纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用

第36卷第6期 北京科技大学学报 Vol.36 No.6 2014年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2014 纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 朱维耀，马千，邓佳四，马东旭，宋智勇，岳明 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:dengjia_123@126.com 摘要对纳微米级孔隙多孔介质内的气体流动进行了研究.利用克努森数划分流态，绘制了流态图版，阐明了不同区域的 流动特征.基于Beskok--Karniadakis模型，对渗透率校正系数进行了改进，引入多项式修正系数，将Beskok-Karniadakis模型简 化为二项式方程，并利用最小二乘法分段拟合得出多项式修正系数的取值.模型对比显示，简化后的模型具有较高的精确度. 应用此模型推导出了纳微米级孔隙气体流量的计算公式.进行了室内微观渗流模拟实验，得到气体平面单向渗流规律，与由 纳微米级孔隙气体流量公式计算所得渗流特征进行对比，结果显示本模型与实验数据拟合较好.采用本模型进行编程计算， 对其影响因素进行分析，发现气体流量随压力平方差增加而增大，且增加趋势越来越快，并随多孔介质渗透率和克努森扩散 系数的增加而增大. 关键词多孔介质：纳微米级孔隙：气体流动：渗透率：数学模型：流动模型 分类号TE37 Mathematical model and application of gas flow in nano-micron pores ZHU Wei-yao,MA Qian,DENG Jia,MA Dongu,SONG Zhi-yong,YUE Ming School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:dengjia_123@126.com ABSTRACT This article focuses on gas flow regularity in nano-micron porous media.The flow state was judged by Knudsen number, and then the flow state chart was drawn.The flow characteristics were illustrated for different regions.The correction coefficient of per- meability was improved based on the Beskok-Kamiadakis model.By introducing polynomial correction coefficients,the Beskok-Kar- niadakis model was simplified to a binomial equation,and the values of polynomial correction coefficients were obtained by the least squares method.Compared with the Beskok-Karniadakis model,the simplified model has high accuracy.The flow rate equation in nano-micron porous media was developed based on the simplified model.The gas unidirectional seepage law was derived from indoor micro seepage experiment.The flow rate equation in nano-micron porous media agrees with experimental data.Factors influencing the gas flow rate were numerically studied by programming on the base of this model.It is found that the gas flow rate increases more and more quickly with the pressure square difference,and increases with the permeability of porous media and the Knudsen diffusion coeffi- cient. KEY WORDS porous media:nano-micron pores:gas flow;permeability:mathematical models:flow models 多孔介质内流体流动问题的研究己成为很制.因此，深入了解流体在多孔介质内的流动特 多应用科学和工程技术领域的基础，诸如土壤力 性有着重大的实际意义、通常，模拟流体流动时 学、地下水水文学、石油工程、水的净化、工业过采用连续假设或者分子假设，连续假设适用于很 滤、陶瓷工程、粉末治金和防毒（气体）面罩的研 多的流动状态.