model. Second, the weighting algorithm convergence is analyzed in two cases: when the model set contains the true model of plant and it tends to the fixed model, and when the model set does not contain the true model of plant and it tends to the self鄄tuning model. Third, according to the virtual equivalent sys鄄 tem (VES) concept and methodology, the stability of weighted multiple model adaptive control (WMMAC) with a self鄄tuning model is presented under a unified framework. The analysis procedures for linear time鄄invariant (LTI) and parameter jump plants are independ鄄 ent of specific local control methods and weighting algorithm, which only require that each local controller stabilizes the corresponding local model, the output of the formed closed鄄loop system tracks the reference signal, and the weighting algorithm is convergent. The principal contributions of the paper are the analysis of global stability and the convergence of the overall system with a self鄄tuning mod鄄 el. Compared with the stability results of WMMAC in the early stage, the constraint condition that the model set only has fixed models is relaxed, which can enlarge the application range of the stability results in theory. In addition, because of the introduction of a self鄄 tuning controller, the control performance of the system is significantly improved when the real model of the plant is not included in the model set. Finally, computer simulation results verify the feasibility and effectiveness of the proposed method. KEY WORDS discrete鄄time system; multiple model adaptive control; weighting algorithm; stability; convergence

.1390. 工程科学学报，第40卷，第11期 近年来，带有大范围参数不确定性的动态系统 近些年，类似文献[32,34]等相关文献给出了基于 控制正在受到越来越多的关注.由于系统的参数存 虚拟等价系统理论的加权多模型自适应控制系统的 在大范围不确定性等因素，使得系统变化复杂.在 稳定性和收敛性证明.但是，其中的加权多模型自 这种背景下，用多模型来覆盖系统动态特性的多模 适应控制仅是针对模型集由固定模型构成且包含真 型自适应控制得到发展.基于选定的系统性能指 实对象模型的情形，并且其相应的稳定性分析也是 标，使得最合适的控制器来实时控制系统) 基于此情形而言，当模型集中不包含真实对象模型 多模型的思想最初于20世纪60年代由 时，该控制系统则难以满足控制要求 Mag2]提出并被应用于含不确定参数的随机系统 为了解决上述问题，本文在文献「32,34基础 的状态估计，即多模型自适应估计(multiple model 上，构建了含有自校正模型的加权多模型自适应控 adaptive estimation,MMAE).20世纪70年代由 制系统，并相应地给出了所采用的加权算法的收敛 Lainiotis等[3-)和Athans等s)提出多模型自适应控 性证明.