输入输出维数不等的多变量系统自校正控制器

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1985.03.021 北京钢铁学院学报 1985年第3期 输人输出维数不等的多变量系统 自校正控制器 自动控制数研宝 尹怡欣舒迪前 摘 要 本文讨论了输入输出维数不等的线性多变量系统自校正控制器的设计方法。 采用了对输出跟踪偏差量和控制输入量进行约束的二次型性能指标，最优控制律 将使这一性能指标取最小值。将最优控制律所满足的方程和辅助系统输出的最优 预报器有机地结合起来，得到适用于参数估计的方程，进而得到了自校正控制器 结构。应用这一控制器所得到的闭环系统，可以跟踪时变的参考信号，并且适用 于开环不稳定系统。 一、前 言 自从Astrom1)1973年首先提出单变量线性系统的自校正调节器(STR)以来，自校正 控制技术作为自适应控制的一个重要分支，获得了十分迅速的发展。从理论上，Clarke等 人提出了可以适用于非最小相位系统，并且可以跟踪时变参考信号的自校正控制器(2)。另 外还有一些作者也分别提出了极点配置，PID等各种形式的自校正控制算法。Borisson(3) 和Koivo(4则分别对多变量线性系统的STR和STC作了一些工作。Keviczky(5)和陈翰 馥c6)等人也各自提出了多变量系统的自校正控制算法。STR和STC在许多工业部门得到 了应用，如造纸机、混凝土搅拌机、油轮驾驶仪、精苯分馏塔、电加热炉等。 然而，多数文献都是针对输人输出维数相等的系统讨论的。但是，在实际工业过程中 还存在者更一般的、输入输出维数不等的系统。因此，针对这类情况，讨论自校正控制器 的应用是有着一定实际价值的。本文试图在这方面作一些探讨。 二、辅助输出的预报器结构 设线性离散时间多变量系统由下面的向量差分方程来描述： A(Z-1)y(k)=Z-B(Z-1)u(k)+C(Z-1)(k) (1) 78

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年 第 期 输入输出维数不等的多变量系统 自校正控制器 自动 控 制教研 室 尹 怡欣 舒迪 前 摘 要 本文 讨论 了输 入输 出维 数不 等 的 线 性 多变 量 系统 自校 正 控 制 器 的设 计方 法 。 米 用 了对输 出跟 踪 偏 差 量 和 控 制输 入 量 进行 约末 的 二 次型性 能指 标 ， 最 优 控制律 将 使这一 性 能指 标取 最 小 值 。 将 最 优 控 制 律所 满足 的 方 程 和 辅 助 系统 输 出的 最 优 预 报器 有机 地结 合 起 来 ， 得 到适 用 于 参 数估 计 的方 程 ， 进 而 得 到 了 自校 正 控 制器 结构 。 应 用 这 一 控 制器 所得 到 的闭环 系统 ， 可 以 跟踪 时变 的 参考信 号 ， 并且 适用 于 开环 不 稳定 系统 。 一 、 前 言 自从 〔 ‘ 〕 年首先提 出单 变量线 性 系统 的 自校正调 节器 以来 ， 自校正 控制 技术作为 自适 应控制 的一 个重要分支 ，获 得 了十分迅 速的发展 。 从理论上 ， 等 人提 出了可以适用 于非最小相位系统 ， 并且可 以跟踪时 变参考信号 的 自校正控制器〔 “ 〕 。 另 外还有一些 作者也分别 提 出了极点配置 ， 等各种形 式的 自校正控制算法 。 〕 和 〔 〕则分别对多变量线 性系统 的 和 作 了一些工作 。 〔 〕 和 陈 翰 馥〔 〕等人也各 自提 出了多变量 系统 的 自校正控制算法 。 和 在许多工 业部门 得 到 了应用 ， 如造纸 机 、 混凝土搅拌机 、 油轮驾驶仪 、 精苯分馏塔 、 电加 热炉等 。 然而 ， 多数文献都是针对输人 输 出维数相等的系统 讨论 的 。 但是 ， 在实 际工 业过程 中 还 存在着更一般的 、 输入输 出维数不等的系统 。 因此 ， 针对这类情况 ， 讨论 自校正控制器 的应用是有着一定实 际价值的 。 本文试 图在这 方面作一些 探讨 。 二 、 辅助输出的预 报器 结构 设线性离散时 间多变量系统 由下面的向量差分方程 来描述 一 一 一 一 息 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1985．03．021