但是，随着系统长度尺度的减少， 收稿日期：201303-29 基金项目：国家重点基础研究发展计划资助项目(2013CB228002):提高油气采收率教有部重点实验室开放课题资助项目(NEPU-E0R-2012- 003) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.06.001:http:/journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 6 期 2014 年 6 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 6 Jun． 2014 纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 朱维耀，马 千，邓 佳，马东旭，宋智勇，岳 明 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083  通信作者，E-mail: dengjia_123@ 126． com 摘 要 对纳微米级孔隙多孔介质内的气体流动进行了研究． 利用克努森数划分流态，绘制了流态图版，阐明了不同区域的 流动特征． 基于 Beskok--Karniadakis 模型，对渗透率校正系数进行了改进，引入多项式修正系数，将 Beskok--Karniadakis 模型简 化为二项式方程，并利用最小二乘法分段拟合得出多项式修正系数的取值． 模型对比显示，简化后的模型具有较高的精确度． 应用此模型推导出了纳微米级孔隙气体流量的计算公式． 进行了室内微观渗流模拟实验，得到气体平面单向渗流规律，与由 纳微米级孔隙气体流量公式计算所得渗流特征进行对比，结果显示本模型与实验数据拟合较好． 采用本模型进行编程计算， 对其影响因素进行分析，发现气体流量随压力平方差增加而增大，且增加趋势越来越快，并随多孔介质渗透率和克努森扩散 系数的增加而增大． 关键词 多孔介质; 纳微米级孔隙; 气体流动; 渗透率; 数学模型; 流动模型 分类号 TE37 Mathematical model and application of gas flow in nano-micron pores ZHU Wei-yao，MA Qian，DENG Jia ，MA Dong-xu，SONG Zhi-yong，YUE Ming School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: dengjia_123@ 126． com ABSTＲACT This article focuses on gas flow regularity in nano-micron porous media． The flow state was judged by Knudsen number， and then the flow state chart was drawn． The flow characteristics were illustrated for different regions． The correction coefficient of per￾meability was improved based on the Beskok-Karniadakis model． By introducing polynomial correction coefficients，the Beskok-Kar￾niadakis model was simplified to a binomial equation，and the values of polynomial correction coefficients were obtained by the least squares method． Compared with the Beskok-Karniadakis model，the simplified model has high accuracy． The flow rate equation in nano-micron porous media was developed based on the simplified model． The gas unidirectional seepage law was derived from indoor micro seepage experiment． The flow rate equation in nano-micron porous media agrees with experimental data． Factors influencing the gas flow rate were numerically studied by programming on the base of this model． It is found that the gas flow rate increases more and more quickly with the pressure square difference，and increases with the permeability of porous media and the Knudsen diffusion coeffi￾cient． KEY WOＲDS porous media; nano-micron pores; gas flow; permeability; mathematical models; flow models 收稿日期: 2013--03--29 基金项目: 国家重点基础研究发展计划资助项目( 2013CB228002) ; 提高油气采收率教育部重点实验室开放课题资助项目( NEPU--EOＲ--2012-- 003) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 06． 