D0I:10.13374/i.issn1001053x.2003.02.004 第25卷第2期 北京科技大学学报 VoL.25 No.2 2003年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2003 动载荷下边坡的失稳分析 张友葩”高永涛》王杰林)方祖烈” I)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000832)山东省泰安市公路局，泰安271000 摘要根据公路和铁路承载结构以及载荷性质的不同，利用LUSAS有限元分别对两种动 载的属性进行了分析，得出了两种载荷的位移、应力的时程曲线和应力变化轮廓，以及两种 不同结构体的本征值与振动频率的关系，利用这些结果得出了两种动载荷的“有害频率”和 “有害动载时间”.根据动载属性分析，结合实际事例，利用FLAC分别对这两种不同载荷对边 坡的扰动情况进行了比较系统的数值分析， 关键词动载荷；边坡；失稳；本征值；数值分析 分类号U416.1'4 在交通载荷的长期作用下，路基及路基边坡 构的直接承载体—路面和轨道的动载荷响应. 的稳定性将受到不同程度的影响.位于山东省泰 其中主要包括在不同的动载荷时间下和不同振 安市境内的205国道某边坡是一个铁路和公路共 动频率下结构的垂向位移的变化以及应力变化， 用的土质边坡，坡体的顶部和底部分别承受着公 实际上，这是结构本征值的分析过程. 路和铁路两种性质不同的载荷.由于土体长期处 结构本征值是研究弹性体系稳定性分析、结 于扰动状态，致使边坡出现滑移，有两条较大的 构振动计算以及混凝土结构徐变时，根据平衡方 滑移带沿边坡的走向几乎横贯整个坡体，使顶部 程、能量原理以及变形协调条件所得到的挠度曲 的公路路面出现了开裂，底部的铁路路基出现了 线或余赘力微分方程组，由此积分并根据边界条 隆起现象，严重影响了公路和铁路的交通安全， 件获得与积分常数数目相同的齐次方程组，方程 近年来，随着交通流量和大型载重车辆也日 组不为0的判别式解就是结构的本征值阿.在弹 渐增多，车辆与路基的相互作用问题日益受到人 性体系中结构的本征值方程又称为稳态方程，由 们的重视，并取得了不少研究成果-，但是有关 此可以确定结构的临界载荷和振动频率， 交通载荷下边坡的稳定性问题却少有文献报道， 11本征值的计算方法 因而，车辆载荷作用下路基边坡的失稳问题是一 根据路面和轨道的结构形式，在计算过程中 个具有理论意义和实际应用价值的课题，需进一 将路面和轨道分别视为弹性板和弹性梁.根据 步研究.针对实际的工程情况，本文对双动载源 Rayleigh-Ritz理论和承载结构体的基本属性，可 下土边坡失稳问题进行了分析， 以建立如下形式的本征值方程： [K-Mo'lg=0 (1) 1动载属性 式中，K表示结构体组成的刚度系数矩阵，M表示 结构的质量矩阵，ω表示结构振动时的角频率，g 要研究动载下坡体的稳定性，首先必须对动 是矢量常数， 载的基本性质进行分析，以便在分析过程中根据 采用子空间叠代法，将上式可以写成： 结构的具体条件获取最基本的数据，动载属性是 KΦ=AMΦ (2) 研究车辆载荷的基本性质，即根据公路路面和铁 式中，中和A分别表示包含不同结构本征值的对 路道床的结构、载荷特点以及材料属性，研究结 角矩阵. 收稿日期2002-04-10张友葩男，37岁，高级工程师，博士 根据以上两式，本征值方程可以简化为： *山东省科委科技攻关项目No.321008)
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 一 一 动载荷下边坡的失稳分析 张友 葩 ” 高永 涛 ‘， 王 杰 林 ” 方 祖 烈 ” 北 京科技大学 土木与环 境 工 程 学 院 ， 北 京 山东省泰安市公 路局 ， 泰安 摘 要 根 据 公 路和 铁路 承载 结构 以及 载荷 性质 的不 同 ， 利用 有 限元 分 别对 两种 动 载 的属性 进 行 了分 析 ， 得 出 了两种载 荷 的位 移 、 应 力 的 时程 曲线和 应 力变化轮廓 ， 以及 两 种 不 同结构 体 的本征 值 与振动 频率 的 关 系 ， 利 用 这 