之后，基于由固定模型和自校正模型所构 制(multiple model adaptive control,MMAC),是一种 成模型集的控制系统，在被控对象参数未知线性时 基于后验概率加权的多模型控制算法[6-].随后 不变和参数跳变的情形下，基于虚拟等价系统理论 Badr等将每个控制器采用二次型最优指标进行设 证明了控制系统的稳定性和收敛性，放宽了文献 计，构成加权多模型控制器[1].其在飞行器的控制 [32,34]加权多模型自适应控制系统稳定性分析中 中)和血流动力学变量的调节中-2]得到应用. 关于模型集仅为固定模型所组成的约束，扩大了保 Chaudhuri等Is]利用该方法控制电力系统中的低频 证加权多模型自适应控制系统稳定的理论应用 振荡的阻尼.之后，Narendra等[4-i6]提出切换多模 范围 型自适应控制，基本思想为离线构建多个固定模型 需要指出，鉴于大部分实际系统是通过计算机 来覆盖被控对象的不确定空间，另加自适应模型来 施加控制1,3]，故本文中针对离散系统进行阐述. 提高系统动态性能[)] 随着预测控制18】、鲁棒自适应控制[)、模糊 1被控系统描述 PD控制[20]等控制器设计的发展，采用加权多模型 考虑如下单输入单输出的不确定性离散时间随 方法与之结合的控制策略提高了系统的控制性能. 机被控对象P 近几年，文献[21-23]提出了可在控制器间实 A(z1)y(k)=z4B(z-1)u(k)+w(k)(1) 现平滑过渡的多模型自适应混合控制，依据被控对 其中，k=1,2,…为离散时间序号，且 象的参数估计值产生多个控制器的输出的加权值， A(z1)=1+a,21+a222+…+an2(2) 文献[24-25]把上述结果推广到离散时间系统.曹 B(z-1)=b。+b1z1+b2z-2+…+bn2"(3) 叙风等26-2]结合切换和混合控制的优点，进一步提 其中：u(k)为被控对象的输人变量，亦即控制器的 高系统的暂态性能.此外，为了减少模型集数量、充 分利用模型提供的系统信息，Han和Narendra28-2】 输出：y(k)为系统输出变量；系统结构参数n。≥1， 提出了多模型二阶段自适应方法(multiple models n6≥1；d为系统输出延迟且满足d≥1；z是d步后 with second level adaptation,MMSLA),这实际上是在 移算子，即z4y(k)=y(k-d);a1,…,an,bo,…,bs 参数估计的层面上引进了加权思想.同时，该方法 为系统参数；ω(k)为系统噪声，且满足 在高速列车0]和化工过程]等多个领域均有 Iw(i)‖2=R<∞ (4) i=1 应用. 其中，R为常数 相较于基于切换的多模型自适应控制来说，加 权多模型自适应控制(weighted multiple model adap- 注1：系统结构参数n。,ns和d均已知，且系统 tive control,WMMAC)可以看作是一种基于“软切 噪声为白噪声 换”的多模型控制系统[2].实际上，对于含有不确 同时，被控对象P也可以表述为如下形式 定参数的随机控制系统，都可以考虑应用该方 y(k)=p(k)0+w(k) (5) 法[32] 其中， 然而，因为采用了控制器加权和形式，使得尽管 p(k)=[-y(k-1),…,-y(k-n.), 经过几十年的理论和试验性研究，加权多模型自适 u(k-d),…,u(k-d-ns)] (6) 应控制系统的稳定性证明依然是非常困难的3]. 0=[a1,…,an.,bo,…,bn] (7)

工程科学学报,第 40 卷,第 11 期 近年来,带有大范围参数不确定性的动态系统 控制正在受到越来越多的关注. 由于系统的参数存 在大范围不确定性等因素,使得系统变化复杂. 在 这种背景下,用多模型来覆盖系统动态特性的多模 型自适应控制得到发展. 基于选定的系统性能指 标,使得最合适的控制器来实时控制系统[1] . 多模 型 的 思 想 最 初 于 20 世 纪 60 年 代 由 Magill [2]提出并被应用于含不确定参数的随机系统 的状态估计, 即多模型自适应估计(multiple model adaptive estimation, MMAE). 20 世 纪 70 年 代 由 Lainiotis 等[3鄄鄄4]和 Athans 等[5] 提出多模型自适应控 制(multiple model adaptive control, MMAC),是一种 基于后验概率加权的多模型控制算法[6鄄鄄9] . 随后 Badr 等将每个控制器采用二次型最优指标进行设 计,构成加权多模型控制器[10] . 其在飞行器的控制 中[5]和血流动力学变量的调节中[11鄄鄄12] 得到应用. Chaudhuri 等[13]利用该方法控制电力系统中的低频 振荡的阻尼. 之后,Narendra 等[14鄄鄄16] 提出切换多模 型自适应控制,基本思想为离线构建多个固定模型 来覆盖被控对象的不确定空间,另加自适应模型来 提高系统动态性能[17] . 