其中，y(k)是p维输出向量，u(k)是q维输入控制向量，为保证输出可控性条件，限制P≤q, 并要求A(Z1),B(Z1)左互质；{(k)}为P维具有零均值和协方差陈R,的独立 同分布随机向量序列；Z1为单位时间延迟算子，即Z1y(k)=y(k-1);d-1为系统的 纯藩后时向，系数多项式阵A(Z),C(Z)∈R2,B(Z-)∈R,, PXq A(Z-1)=Ip+AZ-1+..+An.Z- B(Z-1)=Bo+BiZ-1+...BnZ- C(Z-1)=Ip +C1Z-1+.+CncZ-c 要求Bo是行满秩的，detC(Z1)的根在Z平面的单位圆内。 给定的性能指标为。 J=E{iP(Z-1)y(k+d)-R(Z-1)W(k)+Q'(Z-1)u(k)2) (2) 其中W(k)是P维参考信号向量，且可以是时变的；E{·}表示取数学期望；加权多项式 矩阵 R(Z,P(Z-)∈R2,Q(Z)∈R, P(Z1)=P0+P,Z-i+…+Pn,Z-apnp≤d-1 R(Z-1)=R0+R,Z-1+…+Rn,Z Q'(Z1)=Q'0+Q':Z-1+…+QnZ 要求P(Z1)稳定，P。非奇异。 定义辅助系统输出， (k)△P(Z1)y(k) (3) 引入多项式矩阵变换： A(Z-1)P(Z1)=P(Z1)A(Z1) C(Z-1)=P(Z-1)C(Z-1) (4) B(Z1)=P(Z1)B(Z1) 并满足detA(Z1)=detA(Z1),Ao=I。由多项式矩阵的伪交换定理11)可知，A(Z1), P(2-)∈R2X)是存在的，但是并不唯一。由于A=I,所以有P0=P, A(Z-1)=I+A]Z-1+.+An.Z- B(Z-1)=Bo+BiZ-1+..+Bns+npZ- (5) C(Z-1)=Co+CiZ-1+..+CncnpZ-+) C0=P0=P0 由此可以得到一个辅助系统（见附录A): A(Z-1)(k)=Z-dB(Z1)u(k)+C(Z~1)E(k) (6) 为得出由性能指标(2)式取极小值所确定的最优控制律，需要先求出辅助输出的最 优d步向前预报值°(k+d|k),这一预报值是(k),(k-1),yu(k),u(k一1)，… 79

其中 ， 是 维输 出向量 ， 是 维输入控制 向量 ， 为 保证 输 出可控性 条件 ， 限制 《 ， 并要求 一 ‘ ， 一 ‘ 左 互质 毛息 为 维具 有 零 均 值 和 协 方 差 陈 的 独 立 同分布随机 向量序列 一 ‘ 为单位时 间延迟 算子 ， 即 一 ’ 一 一 为 系 统 的 纯 滞 后 时 间 系数多项式 阵 一 ， ， 一 ， 。 妙 。 ， 一 ‘ 。 粼 ， ‘ 一 … 十 一 ” 一 一 一 … 、 一 “ “ 一 一 … 一 ” 要求 。 是行满 秩的 ， “ ‘ 的根在 平 面的 单位 圆内 。 给 定的性能指标 为 一 ‘ 一 一 ‘ 名 ‘ 一 廿 其中 是 维 参考信号 向量 ， 且 可以是 时变的 · 表示 取数学期望 加 权 多 项 式 矩 阵 一 ， 一 任 火 〔 一 〕 产 一 〔 〔 一 〕 一 一 … ， 一 ” 一 一 二 一 … ， 一 ’ 一 ‘ 产。 ‘ 一 一 、 … 。 一 吸 要 求 一 ‘ 稳定 ， 。 非奇异 。 定义辅助 系统输 出 吵 些 一 引入 多项式矩阵变换 一 一 一 一 一 二 一 一 … 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 并满 足 人 一 ‘ 一 ‘ ， 入。 二 。 由多项式矩阵的伪交换定理“ ‘ ，可知 ， 瓜 一 ， 民“ 一 ， 。 瑟厂 。 是存在 的 ， 但是并不唯一 。 由于兀。 一 ， ， 所以有，。 。 ， 一 一 二 一 十 ‘ ” · 一 ” 一 … 、 ， 一 ” 、 十 ” 护， 一 … ， 一 “ 十 ” 由此 可以得到 一个辅助 系统 见附录 ， 一 ‘ 砂 一 百一 一 ‘ 吸 一 ‘ 乙 为得 出由性能指标 式取极小值所确 定 的最优 控制 律 ， 需要先求 出辅助 输 出 的 最 优 步 向前 预 报值砂 ， 这一 预报值是 砂 ， 吵 一 ， …， ， 一