些 结果 得 出 了两 种 动 载荷 的 “ 有 害 频 率 ” 和 “ 有害动 载 时 间 ” 根 据动 载属性 分析 ， 结合 实 际事例 ， 利用 分别对 这 两种 不 同载荷对 边 坡 的扰 动 情况进行 了 比较 系统 的数值分析 关键词 动 载荷 边坡 失稳 本 征值 数值分析 分 类号 ‘ 在 交通 载 荷 的长 期 作用 下 ， 路 基 及 路 基 边 坡 的稳 定性将 受到 不 同程度 的影 响 位 于 山东省 泰 安 市境 内的 国道 某边坡是 一个 铁 路和 公路共 用 的土质边坡 ， 坡 体 的顶 部和底 部 分 别承 受着公 路 和铁 路 两 种性质 不 同的载荷 由于 土 体 长 期 处 于扰 动 状 态 ， 致 使 边 坡 出现 滑 移 ， 有 两 条 较 大 的 滑 移 带沿 边坡 的走 向几 乎横 贯整个 坡体 ， 使顶部 的公路路 面 出现 了开裂 ， 底 部 的铁 路路 基 出现 了 隆起 现 象 ， 严 重 影 响 了公路 和 铁 路 的交通 安全 近 年来 ， 随着 交 通 流 量 和 大型载 重 车辆 也 日 渐 增 多 ， 车辆 与路基 的相互 作用 问题 日益 受到人 们 的重视 ， 并取 得 了不 少研 究成 果 「卜 ，， 但 是 有 关 交通 载荷 下边 坡 的稳 定性 问题 却 少有文 献报 道 因而 ， 车辆 载荷 作用 下 路基 边坡 的失稳 问题 是一 个具 有理 论 意义和 实 际应 用 价值 的课题 ， 需进 一 步研 究 针 对 实 际 的工 程 情 况 ， 本文 对 双 动 载 源 下 土 边 坡 失稳 问题 进 行 了分 析 动 载属 性 要研 究动 载 下 坡 体 的稳 定性 ， 首先 必 须对 动 载 的基 本性质进行 分 析 ， 以便在 分 析 过程 中根据 结构 的具 体条件 获 取 最 基 本 的数 据 动 载属 性是 研 究车辆载 荷 的基 本 性质 ， 即根据 公路路 面 和铁 路 道 床 的结构 、 载 荷特 点 以及 材 料 属 性 ， 研 究 结 收稿 日期 刁 一 张 友 葩 男 ， 岁 ， 高级 工 程 师 ， 博 士 山 东省科 委科技 攻 关项 目困 构 的直接 承 载 体— 路 面 和 轨 道 的动 载荷 响应 其 中主 要 包 括 在 不 同 的动 载 荷 时 间下 和 不 同振 动 频 率 下 结构 的垂 向位 移 的变 化 以及 应 力变 化 实 际上 ， 这 是 结 构 本 征值 的分 析 过 程 结 构本 征值 是研 究 弹性 体 系稳 定性 分 析 、 结 构振动 计 算 以及 混 凝 土 结 构徐 变 时 ， 根据 平 衡 方 程 、 能量 原理 以及 变 形 协 调 条件所 得 到 的挠度 曲 线或余赘力微 分 方程 组 ， 由此积 分 并根 据 边 界条 件 获 得 与积 分 常 数 数 目相 同的齐 次方 程 组 ， 方 程 组 不 为 的判 别 式解 就 是 结 构 的本 征值 ‘司 在 弹 性 体系 中结构 的本 征值方程 又 称 为稳 态方程 ， 由 此 可 以确 定 结 构 的 临 界载 荷 和 振 动 频 率 本征 值 的计 算方 法 根据 路面 和 轨 道 的结构 形 式 ， 在计 算过 程 中 将 路 面 和 轨道 分 别视 为弹性 板 和 弹性梁 ‘刀 根据 一形 理 论’ 和 承载 结构 体 的基 本属 性 ， 可 以建立 如 下 形 式 的本 征值方 程 【万 对 ， 烤“ 式 中 ， 表 示 结 构体组 成 的刚度 系数 矩 阵 ， 表 示 结 构 的质 量 矩 阵 ， 。 表 示 结 构 振 动 时 的角 频 率 ， 是 矢 量 常数 采用 子 空 间叠 代 法 ， 将 上 式 可 以写 成 盆必 」材必 式 中 ， 必 和 分 别 表 示 包 含 不 同结 构 本 征 值 的对 角矩 阵 根据 以上 两 式 ， 本 征 值 方 程 可 以简化 为 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．2003．02．004