随着预测控制[18] 、鲁棒自适应控制[19] 、模糊 PID 控制[20]等控制器设计的发展,采用加权多模型 方法与之结合的控制策略提高了系统的控制性能. 近几年,文献[21鄄鄄23]提出了可在控制器间实 现平滑过渡的多模型自适应混合控制,依据被控对 象的参数估计值产生多个控制器的输出的加权值, 文献[24鄄鄄25]把上述结果推广到离散时间系统. 曹 叙风等[26鄄鄄27]结合切换和混合控制的优点,进一步提 高系统的暂态性能. 此外,为了减少模型集数量、充 分利用模型提供的系统信息,Han 和 Narendra [28鄄鄄29] 提出了多模型二阶段自适应方法( multiple models with second level adaptation,MMSLA),这实际上是在 参数估计的层面上引进了加权思想. 同时,该方法 在高速 列 车[30] 和 化 工 过 程[31] 等 多 个 领 域 均 有 应用. 相较于基于切换的多模型自适应控制来说,加 权多模型自适应控制(weighted multiple model adap鄄 tive control, WMMAC) 可以看作是一种基于“软切 换冶的多模型控制系统[32] . 实际上,对于含有不确 定参数的随机控制系统, 都可以考虑应用该方 法[32] . 然而,因为采用了控制器加权和形式,使得尽管 经过几十年的理论和试验性研究,加权多模型自适 应控制系统的稳定性证明依然是非常困难的[33] . 近些年,类似文献[32,34] 等相关文献给出了基于 虚拟等价系统理论的加权多模型自适应控制系统的 稳定性和收敛性证明. 但是,其中的加权多模型自 适应控制仅是针对模型集由固定模型构成且包含真 实对象模型的情形,并且其相应的稳定性分析也是 基于此情形而言,当模型集中不包含真实对象模型 时,该控制系统则难以满足控制要求. 为了解决上述问题,本文在文献[32,34] 基础 上,构建了含有自校正模型的加权多模型自适应控 制系统,并相应地给出了所采用的加权算法的收敛 性证明. 之后,基于由固定模型和自校正模型所构 成模型集的控制系统,在被控对象参数未知线性时 不变和参数跳变的情形下,基于虚拟等价系统理论 证明了控制系统的稳定性和收敛性,放宽了文献 [32,34]加权多模型自适应控制系统稳定性分析中 关于模型集仅为固定模型所组成的约束,扩大了保 证加权多模型自适应控制系统稳定的理论应用 范围. 需要指出,鉴于大部分实际系统是通过计算机 施加控制[1,34] ,故本文中针对离散系统进行阐述. 1 被控系统描述 考虑如下单输入单输出的不确定性离散时间随 机被控对象 P A(z - 1 )y(k) = z - dB(z - 1 )u(k) + 棕(k) (1) 其中,k = 1,2,…为离散时间序号,且 A(z - 1 ) = 1 + a1 z - 1 + a2 z - 2 + … + ana z - na (2) B(z - 1 ) = b0 + b1 z - 1 + b2 z - 2 + … + bnb z - n b (3) 其中:u(k)为被控对象的输入变量,亦即控制器的 输出;y(k)为系统输出变量;系统结构参数 na逸1, nb逸1;d 为系统输出延迟且满足 d逸1;z - d是 d 步后 移算子,即 z - d y(k) = y(k - d);a1 ,…,ana ,b0 ,…,bnb 为系统参数;棕(k)为系统噪声,且满足 lim k寅肄 1 k 移 k i = 1 椰棕(i)椰2 = R < 肄 (4) 其中,R 为常数. 注 1:系统结构参数 na ,nb 和 d 均已知,且系统 噪声为白噪声. 同时,被控对象 P 也可以表述为如下形式 y(k) = 渍 T (k)兹 + 棕(k) (5) 其中, 渍(k) = [ - y(k - 1),…, - y(k - na ), u(k - d),…,u(k - d - nb)] (6) 兹 = [a1 ,…,ana ,b0 ,…,bnb ] (7) ·1390·

张玉振等：含有自校正模型的加权多模型自适应控制 ·1391· 2 含有自校正模型的WMMAC 定的被控对象：控制器集C={C:,i=1,2,…,n或 6}是由正整数n个与固定的局部模型相对应的局部 M={M,i=1,2,…,n或8}是系统的模型集， 控制器C:,i=1,…,n以及与自校正模型相对应的 由正整数n个固定模型Mi=1,2,…,n和1个自 局部控制器C:,i=δ即Cs构成；P:(k),i=1,…,n或 校正模型M,i=δ，即M。构成.针对每一个局部模 δ是局部控制器的权重，实际上代表对被控对象的 型分别设计具有一定鲁棒性的局部控制器，构成局 “辨识”[.根据性能指标可以得出各权重值，然后 部控制器集.对于每个固定模型的控制器设计，文 通过加权和可以给出控制器的输出u(k) 献[35]提出了μ综合的方法.实际上，多模型自适2.2加权算法 应控制中的局部控制器可以采用任何可行的具有一 对于每个局部模型，当然包括其中的自校正模 定鲁棒性的控制策略.