001; http: / /journals． ustb． edu． cn 多孔介质内流体流动问题的研究已成为很 多应用科学和工程技术领域的基础，诸如土壤力 学、地下水 水 文 学、石 油 工 程、水 的 净 化、工 业 过 滤、陶瓷工程、粉末冶金和防毒( 气体) 面罩的研 制． 因此，深入了解流体在多孔介质内的流动特 性有着重大的实际意义． 通常，模拟流体流动时 采用连续假设或者分子假设，连续假设适用于很 多的流动状态． 但是，随着系统长度尺度的减少

·710 北京科技大学学报 第36卷 如纳微米级孔隙，其孔隙通道的几何尺寸非常 Kn=A (1) 小，几乎可以与气体分子的平均自由程相比拟， 此时克努森数Kn(定义为分子自由程和特征长 式中：入为气体分子平均自由程，m;r为孔喉半 度的比值)相对较大，气体在这种多孔介质内流 径，m. 动时，分子与孔壁的碰撞较剧烈，会在壁面处产 KgT λ (2) 生滑移，对气体的传输有很大的影响.所以，对于 √iπ8p 这种纳微米级尺度的渗流，需考虑微尺度效应， 式中：K为玻尔兹曼常数，1.3805×10-28JK-1:δ 连续性假设不成立) 为气体分子的碰撞直径；T为温度：p为压力 物理学中对流体的描述分为三个层次：(1)分 表1为不同气体组分的分子碰撞有效直径，由 子层次，立足分子动力学，研究分子碰撞的微观机 表1及式(2)可以得到气体分子平均自由程与压力 理：(2)动力学层次（介观层次），用非平衡态统计物 和温度的关系，见图1. 理的方法研究流体，经典的动力学方程是玻尔兹曼 表1不同气体组分的分子碰撞有效直径 方程；(3)流体力学层次，是宏观层次，所用的基本 Table 1 Gas molecule collision diameter of different components 方程是Navier-Stokes方程.目前，多孔介质内的流 组分 体积分数/% 分子碰撞有效直径/nm 体流动描述一般采用第3个层次回.然而对内部孔 CH, 87.4 0.40 隙结构复杂的纳微米级孔隙多孔介质，其孔隙尺度 C2Hs 0.12 0.52 主要分布在纳微米级，很难用以上三种流动层次来 C02 12.48 0.45 描述流动特征 2001年，Karniadakis和BeskokC-得出了在连 80r 续介质、滑移、对流和不同分子类型下的渗透率变化 70h 表达式，得到了普遍适用于连续流区、滑移流区、过 —7T=300K --…7=350K 渡流区和自由分子流区的理想气体流动方程.2007 器 ---7=400K 年，Florence等对Beskok--Karniadakis模型进行了 40 扩展，提出纳微米级孔隙多孔介质渗透率变化只与 30 克努森数有关，并给出了渗透率受克努森数影响的 20 关系式，但此关系式具有很强的非线性特征.本文 基于Beskok-Karniadakis模型，对纳微米级孔隙内 1+ 的气体流动方程进行了改进，提出多项式修正系数， 10 10° 10 压力，pPa 对Beskok一Karniadakis模型进行简化和推广，建立 图1气体分子平均自由程与压力和温度的关系 了适用于不同流态的纳微米级孔隙内气体流动数学 Fig.I Curves of gas molecular mean free path changing with pres- 模型，并应用此模型推导出了纳微米级孔隙多孔介 sure and temperature 质内的气体流量公式 图2为不同尺度下的克努森数随压力变化的关 1 纳微米级孔隙气体流动数学模型 系.由图2可以看出，随着压力增大，在双对数坐标 1.1流态分析 系，克努森数呈线性减小.根据克努森数数值的大 20O2年，Civan研究指出气体在微孔介质中的 小，可将多孔介质内的流动划分为不同的流态，即为 流动状态取决于多孔介质本身的物理性质和气体分 连续流（黏滞流）、滑移流、过渡流及自由分子流（克 子平均自由程，并归纳总结Liepmann、Stahl、Kaviany 努森流).当Kn≤0.001时，流动为连续流，无滑移 等的研究成果，提出利用克努森数划分气体流动 边界，处于连续流区，可用传统的达西定律来描述； 区域，把多孔介质内的气体流动分为三个区域： 当0.001<Kn≤0.1时，流动为滑移流，存在滑移边 (1)克努森流区域：(2)过渡或滑移流区域：(3)黏 界，处于滑移区：当0.1<Kn≤10时，流动为过渡 滞流区域D- 流，存在滑移效应，处于过渡区；当Kn>10时，流动 克努森数K是一个被广泛认可的量纲为一的 为自由分子流，处于自由分子区，用菲克定律描 参数P-0,用来判断流体是否适合连续性假设，其 述山.对纳微米级孔隙多孔介质，在压力为0.1~ 定义为 100MPa范围内，克努森数小于10，因此本文所研究

