信号与系统电容 7.2z变换的性质 6.2z变换的性质 本节讨论变换的性质,若无特殊说明,它既适 用于单边也适用于双边z变换。 线性 若f1(k)←→F1(2)1<zkβ, r()+→F2()xzFB2 对任意常数a1、a2,则 a,f, (k)+a2i2(k) (z)+a2F2(z) 其收敛域至少是F1(z)与F2(a)收敛域的相交部分。 32 例:28(k)+3(k)←→2+ 第们|4■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第66--1111页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.2 z变换的性质 一、线性 6.2 z变换的性质 本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适 用于单边也适用于双边z变换。 若 f1(k)←→F1(z) α1<z<β1, f2(k) ←→ F2(k) α2<z<β2 对任意常数a1、a2，则 a1f1(k)+a2f2(k) ←→ a1F1(z)+a2F2(z) 其收敛域至少是F1(z) )与F2(z)收敛域的相交部分。 例： 2δ(k)+ 3ε(k) ←→ 2 + 1 3z −z ，z>1
信号与系统电容 7.2z变换的性质 二、移位(移序)特性单边、双边差别大! 双边z变换的移位: 若(k)←→F(z),<zkβ,且对整数m>0,则 f(k±m)←→zF(z),0≤kkβ n=k+11 证明:z[f(k+m)=∑f(k+m) ∑f(m)=m=m==0F() n=-0 单边z变换的移位: 若fk)←→F(z),>,且有整数m>0,则 f(k-1)←→zlF(z)+f(-1) f(k-2)←→z2F()+f(-2)+f(-1)z1 f(k-m)→>zmF(2)+∑f(k-m) k=0 第|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第66--1212页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.2 z变换的性质 二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！ 双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , α<z<β，且对整数m>0，则 f(k±m) ←→ z±mF(z), α<z<β 证明：Z[f(k+m)]= f (k m)z f (n)z z z F(z) m n n m n k m k k ∑ + = ∑ = ∞ =−∞ − ∞ = + =−∞ − 单边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z), |z| > α，且有整数m>0, 则 f(k-1) ←→ z-1F(z) + f(-1) f(k-2) ←→ z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 ∑ − = − − − ←→ + − 1 0 ( ) ( ) ( ) m k m k f k m z F z f k m z
信号与系统电容 7.2z变换的性质 f(k+1)←→zF(z)-f(0)z f(k+2)←→z2F(z)-f(0)z2-f(1)z m-1 f(k+m)→=F()-∑f(k)=m6 k=0 证明 m-1 z[(k-m)=∑f(k-m)=∑f(k-m)2+∑f(k-m)=m=-m 上式第二项令k-m=n ∑f(k-m)2+∑f(m)="=m=∑f(k-m)=-+=mF(2) 特例:若(k)为因果序列,则f(k-m)←→zmF(z) 即:f(k-m)e(k-m)←→zm(z) 第|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第66--1313页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.2 z变换的性质 f(k+1) ←→ zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) – f(0)z2 – f(1)z ∑ − = − + ←→ − 1 0 ( ) ( ) ( ) m k m m k f k m z F z f k z 证明： Z[f(k – m)]= m m k m k k k m k k f k m z f k m z f k m z z − − = ∞ = − − − ∞ = − ∑ − = ∑ ∑ − + − 1 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 上式第二项令k – m=n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 f k m z f n z z f k m z z F z m m k m k m k n k n − − = − − − = ∞ = − − = ∑ ∑ − + = ∑ − + 特例：若f(k)为因果序列，则f(k – m) ←→ z-mF(z) 即：f(k – m) ε (k – m) ←→ z-mF(z)
信号与系统电容 7.2z变换的性质 例1:求周期为N的有始周期性单位序列 ∑(k-mN) 的z变换。 N 解 ∑6(k-mN)<→>∑ mM N-1z}1 m=0 例2:求(k)=ke(k)的单边z变换F(z) 解(k+1)=(k+1)e(k+1)=(k+1)e(k)=f(k)+e(k) zF(z)-zf(0)=F(2) z-1F(z)= 第4|4■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第66--1414页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.2 z变换的性质 例1：求周期为N的有始周期性单位序列 ∑ ∞ = − 0 ( ) m δ k mN 的z变换。 1 1 1 ( ) 0 0 − = − − ←→ = − ∞ = − ∞ = ∑ ∑ N N N m mN m z z z 解 δ k mN z z>1 例2：求f(k)= kε(k)的单边z变换F(z). 解 f(k+1)= (k+1)ε(k+1) = (k+1)ε(k) = f(k) + ε(k) zF(z) – zf(0) = F(z) + z −1 z F(z)= 2 (z −1) z
信号与系统电容 7.2z变换的性质 三、序列乘凼(z域尺度变换) 若f(k)←→F(2),∝<kzkβ,且有常数a≠0 则a2k(k)←→F(z/a), a la k z kB la 证明: zakf(k)=∑a^f(k)2=∑f(k F(-) 例1:ake(k)← 例2:c0S(Bk)e(k)←→? 0.52 0.5z c0S(Bk)8(k)=0.5(ce队)e(k)← 2-e) 第|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第66--1515页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.2 z变换的性质 三、序列乘ak(z域尺度变换) 若 f(k) ←→ F(z) , α<z<β ， 且有常数a≠0 则 akf(k) ←→ F(z/a) , αa<z<βa 证明： Z[akf(k)]= ( ) ( ) ( ) az F az a f k z f k k k k k k = ∑ = ∑∞=−∞ − ∞=−∞ − 例1：akε(k) ←→ z a z − 例2：cos(βk)ε(k) ←→? cos(βk)ε(k)=0.5(ej βk+ e-j βk)ε(k) ←→ j β j β e 0.5 e 0.5 − − + − z z z z