为了控制系统的简单易实 型，各模型输出ym(k),i=1,2,…,n或8用于定义 现，本文中对n个固定模型M,i=1,2,…,n分别采 输出误差，即 用极点配置的方法设计其局部控制器，具体过程不 ei(k)=y(k)-y(k) (10) 做赘述 以其为基础计算局部控制器的对应权值.正如 2.1极点配置间接自校正控制 图1所示，控制器输出可表述如下 针对自校正模型M。可以采用极点配置间接自 P:(k)u:(k)+Ps(k)s(k)(11) 校正控制，则参数估计可采用递推最小二乘法[6] 即 其中，u,(k),i=1,…,n为固定模型控制器输出； (k)=0(k-1)+K(k)[y(k)-e'(k)0(k-1)] us(k)为自校正控制器输出. 本文基于文献[34,38]中加权算法给出如下算 =1+e品ee西 H(k-1)(k) 法，具体为式(12)~(16)： H(k)=[I-K(k)e(k)]H(k-1) 初始化设置.在加权算法初始时，各局部控制 (8) 器的权值P:(0)以及权值计算指标L,(0)初值均相 式中 等，i=1,…,n或6，即 p(k)=[-y(k-1),…,-y(k-na), P:(0)=4,(0)=1 (12) n+1 u(k-d),…,u(k-d-ns)] 9 计算误差性能指标(k),i=1,…,n或8.误差 ak)=[a1,…,an,6o,…,6]r 性能指标需根据实际应用的控制要求进行设计，本 且($)表示参数(*)的估计值.在启动上述递推 文中为 k 公式时，需确定初值H(0),0(0).取法如下： (k)=a+本名 +1∑e.)2 (13) H(0)=a·I,式中，a为充分大的正实数(10~ 100)[36],本文后续仿真中取为10；1为n。+n。+1 式中，α>0，取值为较小的常数，本文后续仿真中取 维单位矩阵：(0)取为固定模型系统参数的均值. 为0.001，从而避免(k)=0的情况出现. 为了更加清晰地分析系统，图1给出了离散时 误差性能指标的比较.从各局部控制器对应的 间的加权多模型控制系统的简化框图，其中的局部 误差性能指标中选取最小值(k) 控制器和加权算法的详细内容已略去. n(k)=minl(k),i=1,…,n或8(14) 计算权值计算指标l,(k),i=1,…,n或8.依据 当前误差性能指标，通过与上一时刻权值计算指标 的迭代相乘，得到当前时刻权值计算指标，即 4()=(, (4(k-1) (15) P 计算局部控制器对应的权值.根据权值计算指 标所对应的比重得到各局部控制器所对应的权 图1加权多模型自适应控制系统结构图 值，即 Fig.1 Block diagram of a general WMMAC structure P:(k)= L(k) (16) 图1中，y,(k)为系统参考输入；P是含有不确 ()+() j=1

张玉振等: 含有自校正模型的加权多模型自适应控制 2 含有自校正模型的 WMMAC M = {Mi,i = 1,2,…,n 或 啄}是系统的模型集, 由正整数 n 个固定模型 Mi,i = 1,2,…,n 和 1 个自 校正模型 Mi,i = 啄,即 M啄 构成. 针对每一个局部模 型分别设计具有一定鲁棒性的局部控制器,构成局 部控制器集. 对于每个固定模型的控制器设计,文 献[35]提出了 滋 综合的方法. 实际上,多模型自适 应控制中的局部控制器可以采用任何可行的具有一 定鲁棒性的控制策略. 为了控制系统的简单易实 现,本文中对 n 个固定模型 Mi,i = 1,2,…,n 分别采 用极点配置的方法设计其局部控制器,具体过程不 做赘述. 2郾 1 极点配置间接自校正控制 针对自校正模型 M啄 可以采用极点配置间接自 校正控制,则参数估计可采用递推最小二乘法[36] , 即 ^ 兹(k) = ^ 兹(k - 1) + K(k)[y(k) - 渍 T (k) ^ 兹(k - 1)] K(k) = H(k - 1)渍(k) 1 + 渍 T (k)H(k - 1)渍(k) H(k) = [I - K(k)渍 T (k)]H(k - 1 ì î í ï ï ï ï ) (8) 式中 渍(k) = [ - y(k - 1),…, - y(k - na ), u(k - d),…,u(k - d - nb)] ^ 兹(k) = [a^ 1 ,…,a^ na , ^ b0 ,…, ^ bnb ] ì î í ïï ïï T (9) 且(*^ )表示参数(*)的估计值. 在启动上述递推 公式时, 需 确 定 初 值 H ( 0 ), ^ 兹 ( 0 ). 取 法 如 下: H(0) = a·I, 式中, a 为充分大的正实数 ( 10 4 ~ 10 10 ) [36] ,本文后续仿真中取为 10 6 ;I 为 na + nb + 1 维单位矩阵; ^ 兹(0)取为固定模型系统参数的均值. 为了更加清晰地分析系统,图 1 给出了离散时 间的加权多模型控制系统的简化框图,其中的局部 控制器和加权算法的详细内容已略去. 