的函数。(k+d)的最优d步预器方程由下式给出（见附录B): (k+d1k)=C1(Z-1)[F(Z-1)B(Z-1)u(k)+G(Z-1)(k) (7) 负报误差为： (k+d)=(k+d)-°(k+d|k)=F(Z1)(k+d) (8) 利用(6)、(7)、(8)式，并使性能指标(2)式取最小值，就可以得出参数已知 时最优控制律ú(k)应满足的方程为（见附录C): BoT〔·(k+d|k)-R(Z1)W(k)〕+Q'TQ'(Z1)u(k)=0 (9) 由于B(Z1)不是方阵，且P≤q,所以一般地并不能象文献〔7〕那样简单地由(9)式 得出控制律的显式形式，继而直接用于自校正算法。那么，如何使(9)式所确定的控制律 u(k)能够用自校正算法来实现，是本文所要解决的一个问题。为此，我们先推导出基子 (7)式的闭环系统辅助输出的预报器模型，再由（9)式得出控制器的结构。 引入记号 C·(Z-1)=C(Z1)-C0 (10) 通常有C0-Po(见附录B)。方程(？)式可以写为 Co(k+d ]k)=F(Z-1)B(Z-1)u(k)+G(Z-1)(k)-C(Z-1)(k+dk) (11) 将(9)式变形为 (k+d k)=R(Z-1)W(k)-Q(Z-i)u(k) (12) 其中 Q(Z-1)=(BoB3)-1BoQo/TQ(Z-1) 注意，这里Q(Z)∈R2X,。 将(12)式代入(11)式，得 (k+d1k)=C01{〔F(Z-1)B(Z1)+C(Z1)Q(Z)〕u(k) +G(Z1)(k)-C(Z1)R(Z1)W(k)} (13) 从上式可以看出，由于应用了最优控制律(9)式，辅助输出的预报值不仅依赖于(k), (k1),,u(k),u(k-1),,而且还与参考信号W(k),W(k-1),…建立了直 接的关系。 定义 H(Z-)CF(Z-1)B(Z-1)+C(Z-1)Q(Z M(Z1)△Co1G(Z1) N(Z1)-C01C·(Z1)R(Z1) (14) 其中，HZ)ER2,MZ,NZ)∈R2, na=degH(Z1)=max〔n。+np+d-1,nc+np+ng] nm=degM(ZJ)=max〔n.-1,nc+np-1〕 n.=degN(Z-1)=nc+np+n. 80

的函数 。 功 千 的最优 步预器方程 由下式给 出 见附录 劝 一 ‘ 一 ‘ 〔 一 ‘ 爪 一 ‘ 一 ， 吵 〕 预报误差为 劝 劝 一 劝 二 一 ‘ 乞 利用 、 、 式 ， 并使性能 指标 式取最小值 ， 就可以得出参数已 知 时最优控制律州 应满足 的方程为 见附录 〔劝 一 一 ‘ 〕 。 了 ， 一 二 由于 一 ‘ 不是方 阵 ， 且 簇 ， 所以一般地并不能象文献 〔 〕 那 样简单地 由 式 得 出控制律的显式 形式 ， 继而直接 用于 自校正算法 。 那 么 ， 如何使 式所确 定的控制律 能够用 自校正算法 来实现 ， 是本文所要解决的一个 问题 。 为此 ， 我们先推 导 出 基 于 式的 闭环系统辅助输出的预 报器模型 ， 一 再由 式得 出控制器的结构 。 引人记 号 一 二 一 一 通常有 。 二 。 见附录 。 方程 式 可 以写 为 。 势 一 ‘ 一 ‘ 一 吵 一 一 ’ 吵 将 式变形 为 沪 一 ‘ 一 一 ‘ 一 二 。 吞 一 。 产 一 这里 一 ‘ 〔 〔 一 〕 注其意中 将 式代入 式 ， 得 功 ， 偏 一 ‘ 〔 一 ‘ 百 一 ‘ ， 一 ‘ 一 ‘ 〕 一 妙 一 一 一 从上式可 以看出 ， 由于应用 了最优控制律 式 ， 辅助输 出的 预报值不仅 依赖 于 砂 ， 功 一 ‘ ， …， ， 一 ， … ， 而 且还与参考信号 ， 一 ， … 建 立 了 直 接的关系 。 定义 一 立 会 。 一 〔 一 玉 艺 一 ’ 一 一 〕 一 △ 一 一 一 些 一 一 一 五 一 、 了 其中 ， 一 ‘ 〔 火 〔 一 〕 一 ， 一 〔 一 〕 、 二 一 二 〔 ， 、 ， 一十 一 ， 。 ， 。 〕 二 一 〔 一 ， 。 一 〕 。 一 主 二