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 如纳微 米 级 孔 隙，其孔隙通道的几何尺寸非常 小，几乎可以与气体分子的平均自由程相比拟， 此时克努森数 Kn ( 定义为分子自由程和特征长 度的比值) 相对较大，气体在这种多孔介质内流 动时，分子与孔壁的碰撞较剧烈，会在壁面处产 生滑移，对气体的传输有很大的影响． 所以，对于 这种纳微米级尺度的渗流，需考虑微尺度效应， 连续性假设不成立［1］． 物理学中对流体的描述分为三个层次: ( 1) 分 子层次，立足分子动力学，研究分子碰撞的微观机 理; ( 2) 动力学层次( 介观层次) ，用非平衡态统计物 理的方法研究流体，经典的动力学方程是玻尔兹曼 方程; ( 3) 流体力学层次，是宏观层次，所用的基本 方程是 Navier--Stokes 方程． 目前，多孔介质内的流 体流动描述一般采用第 3 个层次［2］． 然而对内部孔 隙结构复杂的纳微米级孔隙多孔介质，其孔隙尺度 主要分布在纳微米级，很难用以上三种流动层次来 描述流动特征． 2001 年，Karniadakis 和 Beskok ［3 － 5］得出了在连 续介质、滑移、对流和不同分子类型下的渗透率变化 表达式，得到了普遍适用于连续流区、滑移流区、过 渡流区和自由分子流区的理想气体流动方程． 2007 年，Florence 等［6］对 Beskok--Karniadakis 模型进行了 扩展，提出纳微米级孔隙多孔介质渗透率变化只与 克努森数有关，并给出了渗透率受克努森数影响的 关系式，但此关系式具有很强的非线性特征． 本文 基于 Beskok--Karniadakis 模型，对纳微米级孔隙内 的气体流动方程进行了改进，提出多项式修正系数， 对 Beskok--Karniadakis 模型进行简化和推广，建立 了适用于不同流态的纳微米级孔隙内气体流动数学 模型，并应用此模型推导出了纳微米级孔隙多孔介 质内的气体流量公式． 1 纳微米级孔隙气体流动数学模型 1. 1 流态分析 2002 年，Civan 研究指出气体在微孔介质中的 流动状态取决于多孔介质本身的物理性质和气体分 子平均自由程，并归纳总结 Liepmann、Stahl、Kaviany 等的研究成果，提出利用克努森数划分气体流动 区域，把多孔介质内的气体流动分为三个区域: ( 1) 克努森流区域; ( 2) 过渡或滑移流区域; ( 3) 黏 滞流区域［7 － 8］． 克努森数 Kn 是一个被广泛认可的量纲为一的 参数［9 － 10］，用来判断流体是否适合连续性假设，其 定义为 Kn = λ r ． ( 1) 式中: λ 为气体分子平均自由程，m; r 为 孔 喉 半 径，m． λ = KB T 槡2πδ 2 p ． ( 2) 式中: KB 为玻尔兹曼常数，1. 3805 × 10 － 23 J·K － 1 ; δ 为气体分子的碰撞直径; T 为温度; p 为压力． 表 1 为不同气体组分的分子碰撞有效直径，由 表 1 及式( 2) 可以得到气体分子平均自由程与压力 和温度的关系，见图 1． 表 1 不同气体组分的分子碰撞有效直径 Table 1 Gas molecule collision diameter of different components 组分 体积分数/% 分子碰撞有效直径/nm CH4 87. 4 0. 40 C2H6 0. 12 0. 52 CO2 12. 48 0. 45 图 1 气体分子平均自由程与压力和温度的关系 Fig． 1 Curves of gas molecular mean free path changing with pres￾sure and temperature 图 2 为不同尺度下的克努森数随压力变化的关 系． 由图 2 可以看出，随着压力增大，在双对数坐标 系，克努森数呈线性减小． 根据克努森数数值的大 小，可将多孔介质内的流动划分为不同的流态，即为 连续流( 黏滞流) 、滑移流、过渡流及自由分子流( 克 努森流) ． 当 Kn≤0. 001 时，流动为连续流，无滑移 边界，处于连续流区，可用传统的达西定律来描述; 当 0. 001 ＜ Kn≤0. 1 时，流动为滑移流，存在滑移边 界，处于滑移区; 当 0. 1 ＜ Kn≤10 时，流动为过渡 流，存在滑移效应，处于过渡区; 当 Kn ＞ 10 时，流动 为自 由 分 子 流，处于自由分子区，用 菲 克 定 律 描 述［11］． 对纳微米级孔隙多孔介质，在压力为 0. 1 ～ 100 MPa 范围内，克努森数小于 10，因此本文所研究 ·710·

第6期 朱维耀等：纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 711· 流态不涉及自由分子流.微米级孔隙内的流动为连 10 续流和滑移流，当孔隙直径大于50μm时，流体流动 均为连续流动，压力增高使得部分滑移流转换为连 续流：纳米级孔隙内的流动多以过渡流、滑移流为 主，压力增高使得部分转换为滑移流或连续流 10 A ---d=50μm ---de10μm 10 d=1 um ---d=300nm 10 ---d-10nm 10-2L 19 102 10 10 1010 103- 克努森数，初 10- 连续流区 图3渗透率校正系数随克努森数变化的双对数曲线 10 Fig.3 Double logarithm curve of permeability correction coefficient changing with Knudsen number 10 10 p/MPa 1.3模型简化及推广 图2不同尺度下的克努森数与压力的关系 在压力为0.1~100MPa范围内，由图2可以看 Fig.2 Relationship between Knudsen number and pressure for dif- 出，对连续和滑脱流区，克努森数Kn小于0.1.