图 1 加权多模型自适应控制系统结构图 Fig. 1 Block diagram of a general WMMAC structure 图 1 中,yr ( k)为系统参考输入;P 是含有不确 定的被控对象;控制器集 C = {Ci,i = 1,2,…,n 或 啄}是由正整数 n 个与固定的局部模型相对应的局部 控制器 Ci,i = 1,…,n 以及与自校正模型相对应的 局部控制器 Ci,i = 啄 即 C啄 构成;pi(k),i = 1,…,n 或 啄 是局部控制器的权重,实际上代表对被控对象的 “辨识冶 [37] . 根据性能指标可以得出各权重值,然后 通过加权和可以给出控制器的输出 u(k). 2郾 2 加权算法 对于每个局部模型,当然包括其中的自校正模 型,各模型输出 ymi(k),i = 1,2,…,n 或 啄 用于定义 输出误差,即 ei(k) = y(k) - ymi(k) (10) 以其为基础计算局部控制器的对应权值. 正如 图 1 所示,控制器输出可表述如下 u(k) = 移 n i = 1 pi(k)ui(k) + p啄(k)u啄(k) (11) 其中,ui ( k),i = 1,…,n 为固定模型控制器输出; u啄(k)为自校正控制器输出. 本文基于文献[34, 38]中加权算法给出如下算 法,具体为式(12) ~ (16): 初始化设置. 在加权算法初始时,各局部控制 器的权值 pi (0)以及权值计算指标 l i (0)初值均相 等,i = 1,…,n 或 啄,即 pi(0) = l i(0) = 1 n + 1 (12) 计算误差性能指标 l忆i(k),i = 1,…,n 或 啄. 误差 性能指标需根据实际应用的控制要求进行设计,本 文中为 l忆i(k) = 琢 + 1 k 移 k j = 1 ei(j) 2 (13) 式中,琢 > 0,取值为较小的常数,本文后续仿真中取 为 0郾 001,从而避免 l忆i(k) = 0 的情况出现. 误差性能指标的比较. 从各局部控制器对应的 误差性能指标中选取最小值 l忆min (k) l忆min (k) = minl忆i(k),i = 1,…,n 或 啄 (14) 计算权值计算指标 l i(k),i = 1,…,n 或 啄. 依据 当前误差性能指标,通过与上一时刻权值计算指标 的迭代相乘,得到当前时刻权值计算指标,即 l i(k) = l忆min (k) l忆i(k) l i(k - 1) (15) 计算局部控制器对应的权值. 根据权值计算指 标所对应的比重得到各局部控制器所对应的权 值,即 pi(k) = l i(k) 移 n j = 1 l j(k) + l 啄(k) (16) ·1391·

.1392 工程科学学报，第40卷，第11期 本文中加权算法直接依据模型的在线“表现” M。初值非真实对象参数值的情形，易知 计算权值，在每一次计算时，都强制将各模型的输出 误差指标分出大小，以利于权值收敛 吉豆)% (19) 2.3加权算法的实现 其中，r=1,2,…,「6故而在r6<k的前提下可得， 在加权算法中，被选定的模型依概率收敛到1， 同时，其他的将收敛至0.当被控对象的参数发生跳 言)s三 e(r)+rR(20) 变时，该算法须能依据误差性能指标继续计算，得到 则有R<R,ij,j≠8 新权值.而上述算法使得局部模型收敛到0后难以 考虑固定模型中包含真实对象模型，即为M, 满足要求.为此，可以通过限定权值收敛的阈值，确 M。初值为真实对象参数值的情形，由在线估计参数 保未被选定模型的权值不为零，从而能够重新收敛 的性质易知 根据式(15)和(16)可知，各局部控制器的权值 (21) 在0和1之间，其中l:(k)由累乘得出.故，保证各 (r) 局部控制器对应的权值p:(k),i=1,…,n或8均不 则有R<R,i≠j,j≠6. 小于0.001，需要限定条件：当P:(k)<0.001时， 由式(14)可得到 l,(k)=0.001· ∑l,(h),其中i=1,,n或8 智出 Vrin(k) <1,i=1,2,…,n或6，i≠jj≠8 3主要结论及分析 (22) 其中，(k)为模型M对应的误差性能指标. 3.1加权算法收敛性证明 因系统输出延迟d步，导致前d步输出误差不 在含有自校正模型的加权多模型自适应控制系 可区分.故有式(22)中，k≥d+1,i≠j,j≠8. 统中，关于加权算法的收敛性，有以下定理. 由式(13)、(14)和(17)知 定理1假设满足如下情形：模型集M={M,i (k) =1,2,…,n或6}中M是固定模型中与真实对象相 上mgk) <1,i≠jj≠8 (23) 同的一个（固定模型中包含真实对象模型），或者为 综合式(15)、(22)和(23)可以得到 自校正模型M。,即M,=Ms,(固定模型中不包含真 liml,(k)=l,(d+1);liml,(k)=0,i≠j,j≠δ 实对象模型)，则依概率1有 (24) 进而由式(16)得 limp,(k)=1:liml,(k)=0,i≠jJ≠8(25) (17) 考虑固定模型中不包含真实对象模型，自校正 m1∑e(r）=R: 模型经有限步T。辨识到系统参数后，M=M。