这样，闭环系统辅助输出预报模型(13)式就可以写为 (k+d|k)=H(Z1)u(k)+M(Z1)(k)+N(Z1)W(k)=©p. (15) 其中 Θ=〔01,02，，0p〕tg(k+')p(nm*an+1)Xp =〔Ho,H,…,Hnh;Mo,M1,…,Mna;N1,N2,,Nn。〕T 7=[uT(k),uT(k-1),..,uT(k-n); 的T(k),中T(k-1),…,中T(k-nm)5 WT(k-1),WT(k-2),…,WT(k-na))1Xcq(na十1)十p(aa十n.+1) 当系统(1)式的结构参数为已知时（即，已知n,n,ne,d,P,q),则预报器模 型(15)式的结构参数n,n,n:就可以确定。在实际中，这些参数往往很难精确定出，因 此，通常是在辩识系统模型的基础上，通过仿其或实时控制来确定。 三、自校正控制器 前面求出了参数已知时，最优控制律所应满足的方程(9)式和辅助输出的最优予报器 (15)式。当系统参数未知或随时间缓变时，就需要用在线估计所得的参数来取代上面公 式中的已知参数。然而，如前所知，在应用(9)式和(15)式时，系统的结构参数应是 已知的。因此，以下均假定，系统的结构已被确定，从而预报器的结构（阶）也已知了。 由(8)式和(15)式可以得出 中(k)=⑥rpg-d+e(k) (16). 误差ε(k)和⊙？pκ-是不相关的。用多变量线性系统的递准参数估计算法对⊙作在线估 计，即可得到(Z1),f(Z1),(Z)。递推最小二乘法的公式如下： 6i(k)=-6i(k-1）+K(k)〔i(k)-0ir(k-1)pk-d〕 (17) 0i(k)∈RvX1 i=1,2,,p v=q(n:+1)+p(nm+n。+1) K(k)= PK-9K-d.— a+pR-oPx-1PK-d (18) K(k)为v×1维向量 Pk=1CPx-1-Px-g-9吸-PK-1一】 d a+pk-ePr-iPK-4 (19) 其中，α是指数遗忘因子，通常取值范0,9≤a≤1。 还可应用加平方根滤波的最小二乘递推算法在线估计参数，这种估计算法可以有汝地 克服由于计算机宇长限制引起的数值计算误差。一般来说，具有更好的精确性。平方根法 的公式如下： 0i(k)=i(k-1)+K(k)〔i(k)-0(k-1)pk-a) (20) i=1,2,,P K(k)=g/o3 K(k)为v×1维向量 (21) 81

这 样 ， 闭环 系统 辅助输 出预报模 型 式就可 以写为 势 ’ 一 ‘ 一 ‘ 价 一 ‘ 二 中 其 中 二 〔 ， ， … ， 口 。 〕 〔 。 。 ， 〕又 二 〔 ， ， … ， ， ， … ， 二 ， ， … ， 。 〕 切百 〔 ， 一 ， … ， 一 ， 劝 ， 功 一 ， … ， 势 一 。 一 ， 一 ， … ， 一 。 〕 义 〔 、 一 · 一 主 一 。 。 十 。 。 十 〕 当系统 式的结 构参数为 已知 时 即 ， 已知 ， 。 ， 。 ， ， ， ， 则 预报器模 型 式的结 构参数 ， 二 ， 就可 以确定 。 在 实际 中 ， 这些 参数往往很难精确定 出 ， 因 此 ， 通常是在 辩识 系统 模型 的从础上 ， 通过 仿真或实时控制来确定 。 三 、 自校正 控制器 前面求 出了参数 己知时 ， 最优控制律所应满 足 的方程 式和辅助 输出的最优予报 器 式 。 当系统 参数 未知 或随时 间缓 变时 ， 就 需要 用在线 估计所 得的 参数来取代上面公 式 中的 己知 参数 。 然而 ， 如前所知 ， 在 应用 式和 式时 ， 系统的结构参数 应 是 已知 的 。 因 此 ， 以下均 假定 ， 系统 的结 构 己被确定 ， 从而 预 报器的结构 阶 也 已知 了 。 由 式和 式可 以得 出 叻 切 十 。 误 差。 和 甲 是不相关的 。 用 多变量线 性系统 的递 推参数估计算法 对 作 在 线 估 计 ， 即可得到 一 ‘ ， 一 ‘ ， 一 ’ 。 递 推最小二 乘法 的 公式如下 八 一 〔 功 一 一 甲 一 〕 〔 ， ， … ， “ 、 二 。 甲 。 甲要 甲 一 、夕 ﹂ 一一一 一， 为 维 匀量 、 一 工 〔 ， ，切 甲泛 中盖 ‘ 一 、 甲 一 。 其 中 ， 是 指数遗忘因子 ， 通常取值范 围 簇 。 簇 。 还可 应用加 平方 根滤波 的最小二 乘递 推算法 在线 估计 参数 ， 这 种估计算法可 以 有效地 克服 由于计算机宇长限制引起 的数值计算误差 。 一 般 来说 ， 具 有更好 的精确性 。 平方根法 的公式如 下 色 二 卜 斗 〔 劝 一 一 切 一 。 〕 二 ， ， … ， 了 。 矛 为 、 又 维 向 量