二 ferent pore throat diameters 阶及高阶项可以忽略，用一阶泰勒展开式的前两项 1.2纳微米级孔隙气体流动模型 来表示Beskok-Karniadakis模型中的渗透率校正系 流体在多孔介质内的流动问题通常可以用达西 数，则 定律进行描述.然而，达西定律是一个基于宏观观 ≈ 器“-号4 (6) 测的实验定律.对于纳微米级孔隙多孔介质，其内 部孔隙结构复杂，气体流动过程中与纳微米孔道表 Kn ≈Km(1-Kn+Kn2), (7) 1+Kn 面发生剧烈碰撞、扩散作用，同时由于滑移等现象的 联立式(5)~(7)，可得 存在，不能用简单的达西方程所描述☒ Beskok-Karniadakis模型得出了在连续介质、滑 5=1+4kn-4n2+52m_ 5m2- 移、对流和不同分子类型下的渗透率的变化-， 8192Kn22,2048Kn24 从而得到渗流速度为 45m2+ 15m2+o(Km). (8) e=-+1+k)出 将式(8)的渗透率校正系数！代入式(3)的渗 (3) 流速度公式具有很强的非线性特征，不易求解，应用 式中：K为多孔介质渗透率为气体黏度；x为两个 价值不大.因此，对式(8)得到的渗透率校正系数进 渗流截面间的距离；α为稀疏因子；b为滑移系数， 行简化，只取其前两项. 通常被指定为-1.稀疏因子α是唯一的经验参数， =1+4Kn. (9) 由Beskok-Karniadakis给出： 在此，引入多项式修正系数a,即在克努森数 128 Q= 15an(4Kn) (4) Kn上乘以一个修正系数a,对式(9)进行修正，使简 化后的二项式在计算中能够保证较高的精确度.由 在此，引入渗透率校正系数(，定义如下： 此得到纳微米级孔隙多孔介质内气体流动模型，其 (=1+a1+%） 渗透率校正系数为 (5) =1 +4aKn. (10) 图3为渗透率校正系数（随克努森数K变化 利用式(11)最小二乘法分段拟合方法，与Bes- 的双对数曲线.此处，克努森数数值越接近于零说 kok-Karniadakis模型得到的渗透率校正系数进行拟 明孔壁的影响越小，可以忽略：克努森数数值越大说 合，得到最为匹配的a值. 明传输定律需要校正而不能用没有考虑滑移的达西 p=∑(Y-y)2 (11) 定律 其中

第 6 期 朱维耀等: 纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 流态不涉及自由分子流． 微米级孔隙内的流动为连 续流和滑移流，当孔隙直径大于 50 μm 时，流体流动 均为连续流动，压力增高使得部分滑移流转换为连 续流; 纳米级孔隙内的流动多以过渡流、滑移流为 主，压力增高使得部分转换为滑移流或连续流． 图 2 不同尺度下的克努森数与压力的关系 Fig． 2 Ｒelationship between Knudsen number and pressure for dif￾ferent pore throat diameters 1. 2 纳微米级孔隙气体流动模型 流体在多孔介质内的流动问题通常可以用达西 定律进行描述． 然而，达西定律是一个基于宏观观 测的实验定律． 对于纳微米级孔隙多孔介质，其内 部孔隙结构复杂，气体流动过程中与纳微米孔道表 面发生剧烈碰撞、扩散作用，同时由于滑移等现象的 存在，不能用简单的达西方程所描述［12］． Beskok--Karniadakis 模型得出了在连续介质、滑 移、对流和不同分子类型下的渗透率的变化［13 － 14］， 从而得到渗流速度为 v = － K0 μ ( 1 + αKn ( ) 1 + 4Kn 1 － ) bKn ·dp dx ． ( 3) 式中: K0为多孔介质渗透率; μ 为气体黏度; x 为两个 渗流截面间的距离; α 为稀疏因子; b 为滑移系数， 通常被指定为 － 1． 稀疏因子 α 是唯一的经验参数， 由 Beskok--Karniadakis 给出: α = 128 15π2 tan － 1 ( 4Kn0. 4 ) ． ( 4) 在此，引入渗透率校正系数 ζ，定义如下: ζ = ( 1 + αKn ( ) 1 + 4Kn 1 + ) Kn ． ( 5) 图 3 为渗透率校正系数 ζ 随克努森数 Kn 变化 的双对数曲线． 此处，克努森数数值越接近于零说 明孔壁的影响越小，可以忽略; 克努森数数值越大说 明传输定律需要校正而不能用没有考虑滑移的达西 定律． 图 3 渗透率校正系数随克努森数变化的双对数曲线 Fig． 3 Double logarithm curve of permeability correction coefficient changing with Knudsen number 1. 3 模型简化及推广 在压力为 0. 1 ～ 100 MPa 范围内，由图 2 可以看 出，对连续和滑脱流区，克努森数 Kn 小于 0. 1． 