的情 lim k台 形，易得 其中，k≥d+1,i≠j,e,(r)为模型M的输出误差，r= 1,2,…,k,d为系统输出延迟，R为常数或为无穷 上（八衡 大，R<R为常数.则式(12)~(16)给出的加权算 与上述同理，可得到 法依概率1收敛，即Iimp,(k)=l;limp:(k)=0,i≠方 0<limla(k)s(d+1);liml,(k)=0 (27) 证明首先根据加权算法中局部模型的输出误 其中，lim-mls(k)=ls(d+rs),i≠δ. 差，见式(10)，可以实时得到各模型的输出误差指 由式(16)得 标.由Ms经有限步rs(r6为正整数)辨识出系统参 limps((k)=1;liml,(k)=0,i≠δ (28) 数模型，则可给出辨识过程前6步的均方误差， 此时Ps(k)亦为p(k). 2do-k 综上，加权算法收敛性得证 (18) 注2文献[32,34]中加权算法及其收敛性分 其中，e(r)为自校正模型前r。步辨识过程中的输出 析是基于模型集，仅由固定模型构成，本文针对含有 误差，r=1,2,…,6,R为常数. 自校正模型的多模型情形给出了加权算法的收敛性 考虑固定模型中包含真实对象模型，即为M, 分析

工程科学学报,第 40 卷,第 11 期 本文中加权算法直接依据模型的在线“表现冶 计算权值,在每一次计算时,都强制将各模型的输出 误差指标分出大小,以利于权值收敛. 2郾 3 加权算法的实现 在加权算法中,被选定的模型依概率收敛到 1, 同时,其他的将收敛至 0. 当被控对象的参数发生跳 变时,该算法须能依据误差性能指标继续计算,得到 新权值. 而上述算法使得局部模型收敛到 0 后难以 满足要求. 为此,可以通过限定权值收敛的阈值,确 保未被选定模型的权值不为零,从而能够重新收敛. 根据式(15)和(16)可知,各局部控制器的权值 在 0 和 1 之间,其中 l i ( k)由累乘得出. 故,保证各 局部控制器对应的权值 pi(k),i = 1,…,n 或 啄 均不 小于 0郾 001,需要限定条件:当 pi ( k) < 0郾 001 时, l i(k) = 0郾 001·移 n+1 i = 1 l i(k),其中 i = 1,…,n 或 啄. 3 主要结论及分析 3郾 1 加权算法收敛性证明 在含有自校正模型的加权多模型自适应控制系 统中,关于加权算法的收敛性,有以下定理. 定理 1 假设满足如下情形:模型集 M = {Mi,i = 1,2,…,n 或 啄}中 Mj 是固定模型中与真实对象相 同的一个(固定模型中包含真实对象模型),或者为 自校正模型 M啄,即 Mj = M啄,(固定模型中不包含真 实对象模型),则依概率 1 有 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) = Rj lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) = R ì î í ï ï ïï ï ï ïï i (17) 其中,k逸d + 1,i屹j,ej(r)为模型 Mj 的输出误差,r = 1,2,…,k,d 为系统输出延迟,Ri 为常数或为无穷 大,Rj < Ri 为常数. 则式(12) ~ (16)给出的加权算 法依概率 1 收敛,即lim k寅肄 pj(k) = 1;lim k寅肄 pi(k) = 0,i屹j. 证明 首先根据加权算法中局部模型的输出误 差,见式(10),可以实时得到各模型的输出误差指 标. 由 M啄 经有限步 r啄(r啄 为正整数)辨识出系统参 数模型,则可给出辨识过程前 r啄 步的均方误差, 1 r啄 移 r啄 r = 1 e 2 啄(r) = R啄 (18) 其中,e啄(r)为自校正模型前 r啄 步辨识过程中的输出 误差,r = 1,2,…,r啄,R啄 为常数. 考虑固定模型中包含真实对象模型,即为 Mj, M啄 初值非真实对象参数值的情形,易知 1 r啄 移 r啄 r = 1 e 2 j (r) < R啄 (19) 其中,r = 1,2,…,r啄 . 故而在 r啄 < k 的前提下可得, 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 [ k 移 k r = r啄+1 e 2 啄(r) + r啄·R啄 ] (20) 则有 Rj < Ri,i屹j,j屹啄. 考虑固定模型中包含真实对象模型,即为 Mj, M啄 初值为真实对象参数值的情形,由在线估计参数 的性质易知 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 k 移 k r = 1 e 2 啄(r) (21) 则有 Rj < Ri,i屹j,j屹啄. 由式(14)可得到 l忆min (k) l忆j(k) = 1; l忆min (k) l忆i(k) < 1,i = 1,2,…,n 或 啄,i屹j,j屹啄 (22) 其中,l忆j(k)为模型 Mj 对应的误差性能指标. 