量子力学-群论与量子力学-分子波函数的对称性分类

2.不可约表示基函数的正交性2）定理：设°与β是分属于点群G的不可约表示I和I,的基函数，则I=J(）adt α,→相互正交证明：根据群表示基函数的定义Rp=Eb-,(R)ae Pg, Rp =E-I,(R)ee PpRI =[ R (ga) dt=[ R(ga) R(g)dtZ-(R) () Z%,(R) °% dtE"-Z=)(R)e,(R)e J() pdt

2.不可约表示基函数的正交性 ( ) ' * ' ' ' ' 2) G i j i j jj i j ij I d              →   =   定理：设 与 是分属于点群 的不可约表示 和 的基函数，则 相互正交 证明：根据群表示基函数的定义， 1 ' 1 ( ) ' ' ( ) ' ' , i j l l i i j j R R R R       i j        = = =  =    ( ) ( ) ( ) * * ' ' ' ij i j i j RI R d R R d              = =       ( ) ( ) ( ) * * ' 1 ' 1 ' ' i j l l i j i j R R d           = =     =              ( ) ( ) ( ) * * ' 1 ' 1 ' ' i j l l i j i j R R d           = =   =          

(证明续)RI =E"-Z-)(R),(R)g J(ge) gdt对群的所有R求和，利用广义正交定理，得到Z,RIa =-E"-E%-,F(R),(R)ge /-() ndth-ZZ-(op)opdtOaapp贝Z(a)ed hs.SYO另一方面，Ia是个数值，故RI=I,Z,RIa=hlaaZm () 0pd→得证lij8.8aaaa

对群的所有R求和，利用广义正交定理，得到 ( ) ( ) ( ) * * ' ' 1 ' 1 ' ' i j l l ij i j RI R R d      i j       = =   =           (证明续 )  ( ) ( ) ( )  * * ' ' 1 ' 1 ' ' i j l l ij i j R R RI R R d      i j       = =   =             ( ) * ' ' ' 1 ' 1 i j l l i j ij i j h d l l             = =       =                 ( ) * ' 1 1 i l i i ij i h d l          =   =       ' ' ' = , ij ij ij R I RI I RI hI 另一方面，    是个数值，故  = ( ) * ' ' 1 1 i l ij i i ij i I d l           =    =  →       得证