二 阶及高阶项可以忽略，用一阶泰勒展开式的前两项 来表示 Beskok--Karniadakis 模型中的渗透率校正系 数，则 α≈ 128 15π2 [ 4Kn0. 4 － 1 3 ( 4Kn0. 4 ) ] 3 ， ( 6) Kn 1 + Kn ≈Kn( 1 － Kn + Kn2 ) ， ( 7) 联立式( 5) ～ ( 7) ，可得 ζ = 1 + 4Kn － 4Kn2 + 512 15 Kn1. 4 π2 － 8192 45 Kn2. 2 π2 + 2048 15 Kn2. 4 π2 + ο( Kn3 ) ． ( 8) 将式( 8) 的渗透率校正系数 ζ 代入式( 3) 的渗 流速度公式具有很强的非线性特征，不易求解，应用 价值不大． 因此，对式( 8) 得到的渗透率校正系数进 行简化，只取其前两项． ζ = 1 + 4Kn． ( 9) 在此，引入多项式修正系数 a，即在克努森数 Kn 上乘以一个修正系数 a，对式( 9) 进行修正，使简 化后的二项式在计算中能够保证较高的精确度． 由 此得到纳微米级孔隙多孔介质内气体流动模型，其 渗透率校正系数为 ζ = 1 + 4aKn． ( 10) 利用式( 11) 最小二乘法分段拟合方法，与 Bes￾kok--Karniadakis 模型得到的渗透率校正系数进行拟 合，得到最为匹配的 a 值． φ = ∑ ( Y1 － Y2 ) 2 ． ( 11) 其中， ·711·

·712· 北京科技大学学报 第36卷 4K 4aK2 Y,=1+aK,+1+K+1+K。 一Beskok-Kamiadakis模型 Y,=1+4aKn. 一一一纳微米级孔隙气体流动模型 由于本文所研究的克努森数Kn为连续变化 值，所以 连续流区 滑移流区 过渡流区 a-0 a=12 10 n=1.34 e=(出-y)2aKm (12) 式中，Kn,为各流动区域的克努森数下限（连续流、 滑移流和过渡流区域)，K2为各流动区域的克努森 数上限（连续流、滑移流和过渡流区域） 计算求得p取得最小值时的多项式修正系数a. 10-3 102 101 10 克努森数，Kn 前面，根据克努森数的不同划分了不同流态，对 不同的流态区域，利用最小二乘法分段进行拟合，得 图4纳微米级孔隙气体流动模型与Beskok-Kariadakis模型 对比 到三种不同流态下对应的近似线性函数. Fig.4 Comparison between the simplified model and the Beskok- g1(Kn)=1+4aKn0<Kn≤0.001， Kariadakis model g2(Kn）=1+4a2K0.001<Kn≤0.1， g3(Kn）=1+4a3Kn0.1<Kn≤10. 入= TZRT L (13) 分段拟合得到的多项式修正系数a值，如表2， 2M P' 并应用MATLAB作图，如图4. 4r 2ZRT Dx=3√mM (14) 图4为纳微米级孔隙多孔介质内气体流动模型 式中：R为通用气体常数，Jmol-1·K1:M为气体相 与Beskok-Karniadakis模型的对比图.由图4可以 看出，在不同的流动区域，本文提出的流动模型与 对分子质量：Z为气体压缩因子 将式(14)代入式(13)，得 Beskok-Karniadakis模型拟合误差很小，具有较高的 精确度. 3..Dk. λ二8rP (15) 综上所述，针对纳微米级孔隙多孔介质内的气 因此，克努森数 体流动，本文建立的纳微米级孔隙气体流动模型为 Kn=A=37..Dg (16) 后续的微尺度流动机理及工程应用提供了较便利的 方法，且具有较高的计算精确度，有很强的理论及工 所以，气体渗流速度 程应用性. K(1+4aKm）.史= =- 表2多项式修正系数的拟合值 dx Table 2 Fitted values of polynomial correction coefficients +罗知)战 (17) Kn 0 L\ 0-0.001 0 其中多孔介质渗透率 0.001~0.1 1.2 r 0.1~10 1.34 K0=8 (18) 将式(16)代入式(17)，得 2 纳微米级孔隙气体流量方程 v=- 对于均质的纳微米级孔隙多孔介质，气体在其 2 r 中流动时，由于纳微米级孔隙多孔介质渗透率极低， +器哈)喂 (19) 气体流动己偏离达西定律，扩散作用对多孔介质内 气体流动影响增加. 2.2考虑扩散及滑脱的流量方程 2.1考虑扩散及滑脱的运动方程 2.2.1平面单向流动流量方程 气体分子平均自由程的表达式由Guggenheim 对于平面单向流动，简化的物理模型如图5所 给出，克努森扩散系数(D.)由Civan给出s-,对 示.假设水平圆柱形多孔介质，渗透率为K,一端压 于理想气体 力P,另一端为排液道，其压力为P,圆柱长度为L