VoL.25 No.2 张友葩等：动载荷下边坡的失稳分析 111 [K-iM]U=0 (3) 20 式中，1为结构的特征矩阵，U是结构的位移矩 16 阵. 根据结构振动过程中的主从关系，式(3)可以 12 表示为： ]% (4) 由于车辆动载属于频率较低的载荷，因此根 0 4 8 12 15 据Guyan简化法例，在低频下从役自由度上的惯 1/103 性力是非常小的，因此上式与从役自由度有关部 图2公路载荷下本征值与频率的关系曲线 分的质量矩阵可以忽略而变成如下形式： Fig.2 Curve of eigenvalue vs frequency under the vehicles 医1%8- loading condition (5) 荷效应各不相同，因而相应地路面所产生的位移 根据式(5)即可求出结构在动载下的本征值. 响应值也有所不同.图3表示两个不同本征值 12路面动载属性 下，公路路面的应变响应轮廓，就总体结构而言， (1)计算模型. 本征值越大其相应的应力值就越大，由此产生的 根据路面和路基的结构，建立如图1所示的 应变值就越大.但是在局部位置由于振动频率的 计算模型. 不同，则会有相应的变化 (a)第9个本征值 图1路面计算模型 Fig.1 Numerical model of the road surface (b)第12个本征值 模型代表的实际尺寸是20m×10m,每一个 计算单元为1m×】m.路面的厚度按0.l5m计算， 路面与路基之间的约束按弹性约束考虑，两端固 定，其弹性系数为220MPa/mo,由于大吨位车辆 增加，公路路面所承受的载荷按30kN/m2计算. 其余的计算参数如表1. 图3不同本征值下路面的应力轮廓示意图 表1路面模型中材料的计算参数 Fig.3 Stress contours of road surface under different Table I Material Parameters of the model eigenvalue 材料名称 h/m E/GPa 沥青路面 0.15 1.13 0.33 图4表示路面中不同位置单元(《a)为226单 p/(kg.m) 太 M R 元，(b)为347单元)的应力随动载时间的变化过 2100 5×104 3×10-4 1.10×105 程.从图中可以看出，应力的变化过程是成周期 (2)计算结果 性的，因而相应产生的位移也会呈周期性（如图 根据承载结构的具体情况，设置12个不同的 5). 本征值.本征值与振动频率的关系见图2，其中的 根据图5中的结果，动载时间在0.20s左右 12个点是计算过程中所提取的不同本征值. 的时候路面所产生的垂向位移是最大的，因而在 由于本征值的不同，动载过程中所产生的载 整体结构的动载分析中可以将动载时间设置为
心 张友 葩 等 动 载荷 下 边 坡 的 失稳 分 析 运 六践 一只材」 式 中 沐 为 结 构 的 特 征 矩 阵 ， 是 结 构 的 位 移 矩 阵 根据 结 构 振 动 过 程 中的主 从 关 系 ， 式 可 以 表 示 为 日 一，匹 惩 吕 玩 一 。 ， ‘ 材山 。 小 由于 车 辆 动 载 属 于 频 率 较 低 的载 荷 ， 因此 根 据 简化 法 ‘ ， 在 低 频 下 从 役 自由度 上 的惯 性 力是 非 常 小 的 ， 因此 上 式 与 从役 自由度 有 关 部 分 的质 量 矩 阵 可 以忽 略 而 变 成 如 下 形 式 匹 ， 一， 慈 ” 一 。 ， 。 。 、以 根据 式 即可 求 出结 构 在 动 载 下 的本 征 值 路 面 动 载 属 性 计 算 模 型 根 据 路 面 和 路 基 的结 构 ， 建 立 如 图 所 示 的 计 算 模 型 勿翩 一 上 一 一司一 一习 一一 翩 一 习 副‘ 一盛一一土一 一 一』 几 图 公 路 载 荷 下 本 征值 与 频 率 的 关 系 曲线 · 荷 效 应 各 不 相 同 ， 因而 相 应 地 路 面 所 产 生 的位 移 响 应 值 也 有 所 不 同 图 表 示 两 个 不 同本 征 值 下 ， 公 路 路 面 的应 变 响应 轮 廓 就 总 体 结 构 而 言 ， 本 征值 越 大 其 相 应 的应 力值 就越 大 ， 由此 产 生 的 应 变 值 就 越 大 但 是 在 局 