g1 g11 g= g2 中 15 、g, 5v,1 h Gi i=j gi,1= (22) gi-1,i+hiGi) ij i=1,2,…,v j=1,2,…,i-1 -i G(ii) v a o i K-1 i=j GD)= (23) ,(Gi-h8i山L-) \√ao1 02:-1 ij i=1,2,gV j=1,2,,j-1 00=a (24) 10:2=02:-1+h: i=1,2,“,V i ti) (25) j=1 其中，(ij)表示矩阵的第i行，第j列号元素，(i)表示向量的第i个元素，a是指数遗忘因 子，取值范围0.95~1，一般取初值G0=cI,c是一个充分大的数。 用估计参数⊙可得(k+d!k)=@p,并代入方程式(9)式， Bot〔⑥rp.-R(Z1)W(k)〕+Q0Q'(Z-1)u(k)=0 (26) 注意到⑧的第一个子矩阵是在0=C10=P01PB0=Bo。所以，从(26)式中导出 u(k),便构成了最优自校正控制信号： u(k)=〔HHo+Q'Q'o〕1{〔〔R(Z)W(k)-©rp.') -Q'Q*(Z1)u(k)} (27) 其中©=〔直o,⑧·) pF=〔uT(k),pT〕 Q(Z1)=Q'(Z1)-Q'0 在(27)式中，Ho∈RX且p≤q,所以H。一般是奇异的。然而若适当地选择Q'o, 则可以使得〔宜。+Q'Q'。)为非奇异阵。当然，Q'(Z)将对闭环系统的动态响应 和稳定性产生一定的影响。 82

， 上 ‘子 一一 ‘ 、 ， 岌 ‘ ” 卜 ， 扮” ， “ ， 侧 留” 万了 ‘ ， 一 ， ，， 二 斗 “ ， 一 ， 七‘ 介卜 ， 一一 ，， 今 二 训 ， 一 二 二 之 ， 一 “ 丫了 了 二 其中 ， 表示矩 阵的第 行 ， 第 列号元素 ， 表示 向量的第 个元素， 是 指数遗忘因 子 ， 取值范围 一 ， 一般取初值 。 二 ， 是一 个充分大的数 。 六 入 用估计参数 可得 护 十 ，甲 ， ， 并代入方程式 式 〔 了 伊 一 一 〕 。 ‘ 尹 一 注意到 的第一 个子 矩 阵 是 。 一 ’ 。 。 ， 便构成 了最优 自校正控制信号 。 一 ， 。 百。 二 瓦 。 所 以 ， 从 式 中导 出 〔 认百认 。 、 ‘ 石 ‘ 。 〕 一 〔 白百〔 一 一 为 · ，甲 · 〕 一 石 产 ‘ 一 ‘ 其 中 〔 。 ， ， 〕 了 中百 〔 ，甲 百〕 ‘ 一 ‘ ’ 一 一 产 。 人 人 在 式 中 ， 。 〔 且 《 ， 所以 百 。 一般是奇异的 。 然而 若适 当地选 择 产 。 ， 则可以使得 〔 百 。 十 ‘ 石 ’ 。 〕 为非 奇异阵 。 当然 ， ‘ 一 ‘ 将对 闭环 系统的 动 态 响 应 和稳定性 产生 一定的影响