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 Y1 = 1 + αKn + 4Kn 1 + Kn + 4αK2 n 1 + Kn ， Y2 = 1 + 4aKn． 由于本文所研究的克努森数 Kn 为连续变化 值，所以 φ = ∫ Kn2 Kn1 ( Y1 － Y2 ) 2 dKn ( 12) 式中，Kn1为各流动区域的克努森数下限( 连续流、 滑移流和过渡流区域) ，Kn2为各流动区域的克努森 数上限( 连续流、滑移流和过渡流区域) ． 计算求得 φ 取得最小值时的多项式修正系数 a． 前面，根据克努森数的不同划分了不同流态，对 不同的流态区域，利用最小二乘法分段进行拟合，得 到三种不同流态下对应的近似线性函数． g1 ( Kn) = 1 + 4a1Kn 0 ＜ Kn≤0. 001， g2 ( Kn) = 1 + 4a2Kn 0. 001 ＜ Kn≤0. 1， g3 ( Kn) = 1 + 4a3Kn 0. 1 ＜ Kn≤10． 分段拟合得到的多项式修正系数 a 值，如表 2， 并应用 MATLAB 作图，如图 4． 图 4 为纳微米级孔隙多孔介质内气体流动模型 与 Beskok--Karniadakis 模型的对比图． 由图 4 可以 看出，在不同的流动区域，本文提出的流动模型与 Beskok--Karniadakis 模型拟合误差很小，具有较高的 精确度． 综上所述，针对纳微米级孔隙多孔介质内的气 体流动，本文建立的纳微米级孔隙气体流动模型为 后续的微尺度流动机理及工程应用提供了较便利的 方法，且具有较高的计算精确度，有很强的理论及工 程应用性． 表 2 多项式修正系数的拟合值 Table 2 Fitted values of polynomial correction coefficients Kn a 0 ～ 0. 001 0 0. 001 ～ 0. 1 1. 2 0. 1 ～ 10 1. 34 2 纳微米级孔隙气体流量方程 对于均质的纳微米级孔隙多孔介质，气体在其 中流动时，由于纳微米级孔隙多孔介质渗透率极低， 气体流动已偏离达西定律，扩散作用对多孔介质内 气体流动影响增加． 2. 1 考虑扩散及滑脱的运动方程 气体分子平均自由程的表达式由 Guggenheim 给出，克努森扩散系数( DK ) 由 Civan 给出［15 － 16］，对 于理想气体 图 4 纳微米级孔隙气体流动模型与 Beskok--Karniadakis 模 型 对比 Fig． 4 Comparison between the simplified model and the Beskok￾Karniadakis model λ = πZＲT 槡2M μ p ， ( 13) DK = 4r 3 2ZＲT 槡πM ． ( 14) 式中: Ｒ 为通用气体常数，J·mol － 1 ·K － 1 ; M 为气体相 对分子质量; Z 为气体压缩因子． 将式( 14) 代入式( 13) ，得 λ = 3π 8r ·μ p ·DK ． ( 15) 因此，克努森数 Kn = λ r = 3π 8r 2 ·μ p ·DK ． ( 16) 所以，气体渗流速度 v = － K0 ( 1 + 4aKn) μ ·dp dx = － K0 ( μ 1 + 3πa 2 μ r 2 DK 1 ) p ·dp dx ． ( 17) 其中多孔介质渗透率 K0 = r 2 8 ． ( 18) 将式( 16) 代入式( 17) ，得 v = － K0 ( μ 1 + 3πa 2 μ r 2 DK 1 ) p ·dp dx = － K0 ( μ 1 + 3πa 16K0 μDK ) p ·dp dx ． ( 19) 2. 2 考虑扩散及滑脱的流量方程 2. 2. 1 平面单向流动流量方程 对于平面单向流动，简化的物理模型如图 5 所 示． 假设水平圆柱形多孔介质，渗透率为 K，一端压 力 pe，另一端为排液道，其压力为 pw，圆柱长度为 L， ·712·

第6期 朱维耀等：纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 ·713· 横截面积为A,同时假设气体黏度为以，沿x方向 引入拟压力函数 流动. 可得 πKohZ.T-Pm,dn PeT dr (31) L 分离变量后进行积分，得出气体的质量流量表达 图5平面单向流模型 式，即 Fig.5 Schematic diagram of a planar unidirectional flow model 9m= rKhZ_TP（m.-mw） (32) 渗流速度 Pse TIn te (20) 整理可得气体的体积流量为 体积流量 9c= 2 mKohZ.Tx「P2-E+3 p.Tazn上l 2 mauDs(p.-p.) 16K (21) 质量流量 (33) q.=-（1+)业Ap, 式中：K为多孔介质渗透率，m2;h为多孔介质厚度， (22) 16K。p)dx m;Dk为克努森扩散系数，m2·s1;.为供给半径，m; TuZP.卫 (23) r为介质中心气井半径，m;P.为外边界压力，MPa; P:=P TZ P.为内边界压力，MPa.m.为外边界拟压力，MPa2; 式中：T为标准状态下温度，K;Z为标准状态下气 m为内边界拟压力，MPa2. 体压缩因子p为标准状态态下气体密度，kg·m3: P为标准压强，MPa. 3 纳微米级孔隙气体流动模型验证及影响 将式(23)代入式(22)质量流量公式，则 因素分析 9=- P TZ 3.1实验分析 上述纳微米级孔隙气体流动模型是基于Bs- (24) 分离变量，积分得 kok-Karniadakis模型进行的改进，对此，开展纳微米 .-4g2.-p)小 级孔隙气体流动规律实验.选取我国南方海相露头 L PeTZ2 16Ko 区下志留统龙马溪组钻井取心样品，孔喉直径2~ (25) 40nm,钻成直径为2.5cm的岩心柱，进行室内微观 在标准状态下的体积流量 渗流实验.岩心基础数据如表3所示. _人A7[e+3u0p.