部位 置 由于 振 动 频 率 的 不 同 ， 则 会 有 相 应 的变 化 、 一 第 图 路 面 计 算模型 第 个本征值 模 型 代 表 的 实 际尺 寸 是 对 ， 每 一 个 计 算 单 元 为 “ 路 面 的 厚度 按 巧 计 算 ， 路 面 与路 基 之 间 的约 束按 弹 性 约 束 考 虑 ， 两 端 固 定 ， 其 弹 性 系 数 为 留 ， 由于 大 吨 位 车 辆 增 加 ， 公 路 路 面 所 承 受 的载 荷 按 计 算 其 余 的 计 算 参 数 如 表 表 路 面 模 型 中材 料 的 计 算参数 乞 材 料 名 称 召 沥 青路 面 夕 · ， 一 一 一 计 算 结 果 根 据 承 载 结 构 的具 体 情 况 ， 设 置 个 不 同 的 本 征 值 本 征值 与振 动 频 率 的关 系 见 图 ， 其 中 的 个 点 是 计 算 过 程 中所 提 取 的不 同本 征 值 由于 本 征 值 的不 同 ， 动 载 过 程 中所 产 生 的载 图 不 同 本征 值 下 路 面 的应 力轮廓 示 意 图 月免 图 表 示 路 面 中 不 同位 置 单 元 为 单 元 ， 为 单 元 的应 力 随 动 载 时 间 的变化 过 程 从 图 中可 以看 出 ， 应 力 的变 化 过 程 是 成 周 期 性 的 ， 因而 相 应 产 生 的位 移 也 会 呈 周 期 性 如 图 ， 根 据 图 中 的 结 果 ， 动 载 时 间在 左 右 的 时候 路 面 所 产 生 的垂 向位 移 是 最 大 的 ， 因而 在 整 体 结 构 的 动 载 分 析 中 可 以将 动 载 时 间设 置 为
◆112 北京科技大学学报 2003年第2期 24 a)位置1 垫板、枕木以及道床所组成的结构视为弹性体 N 模型的约束条件和公路相同，根据立体模型的计 6 算结果，对轨道的纵剖面和横剖面进行了分析， 建立了如图6所示的计算模型. 0 0.12 0.240.360.480.60 0.72 tis b)位置2 20 N. 15 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 tis 图4不同动载时间下路面不同单元的应力响应值 Fig.4 Curves of dynamic time vs response values of stress 图6铁路计算模型 Fig.6 Numerical model of the railway at different positions a 模型中的轨道长度为1m,轨道的具体尺寸 根据现场所采用的43kgm的重轨设置m.铁路 的载荷按120kN/m考虑，道床的弹性系数按375 MPa计算m,其余参数见表2. =20Hz 表2路面模型中材料参数 Table 2 Material Parameters of the model 0.08 0.16 0.24 0.32 材料名称 h/m E/GPa t/s 铁路轨道 0.14 209 0.30 p/(kg.m) K M R 0.4 (b) 7800 3×10-4 2×10-+ 1.15×10- 0.2 f=35 Hz (2)计算结果. 0 与公路动载分析相似，同样提取12个不同的 0.2 本征值，铁路动载荷下本征值与振动频率的关系 0.4 如图7.由于轨道的结构以及材料属性和公路路 0 0.10.20.30.40.50.6 面有较大的区别，所以其本征值和振动频率的差 tis 别也比较大 图5路面不同单元的垂向位移随动载时间的变化曲线 Fig.5 Curves of dynamic time vs Y-displacement at differ- 由于轨道的振动频率较高，所以随着动载时 ent positions 0 0 40 0.20s,而振动频率则可以按照最大的本征值去 考虑，因为此时路面所产生的应力响应值最大， 20 13铁路动载的属性 10 (1)计算模型. 0 12 16 铁路动载的属性分析方法和公路基本相似， 本征值10 但是由于铁路的承载结构比较复杂，所以在分析 图7铁路载荷下本征值与频率的关系曲线 过程中首先根据轨道和道床的结构建立一个立 Fig.7 Curve of eigenvalue vs frequency under the railway 体计算模型.模型中将轨道视为梁单元，而将道 loading condition