因系统输出延迟 d 步,导致前 d 步输出误差不 可区分. 故有式(22)中,k逸d + 1,i屹j,j屹啄. 由式(13)、(14)和(17)知 lim k寅肄 l忆min (k) l忆i(k) < 1,i屹j,j屹啄 (23) 综合式(15)、(22)和(23)可以得到 lim k寅肄 l j(k) = l j(d + 1);lim k寅肄 l i(k) = 0,i屹j,j屹啄 (24) 进而由式(16)得 lim k寅肄 pj(k) = 1;lim k寅肄 l i(k) = 0,i屹j,j屹啄 (25) 考虑固定模型中不包含真实对象模型,自校正 模型经有限步 r啄 辨识到系统参数后,Mj = M啄 的情 形,易得 1 [ k 移 k r = r啄+1 e 2 啄(r) + r啄·R啄 ] < 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) (26) 与上述同理,可得到 0 < lim k寅肄 l 啄(k)臆l 啄(d + 1);lim k寅肄 l i(k) = 0 (27) 其中,limk寅肄 l 啄(k) = l 啄(d + r啄),i屹啄. 由式(16)得 lim k寅肄 p啄(k) = 1;lim k寅肄 l i(k) = 0,i屹啄 (28) 此时 p啄(k)亦为 pj(k). 综上,加权算法收敛性得证. 注 2 文献[32,34]中加权算法及其收敛性分 析是基于模型集,仅由固定模型构成,本文针对含有 自校正模型的多模型情形给出了加权算法的收敛性 分析. ·1392·

张玉振等：含有自校正模型的加权多模型自适应控制 ·1393· 注3本文中讨论的多模型自适应控制稳定性 指的是加权多模型自适应控制系统的输入输出信号 有界，多模型自适应控制收敛性是输入输出信号收 敛至相应的非自适应控制系统的输人输出信号[2]. 3.2参数未知线性时不变对象的加权多模型自适 图2线性时不变对象的WMMAC虚拟等价系统I 应控制 Fig.2 Virtual equivalent system-I for WMMAC-LTI plant 定理2若满足 (1)每个固定参数的局部控制器与模型集中的 对应模型构成稳定的闭环系统，且跟踪参考输入 信号； (2)自校正模型所对应的自校正控制系统稳定 图3虚拟等价系统I(图2)的分解子系统a 且收敛； Fig.3 Decomposed subsystem a of the virtual equivalent system-I (3)模型输出误差可分，即依概率1有 (Fig.2) △u( (29 0☒ 四套0=R 图4虚拟等价系统I(图2)的分解子系统b Fig.4 Decomposed subsystem b of the virtual equivalent system-I 其中，k≥d+1,i≠j,d为系统输出延迟，R,为常数或 Fig.2) 为无穷大，R<R:为常数 易知 则加权多模型自适应控制系统稳定且收敛 u(k)=u'(k)+u"(k) (31) 注4关于定理2中的条件(1)，由于本文中加 y(k)=y'(k)+y"(k) (32) 权多模型自适应控制策略不依赖于特定局部控制算 其中，w'(k)、y'(k)和"(k)、y"(k)分别为子系统a 法而设计，只需保证由局部模型及相应局部控制器 和b中被控对象P的输入和输出.由定理条件(1) 构成的系统是闭环稳定的，其模型集中每个固定模 和系统闭环特征多项式可知，虚拟等价系统I的分 型都为参数已知的线性时不变系统模型，故假设对 解子系统皆为闭环稳定系统.分解子系统b中 于每个固定模型在控制理论中都可设计控制器来确 △u(k)为 保其闭环系统稳定且跟踪参考输入信号：定理2中 △u(k)=u(k)-4(k)=[P(k)-1]u(k)+ 的条件(2)，即随机自校正控制系统的稳定性问题， 可根据文献[39]中定理3的相关条件保证成立. 立n()4,()+p()w,)(33） i=lir 证明考虑模型集中的固定模型包含真实对象 其中，山(k)为固定局部控制器C的输出.考虑到局 模型M。的情形，根据定理1知，该固定模型M 部控制率u:(k)=p(k)0。中0是局部控制器的参 (M=M)对应的权值收敛于1，即 数向量，(k)是计算局部控制器输出的回归向量， limp()=1;limp:(k)=0, 一般表达形式为9.(k)=[y(k),y(k-1),…, i≠j,j≠8，i=1,…,n或8 (30) u(k-1),…,y,（k),…].进而可以得出△u(k)= 分析模型集中的固定模型包含真实被控对象的 o(I9(k)I). 情形，通过权值收敛情况易知，控制系统在权值收敛 可以知道上述情形中自校正模型和算法收敛过 后等效为固定局部控制器C:控制定常系统模型 程对系统的影响被记入△u(k)中，根据文献[34]中 M·因此根据虚拟等价系统理论[34]，给出此种情形 定理4.1，结合本定理条件(1)和(3)，可证得模型 下的线性时不变对象的WMMAC虚拟等价系统I, 集中固定模型包含真实模型时，控制系统稳定且 如图2所示.更进一步地，为后文能清晰地证明控 收敛. 制系统的稳定性，可将WMMAC虚拟等价系统I分 现考虑模型集中固定模型不包含真实模型的情 解为子系统a(“理想系统”)和子系统b分别予以分 形，同样根据定理1可知，自校正模型M。对应的权 析，分解后的系统框图分别见图3和图4. 值收敛于1，即

