第3章静态电磁场及其边值问题的解 例3.1.1求电偶极子的电位. 解在球坐标系中 P(r,0,) )=9 9-1 4π0 4π802 =r2+(d12)2-rdcos0 r,=r2+(d12)2+rdcos0 电偶极子 d d 用二项式展开，由于r>d,得万=7-2cos0,6=r+2os8 代入上式，得 p(F)=qd cose p.e p.T 4π80r2 4π80r2 4元8r3 p=qd表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 11 例 3.1.1 求电偶极子的电位. 解 在球坐标系中 1 2 2 1 0 1 2 4π 0 ) 1 1 ( 4π ( ) rr q r r r r q r − = − = ( / 2) cos ( / 2) cos 2 2 2 2 2 1 r r d rd r r d rd = + + = + − cos 2 2 d 用二项式展开，由于 r d ，得 cos , r = r + 2 1 d r = r − 3 0 2 0 2 4π 0 4π 4π cos ( ) r r r r qd r r = = = p e p 代入上式，得 p qd表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。 = +q 电偶极子 z d o －q 1 r 2 r r P(r,,)
电磁场与电磁波 第3章静态电磁场及其边值问题的解 12 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度 r∂0 rsinθaw (e,2c0s0+2osin 4π8，r 等位线方程： pcos0 4π8r2 =C→r2=C'cos0 电场线微分方程： dr rde E,E。 电场线 将E和E代入上式，解得E线方程为 .等位线 电偶极子的场图 r=C sin20
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 12 E r E r r d d = 2 1 r = C sin 将 E 和 代入上式，解得E 线方程为 Er 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度 ( 2cos sin ) 4π 3 0 e e = r + r q ) sin 1 1 ( ) ( + + = − = − r e r e r E r er 'cos 2 C r = C r p = 2 4π 0 cos 等位线 电场线 电偶极子的场图 电场线微分方程： 等位线方程：
电磁场与电磁烟 第3章静态电磁场及其边值问题的解 13 例3.1.2求均匀电场的电位分布。 解选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P的 位置矢量为r,则 P-o0o=五nd=-瓦nd正=-瓦，r 若选择点O为电位参考点，即p(O)=0,则 (P)=E 0 在球坐标系中，取极轴与 的方向一致 即 ,则有E。 (P)=-Eo=-E=-Eorcos0 在圆柱坐标系中，取E,与x轴方向一致，即E。=eE。,而 下=epp+e2,故 (P)=-EF=-i.Eo(@,P+e.=)=-EoPcosg
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 13 解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P 的 位置矢量为r ，则 0 0 0 ( ) ( ) d d P P o O P O E l E r E r − = = − = − 若选择点O为电位参考点，即 ( ) 0 O = ，则 0 ( ) P E r = − 0 0 0 ( ) cos P E r e r E E r = − = − = − z 在球坐标系中，取极轴与 的方向一致， 即 ，则有 E e E 0 0 = z E0 0 0 0 ( ) ( ) cos P E r e E e e z E = − = − + = − x z z r e e z = + 在圆柱坐标系中，取 与x 轴方向一致，即 ，而 ，故 E0 E e E 0 0 = x E0 x z O P r 例3.1.2 求均匀电场的电位分布
电诚场与电磁波 第3章静态电兹场及其边值问题的解 14 例3.1.3求长度为2L、电荷线密度为p。的均匀带电线的电位。 解采用圆柱坐标系，令线电荷与：轴相重合，中点位于坐 标原点。由于轴对称性，电位与无关。 在带电线上位于z处的线元d=d止'，它 (p,o.z) 到点P(P,的距离R=√p2+(2-)2, 则 o) dl'dz' =Po-In[z'-:+yp"+(-] 4π80 PoIn+(=-L)"-(E-L) 4元80 Vp2+(z+L)2-(z+L)
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 14 x y z L -L ( , , ) z z' d d l z = R z 解 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐 标原点。由于轴对称性，电位与 无关。 在带电线上位于 处的线元 ，它 到点 的距离 ， 则 2 2 R z z = + − ( ) d d l z = P z ( , , ) 0 2 2 0 1 ( ) d 4π ( ) L l L r z z z − = + − 0 2 2 0 ln[ ( ) ] 4π L l L z z z z − = − + + − 2 2 0 2 2 0 ( ) ( ) ln 4π ( ) ( ) l z L z L z L z L + − − − = + + − + 例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 l 0 的均匀带电线的电位
电磁场与电 第3章静态电磁场及其边值问题的解 15 在上式中若令L→>∞，则可得到无限长直线电荷的电位。当 L>R时，上式可写为 F) Pio In p2++L≈Pn 2L 4π60 vp2+P-L 2T60 0 当L→○时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区 域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上 一个任意常数，则有 2L p(F)= 2T60 并选择有限远处为电位参考点。例如，选择p=α的点为电位参 考点，则有 2L C= →p()= Pio In a 2元80 a
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 15 2 2 2 2 000 2 2 000 2 ( ) ln ln ln 4π 2π 2π lll L L L L L r L L + + + + = + − 在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当 L R 时，上式可写为 L → 当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区 域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上 一个任意常数，则有 L → 0 0 2 ( ) ln 2π l L r C = + 并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ= a 的点为电位参 考点，则有 0 0 2 ln 2π l L C a = − 0 0 ( ) ln 2π l a r =