北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 垫 板 、 枕 木 以及 道 床 所 组 成 的结 构视 为弹性 体 模 型 的约束条件 和 公路相 同 根据 立 体模 型 的计 算 结果 ， 对 轨 道 的纵 剖 面 和 横 剖 面 进 行 了分 析 ， 建立 了如 图 所 示 的计 算模 型 洲︸叫 ，‘乙‘ ︸尸、︵ 赶叭之 图 不 同 动 载 时间下 路 面 不 同单元 的应 力响 应 值 · 们 图 铁 路 计 算模 型 目 】 模 型 中 的轨道 长 度 为 ， 轨道 的具 体 尺 寸 根据 现 场 所 采 用 的 的重 轨 设 置 ‘川 铁 路 的载 荷按 咖 考 虑 ， 道 床 的弹性 系 数 按 计 算‘， ， 、日二 其 余 参 数 见 表 表 路 面 模型 中材 料 参数 玫 纽 皿 吕 严嗽 户 材料 名称 产 铁路 轨 道 一， 一 一 火 一 ， 计 算 结果 与公路 动 载分 析相似 ， 同样提 取 个 不 同的 本 征值 ， 铁路动 载荷下本 征值与振动 频 率 的关系 如 图 由于 轨道 的结 构 以及 材料 属 性 和 公 路路 面 有较 大 的 区别 ， 所 以其 本征值 和 振动 频 率 的差 别 也 比较 大 由于轨 道 的振 动 频 率 较 高 ， 所 以随着 动 载 时 、日沈 峥，‘︶飞︸月﹃一目︸︵︸ 逻 图 路面 不 同单元 的垂 向位移随 动 载时间的变化 曲线 ，币 ， 而 振 动 频 率 则 可 以按 照 最 大 的本 征 值 去 考 虑 ， 因 为 此 时路 面 所 产 生 的应 力 响应 值最 大 铁 路 动 载 的属 性 计 算模 型 铁 路动 载 的属 性 分析方 法和 公路基 本相 似 但 是 由于铁路 的承 载 结 构 比较 复杂 ， 所 以在 分 析 过 程 中首先 根 据 轨 道 和 道 床 的 结 构 建 立 一 个立 体计 算模 型 模 型 中将 轨 道 视 为梁 单 元 ， 而 将 道 一目‘ 一一 一一一 人 一 司 一一 一 ‘一 一‘ 一 一 一 图 铁路 载荷下 本征 值 本 与 征 频 值 率的 关系一曲线 俪 廿
Vol.25 No.2 张友葩等：动载荷下边坡的失稳分析 113◆ 间的变化，轨道的垂向位移变化也比较复杂.同 时，由于道床的结构和公路路基相比有着比较大 的弹性缓冲区间，因而在动载荷下，轨道的垂向 位移要远远大于公路路面的位移量.同时，经过 对动载时间点的逐渐离散，可以发现位移的变化 也呈现出比较明显的周期性（如图8），并且位移 图9单元节点力表示 的大小基本上保持在…个比较稳定的范围 Fig.9 Nodal force vector .6 示为： 0.6 aa=-2+ΣR m (8) -U4 式中，m表示单元的质量，1，△1表示计算时间及时 4 间增量. 0 0. 0.20.30.4 0.5 0.6 在动载作用下，承载体单元的法向应力和剪 tis 应力可以根据应力在岩土体中的应力传播速度 1.7 来表示： 0.7 On=2pCPV 0.3 0,=2pCsv (9) G 00.080.160.240.320.400.480.56 G.G- 式中，C,C,分别表示应力波的P波波速和S波波 图8动载下轨道垂向位移的变化曲线 速，y,y,则分别表示单元的法向运动速度和切向 Fig.8 Curves of dynamic time vs vertical displacement of 运动速度，p表示承载体的密度，G,K表示承载体 the railway 的剪切模量和体积模量 根据铁路的位移和应力变化情况，边坡的动 承载体的阻尼可以根据Rayleith-Rizs动载理 载分析中将车辆的动载频率设置为65Hz:为分 论将其分为质量阻尼和刚度阻尼两部分，其表 析方便，动载的作用时间则可以和公路载荷保持 示方法为： 一致，设置为02s. C=aM+BK (10) 式中，a,B分别表示结构的质量阻尼和刚度阻尼 2边坡的失稳分析 常数. 