-p)小 表3岩心基础数据表 9c uL PTZ 2 16Ko Table 3 Core parameters (26) 岩心编号长度/cm直径/cm渗透率10-20m2孔隙度1% 2.2.2平面径向流动流量方程 6.00 2.51 5.2 2.678 对于平面径向流动 2 6.01 2.50 8.6 2.112 A =2Trh (27) 6.00 2.50 20.1 5.026 将式(27)代入式(22)，并转化为柱坐标下的气体质 4 6.01 2.52 714.8 0.236 量流量为 6.00 2.50 1816.9 1.556 .合1+C学)贵n(28 16Ko p dr 图6为岩心渗流规律曲线.由图可以看出：流 将式(23)代入，则 体流动具有非达西渗流特征，对同一块岩心，随着压 力平方差的增加，纳微米孔隙中的流量增加：在相同 TZ 压力平方差下，随着渗透率增加，渗流流量增加，且 (29) 在10-”0~10-19m2范围内流量变化幅度不大，在

第 6 期 朱维耀等: 纳微米级孔隙气体流动数学模型及应用 横截面积为 A，同时假设气体黏度为 μ，沿 x 方向 流动． 图 5 平面单向流模型 Fig． 5 Schematic diagram of a planar unidirectional flow model 渗流速度 v = － K0 ( μ 1 + 3πa 16K0 μDK ) p ·dp dx ． ( 20) 体积流量 q = v·A = － K0 ( μ 1 + 3πa 16K0 μDK ) p ·dp dx ·A． ( 21) 质量流量 qm = － K0 ( μ 1 + 3πa 16K0 ·μDk ) p ·dp dx ·A·ρg， ( 22) ρg = TscZscρgsc psc ·p TZ． ( 23) 式中: Tsc为标准状态下温度，K; Zsc为标准状态下气 体压缩因子; ρgsc为标准状态态下气体密度，kg·m － 3 ; psc为标准压强，MPa． 将式( 23) 代入式( 22) 质量流量公式，则 qm = － K0 ( μ 1 + 3πa 16K0 ·μDK ) p ·dp dx ·A·TscZscρgsc psc ·p TZ． ( 24) 分离变量，积分得 qm = K0 μL ·A·TscZscρgsc psc [ TZ p 2 e － p 2 w 2 + 3πaμDK 16K0 ( pe － pw ] ) ． ( 25) 在标准状态下的体积流量 qsc = K0 μL ·A·TscZsc psc [ TZ p 2 e － p 2 w 2 + 3πaμDK 16K0 ( pe － pw ] ) ． ( 26) 2. 2. 2 平面径向流动流量方程 对于平面径向流动 A = 2πrh ( 27) 将式( 27) 代入式( 22) ，并转化为柱坐标下的气体质 量流量为 qm = K0 ( μ 1 + 3πa 16K0 ·μDK ) p ·dp dr ·2πrh·ρg ． ( 28) 将式( 23) 代入，则 qm = K0 ( μ 1 + 3πa 16K0 ·μDK ) p dp dr ·2πrh·TscZscρgsc psc ·p TZ． ( 29) 引入拟压力函数 m = 2 ∫ p p ( e 1 + 3πa 16K0 ·μDK ) p p μ( p) Z( p) dp，( 30) 可得 qm = πK0 hZscTscρgsc pscT r dm dr ． ( 31) 分离变量后进行积分，得出气体的质量流量表达 式，即 qm = πK0 hZscTscρgsc ( me － mw ) pscTln re rw ． ( 32) 整理可得气体的体积流量为 qsc = 2πK0 hZscTsc pscT μZln re r [ w p 2 e － p 2 w 2 + 3πaμDK 16K0 ( pe － pw ) ] ( 33) 式中: K0为多孔介质渗透率，m2 ; h 为多孔介质厚度， m; DK为克努森扩散系数，m2 ·s － 1 ; re为供给半径，m; rw为介质中心气井半径，m; pe为外边界压力，MPa; pw为内边界压力，MPa． me为外边界拟压力，MPa 2 ; mw为内边界拟压力，MPa 2 ． 3 纳微米级孔隙气体流动模型验证及影响 因素分析 3. 1 实验分析 上述纳微米级孔隙气体流动模型是基于 Bes￾kok--Karniadakis 模型进行的改进，对此，开展纳微米 级孔隙气体流动规律实验． 选取我国南方海相露头 区下志留统龙马溪组钻井取心样品，孔喉直径 2 ～ 40 nm，钻成直径为 2. 5 cm 的岩心柱，进行室内微观 渗流实验． 岩心基础数据如表 3 所示． 表 3 岩心基础数据表 Table 3 Core parameters 岩心编号 长度/cm 直径/cm 渗透率/10 － 20 m2 孔隙度/% 1 6. 00 2. 51 5. 2 2. 678 2 6. 01 2. 50 8. 6 2. 112 3 6. 00 2. 50 20. 1 5. 026 4 6. 01 2. 52 714. 8 0. 236 5 6. 00 2. 50 1816. 9 1. 556 图 6 为岩心渗流规律曲线． 由图可以看出: 流 体流动具有非达西渗流特征，对同一块岩心，随着压 力平方差的增加，纳微米孔隙中的流量增加; 在相同 压力平方差下，随着渗透率增加，渗流流量增加，且 在 10 － 20 ～ 10 － 19 m2 范围内流量变化幅度不大，在 ·713·