张玉振等: 含有自校正模型的加权多模型自适应控制 注 3 本文中讨论的多模型自适应控制稳定性 指的是加权多模型自适应控制系统的输入输出信号 有界,多模型自适应控制收敛性是输入输出信号收 敛至相应的非自适应控制系统的输入输出信号[32] . 3郾 2 参数未知线性时不变对象的加权多模型自适 应控制 定理 2 若满足 (1) 每个固定参数的局部控制器与模型集中的 对应模型构成稳定的闭环系统,且跟踪参考输入 信号; (2) 自校正模型所对应的自校正控制系统稳定 且收敛; (3) 模型输出误差可分,即依概率 1 有 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) < 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 j (r) = Rj lim k寅肄 1 k 移 k r = 1 e 2 i (r) = R ì î í ï ï ïï ï ï ïï i (29) 其中,k逸d + 1,i屹j,d 为系统输出延迟,Ri 为常数或 为无穷大,Rj < Ri 为常数. 则加权多模型自适应控制系统稳定且收敛. 注 4 关于定理 2 中的条件(1),由于本文中加 权多模型自适应控制策略不依赖于特定局部控制算 法而设计,只需保证由局部模型及相应局部控制器 构成的系统是闭环稳定的,其模型集中每个固定模 型都为参数已知的线性时不变系统模型,故假设对 于每个固定模型在控制理论中都可设计控制器来确 保其闭环系统稳定且跟踪参考输入信号;定理 2 中 的条件(2),即随机自校正控制系统的稳定性问题, 可根据文献[39]中定理 3 的相关条件保证成立. 证明 考虑模型集中的固定模型包含真实对象 模型 Mv 的情形,根据定理 1 知, 该固定模型 Mj (Mj = Mv)对应的权值收敛于 1,即 lim k寅肄 pj(k) = 1;lim k寅肄 pi(k) = 0, i屹j,j屹啄,i = 1,…,n 或 啄 (30) 分析模型集中的固定模型包含真实被控对象的 情形,通过权值收敛情况易知,控制系统在权值收敛 后等效为固定局部控制器 Cj 控制定常系统模型 Mj . 因此根据虚拟等价系统理论[34] ,给出此种情形 下的线性时不变对象的 WMMAC 虚拟等价系统玉, 如图 2 所示. 更进一步地,为后文能清晰地证明控 制系统的稳定性,可将 WMMAC 虚拟等价系统玉分 解为子系统 a(“理想系统冶)和子系统 b 分别予以分 析,分解后的系统框图分别见图 3 和图 4. 图 2 线性时不变对象的 WMMAC 虚拟等价系统玉 Fig. 2 Virtual equivalent system鄄玉 for WMMAC鄄LTI plant 图 3 虚拟等价系统玉(图 2)的分解子系统 a Fig. 3 Decomposed subsystem a of the virtual equivalent system鄄玉 (Fig. 2) 图 4 虚拟等价系统玉(图 2)的分解子系统 b Fig. 4 Decomposed subsystem b of the virtual equivalent system鄄玉 (Fig. 2) 易知 u(k) = u忆(k) + u义(k) (31) y(k) = y忆(k) + y义(k) (32) 其中,u忆(k)、y忆(k)和 u义( k)、y义( k)分别为子系统 a 和 b 中被控对象 P 的输入和输出. 由定理条件(1) 和系统闭环特征多项式可知,虚拟等价系统玉的分 解子系统皆为闭环稳定系统. 分解子系统 b 中 驻u(k)为 驻u(k) = u(k) - uj(k) = [pj(k) - 1]·uj(k) + 移 n i = 1,i屹j pi(k)·ui(k) + p啄(k)·u啄(k) (33) 其中,uj(k)为固定局部控制器 Cj 的输出. 考虑到局 部控制率 ui(k) = 渍 T c (k)兹ci中 兹ci是局部控制器的参 数向量,渍c(k)是计算局部控制器输出的回归向量, 一般表达形式为 渍c ( k) = [ y ( k), y ( k - 1 ),…, u(k - 1),…,yr ( k),…]. 进而可以得出驻u(k) = o(椰渍c(k)椰). 可以知道上述情形中自校正模型和算法收敛过 程对系统的影响被记入 驻u(k)中,根据文献[34]中 定理 4郾 1,结合本定理条件(1) 和(3),可证得模型 集中固定模型包含真实模型时,控制系统稳定且 收敛. 现考虑模型集中固定模型不包含真实模型的情 形,同样根据定理 1 可知,自校正模型 M啄 对应的权 值收敛于 1,即 ·1393·