在多自由度的情况下，可以根据承载体临界 2.1分析方法 角频率（由本征值确定），求得临界阻尼比： 根据上面的分析，得出了两种不同载荷的时 -品o (11) 程曲线，并由曲线的变化规律得出了两种载荷的 式中，，四，分别表示结构单元的临界阻尼比和临 “有害”频率和“有害”动载时间.根据动力学方程 界角频率， MU+CU+KU-R (6) 刚度阻尼下，结构的计算时步增量可表示 式中，M,C,K分别表示承载结构的质量矩阵、阻 为： 尼矩阵和刚度矩阵，R则表示载荷矩阵， △，-2V1+F-0 (12) , 在计算过程中，就结构的单一计算单元而 式中，1表示承载结构的本征值. 言，其单元载荷可以以节点力的方式表示，图9 2.2分析模型 表示承载结构中的一个离散单元，单元中S表示 根据205国道某土质边坡的工程实际，利用 每-一个边界的长度，，n,表示不同的方向矢量， FLAC”建立了分析模型（如图10）.为保证计算的 则节点力可以表示为如下形式： 准确性，模型中每一个计算网格所代表的实际尺 R=之olnS'+nS9 (7) 寸为0.25m.模型中的边界条件，采用了动载分 根据牛顿第二定律，节点的位移速度可以表 析中的粘弹性边界，各种不同承载体之间的接触
】 张 友葩 等 动 载荷 下 边 坡 的 失 稳 分 析 一 间 的变化 ， 轨 道 的垂 向位 移 变 化 也 比 较 复 杂 同 时 ， 由于道 床 的结构 和 公路 路 基 相 比有 着 比较 大 的弹 性 缓 冲 区 间 ， 因而 在 动 载荷 下 ， 轨 道 的垂 向 位 移 要 远 远 大 于 公 路 路 面 的位 移 量 同 时 ， 经 过 对 动 载 时 间点 的逐渐 离散 ， 可 以发 现 位 移 的变化 也 呈 现 出 比较 明显 的周 期 性 如 图 ， 并 且位 移 的大 小基 本 上 保 持 在 一 个 比较 稳 定 的 范 围 冬 丫 笋 ， 铲 图 单 元 节点 力表 示 · 示 为 日 · 尽勺 刁 、 △心 一 、 一 令 一 侧厕脚侧 八口八勺户勺八守八口沪口 对 式 中 ， 表 示 单 元 的质 量 ， ， △ 表 示 计 算 时 间及 时 间增 量 在 动 载 作 用 下 ， 承 载 体单 元 的法 向应 力和 剪 应 力 可 以根 据 应 力 在 岩 土 体 中 的应 力 传 播 速 度 来 表 示 氏 助 叭 氏 ︸日 图 动 载下 轨道 垂 向位 移 的 变化 曲线 协 一 甲 仄不佑乃 厄 不厂一 ， 认 一 刁下 、 根 据 铁 路 的位 移 和 应 力 变 化 情 况 ， 边 坡 的动 载 分 析 中将 车辆 的动 载频 率 设 置 为 为 分 析 方 便 ， 动 载 的作 用 时 间则 可 以和 公 路 载 荷 保 持 一 致 ， 设 置 为 边 坡 的 失稳 分 析 分 析 方 法 根 据 上 面 的 分析 ， 得 出 了 两 种 不 同载 荷 的 时 程 曲线 ， 并 由 曲线 的变 化 规 律 得 出 了两 种 载 荷 的 “ 有 害 ” 频 率 和 “ 有 害 ” 动 载 时 间 根据 动 力 学方 程 十 更 式 中 ， ， ， 分 别 表 示 承 载 结构 的质 量 矩 阵 、 阻 尼 矩 阵和 刚度 矩 阵 ， 则表 示 载 荷 矩 阵 在 计 算 过 程 中 ， 就 结 构 的 单 一 计 算 单 元 而 言 ， 其 单 元 载 荷 可 以 以节 点 力 的方 式 表 示 图 表 示 承 载 结 构 中 的一 个 离 散 单 元 ， 单 元 中夕表 示 每 一 个 边 界 的长 度 ， 从 ， 表 示 不 同 的 方 向矢 量 ， 则 节 点 力 可 以表 示 为 如 下 形 式 式 中 ， ， 分 别 表 示 应 力 波 的 波 波 速 和 波 波 速 ， ， ， 则 分 别 表 示 单 元 的法 向运 动 速 度 和 切 向 运 动 速 度 ， 表 示 承 载 体 的密 度 ， ， 表 示 承 载 体 的剪 切 模 量 和 体 积 模 量 承 载 体 的 阻 尼 可 以根 据 一 动 载 理 论 将 其 分 为 质 量 阻 尼 和 刚度 阻 尼 两 部 分 「 ， 其表 示 方 法 为 “ 杯切了 式 中 ， ， 刀分 别 表 示 结 构 的质 量 阻 尼 和 刚度 阻 尼 常 数 在 多 自由度 的情 况 下 ， 可 以根 据 承 载 体 临界 角 频 率 由本 征 值 确 定 ， 求 得 临 界 阻 尼 比 一 召牛切田 ‘ 气 忆 少 式 中 ， 春 ， 。 ‘分 别 表 示 结 构 单 元 的 临 界 阻 尼 比 和 临 界 角频 率 刚度 阻 尼 下 ， 结 构 的计 算 时 步 增 量 可 表 示 为 不丁不 凸今一 丽 气丫 ‘拟一式 一 如 “ ’ ” 根 据 牛 顿 第 二 定律 ， 节 点 的位 移速 度 可 以表 式 中 ， 又表 示 承 载 结 构 的本 征 值 分 析 模 型 根 据 国道 某 土 质 边 坡 的工 程 实 际 ， 利 用 建 立 了分 析 模 型 如 图 为保 证 计 算 的 准 确 性 ， 模 型 中每 一 个 计 算 网 格 所 代 表 的实 际尺 寸 为 模 型 中 的边 界 条 件 ， 采 用 了动 载 分 析 中的粘 弹 性 边 界 ， 各种 不 同承 载 体之 间 的接 触
。114 北京科技大学学报 2003年第2期 (a)计算网格 38)位于坡体的顶部、单元(81,24)位于坡体的中 0.75 间，而单元(54,12)则在底部.如图11，初始的扰动 较大，但是随着时间的增加，坡体在水平方向上 0.25 的位移速度和位移值逐渐趋于相对稳定的状态， 2.57.5 12.517.522.527.5 这说明在无外来载荷干扰的情况下，坡体的自稳 X/m 定性较好，尤其是坡体的底部位置单元(54,12)， b)模型的材料属性和边界条件 其稳定性更为明显， 1.0 (a) (54,12) 0.5 图10坡体的计算模型及边界条件 0.5 Fig.10 Numerical model and boundary condition (81,24) -1.0 (107,33) 面采用计算软件中的interface模式，其中接触 -1.5 面处的法向应力和切向应力以及极限破裂函数 可以用下式表示： 46810121416 F=F-k△wrL 计算时步10 F*w=F-k△*2L (13) 0 (b) Fma =cL+Ftano (54,12) 式中，k,k分别表示接触面的法向刚度和切向刚 0.5 度，L是接触面的有效长度，c,中是沿接触面长度 -1.0 的内聚力和内摩擦角. -1.5 (105,38) 模型中不同材料的力学性能如表3. -2.0 表3模型中材料的计算参数 -2.5 (81,24) Table 3 Material Parameters of the numerical model 材料剪切模量Pa弹性模量Pa泊松比密度kgm) 6810121416 计算时步10 道床 1.66×109 2.68×10 2500 路基 3.66×10 0.23 1920 图11自重应力场下坡体水平方向上的位移速度(a)和 右边坡 4.35×10 0.25 1850 位移变化b) 左边坡 2.67×10 0.23 1850 Fig.11 Curves of X-displacement velocity and X-displace- 路面 1.66×10° 2.68×10° ment vs number of computing steps under the gravity con- 材料 内聚力Ra内摩擦角()阻尼系数 本构关系 dition 道床 0.0003 弹性体 (2)图12表示在铁路载荷作用下坡体在水平 路基 1.43×10 27 0.0005 M-C 方向的位移速度和位移变化情况，在铁路动载作 右边坡 1.33×105 21 0.0005 M-C 用下，载荷初期，坡体各个位置上的单元均受到 左边坡 1.43×10 27 0.0005 M-C 了不同程度上的扰动.但是随着时间的推移，坡 路面 蝉性体 体中间部位和上部单元的扰动程度逐渐降低，而 23结果分析 下部的单元位移的位移速度和位移变化趋势仍 根据两种不同动载荷的作用结果，在分析 然处于比较明显的上升过程，这说明坡体下部的 中，按四种情况分别对坡体在水平方向上的位移 铁路载荷在坡体的扰动范围比较小. 速度以及位移变化情况进行了分析： (3)在单一公路载荷作用下坡体的位移速度 (1)无外来载荷，坡体在自重应力场作用下 及位移变化过程情况.见图13，在这一载荷作用 的位移变化情况.为能说明问题，计算中在坡体 下，坡体中所有位置的单元所受到的扰动几乎都 (距离坡面2m)的上、中、下分别取一个计算单元 大于铁路动载.随着时间的增加，坡体中各个位 用于观察整个边坡的变化情况，其中单元(105， 置上的单元体在水平方向上的位移和位移速度
北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 遥 卜 协牛用井目瀚川牛用淮乍珊眼毋 潍巅鬃 义 模型的材料属性和 位 于 坡 体 的顶 部 、 单 元 ， 位 于 坡 体 的 中 间 ， 而 单 元 ， 则 在 底 部 如 图 ， 初 始 的扰 动 较 大 ， 但 是 随着 时 间 的增 加 ， 坡 体 在 水 平 方 向上 的位 移速 度 和 位 移 值 逐 渐 趋 于 相 对 稳 定 的状 态 ， 这 说 明在 无 外 来 载 荷 干 扰 的情 况 下 ， 坡 体 的 自稳 定 性 较 好 ， 尤 其 是 坡 体 的底 部 位 置 单 元 ， ， 其 稳 定 性 更 为 明显 〕〕 ︵ 一一， 纂 夔 ︾昌少 图 坡体 的计 算模 型 及 边 界 条 件 一 面 采 用 计 算 软 件 中 的 模 式 【 」， 其 中接 触 面 处 的法 向应 力 和 切 向应 力 以及 极 限破 裂 函 数 可 以用 下 式表 睽 酬式 示 一 一 ” 尺 一 神 梦 、 袱 △ ‘ 睽 帅 叹 二 脚计 算 时 步 ， 之堵已 式 中 ， 戍 ， 分 别 表 示 接 触 面 的法 向刚度 和 切 向刚 度 ， 是 接 触 面 的有 效 长 度 ， ， 沪是 沿 接 触 面 长 度 的 内聚 力 和 内摩 擦 角 模 型 中不 同材 料 的 力 学 性 能 如 表 表 模 型 中材料 的计 算参 数 恤 一 一 材 料 道 床 路 基 右 边 坡 左 边 坡 路 面 材料 道 床 路 基 右 边 坡 左 边 坡 路 面 剪 切 模 量用 弹性 模量爪 泊 松 比 密 度 · 一 今 内聚 力用 内摩擦 角 阻 尼 系数 本构 关 系 一 只 弹 性 体 刀一 材一 几了一 弹 性 体 结 果 分 析 根 据 两 种 不 同 动 载 荷 的 作 用 结 果 ， 在 分 析 中 ， 按 四种 情 况 分 别 对 坡 体 在 水 平 方 向上 的位 移 速 度 以及 位 移 变 化 情 况 进 行 了分 析 无 外 来 载 荷 ， 坡 体 在 自重 应 力 场 作 用 下 的位 移 变 化 情 况 为 能 说 明 问题 ， 计 算 中在 坡 体 距 离坡 面 的上 、 中 、 下 分 别 取 一 个 计 算 单 元 用 于 观 察 整 个 边 坡 的变 化 情 况 ， 其 中单 元 ， 计 算 时步 图 自重应 力场 下 坡体 水平 方 向上 的位 移 速度 和 位移变化 图 表 示 在 铁 路 载 荷 作 用 下 坡 体 在 水 平 方 向的位 移 速 度 和 位 移 变 化 情 况 在 铁 路 动 载 作 用 下 ， 载 荷 初 期 ， 坡 体 各 个 位 置 上 的单 元 均 受 到 了不 同程 度 上 的扰 动 但 是 随着 时 间 的推 移 ， 坡 体 中 间部位 和 上 部 单 元 的扰 动 程 度 逐 渐 降低 ， 而 下 部 的 单 元 位 移 的位 移 速 度 和 位 移 变 化 趋 势 仍 然 处 于 比较 明显 的上 升 过 程 这 说 明坡 体 下 部 的 铁 路 载 荷 在 坡 体 的扰 动 范 围 比较 小 在 单 一 公 路 载 荷 作 用 下 坡 体 的位 移 速 度 及 位 移 变 化 过 程 情 况 见 图 ， 在 这 一 载 荷 作 用 下 ， 坡 体 中所 有 位 置 的单 元 所 受 到 的扰 动 几 乎 都 大 于 铁 路 动 载 随着 时 间 的增 加 ， 坡 体 中各 个 位 置 上 的单 元 体 在 水 平 方 向上 的位 移 和 位 移 速 度