西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（重点难点与例题解析）第五章 线性系统的频域分析法

A(SI(T s-Dc G(S)H(S) s"B(sII(T,s-1[I(2s-254T, s+1) 式中D≥0,τ≥0;当U=0时,K>1。 判据如下:当m1为奇数时系统不稳定,当m为零或偶数时闭环系统稳定的充 要条件是穿越0dB线频率O。所对应的开环对数相频特性大于180m1+2m2-1); 系统的相位裕量为y=180°(-m1-2m2+1)+(o。),幅值裕量为 hx=-20lgG(og)H(ox)其中,(o)为开环相频特性;o。为相频特性与 180°(m1+2m2-1)线的交点 7.尼柯尔斯曲线 若将开环频率特性表示G(jO)=A(o)emo) 闭环频率特性表示为 (o)=M(o)e ja() 则按下式 cos± vcos+M 201g A(@)=201g 做等M曲线 按下式 201g A(o)=201g sin[p(o)-ao)] ind(o) 做等a曲线 带宽频率和带宽 20lg|Φ(o)k20lg|Φ(0) 对于I型及I型以上的系统 0>0 则Ob称为带宽频率 9.谐振峰值及频率 若 (o)<Mma(o) 则M=M@o,)称谐振峰值,O,称为峰值频率 相位裕量γ,截止频率,与M,σ%及1,的关系为

·155·                 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 ( ) ( 1) ( 2 1) ( ) ( 1) ( 2 1) ( ) ( ) n p n q p q q q m i m l i l l l s s B s T s T s T s Ke A s T s T s T s G s H s     式中  ≥0， ≥0；当 =0 时， K  1。 判据如下：当 m1为奇数时系统不稳定，当 m1为零或偶数时闭环系统稳定的充 要条件是穿越 0dB 线频率 c 所对应的开环对数相频特性大于180 ( 2 1)  m1  m2  ； 系 统 的 相 位 裕 量 为 180 ( 2 1) ( ) m1 m2  c        ， 幅 值 裕 量 为 20lg | ( ) ( ) | g g g h   G j H j 。其中，() 为开环相频特性； g 为相频特性与 180 ( 2 1)  m1  m2  线的交点。 7. 尼柯尔斯曲线 若将开环频率特性表示 ( ) ( ) ( )     j G j  A e 闭环频率特性表示为 ( ) ( ) ( )    ja  j  M e 则按下式 1 cos cos 1 20lg ( ) 20lg 2 2 2        M M A    做等 M 曲线。 按下式 sin ( ) sin[ ( ) ( )] 20lg ( ) 20lg      a a A   做等 曲线。 8. 带宽频率和带宽 20lg | ( ) | 20lg | ( 0) | 3 ( ) b  j   j    对于 I 型及 I 型以上的系统 20lg | ( ) | 3 ( ) b  j      则b 称为带宽频率。 9. 谐振峰值及频率 若 ( ) ( ) M  r  M max  则 ( ) M r  M r 称谐振峰值， r 称为峰值频率。 相位裕量 ，截止频率 c 与 M r , % 及 s t 的关系为

=0.16+0.4、1 1(35°≤y≤90°) sin t=K丌/ 式中 K=2+1 (35°≤y≤90 siny siny 10.在动态误差系数确定中的应用 若系统误差传递函数为 式中Φ(s)的极点均在s左半平面。 系统单位阶跃输入作用下的动态误差可写成 1(Φ(s) d,(S) SO 将 看作输入的拉氏变换,将 看作专递函数,求相应的正弦响应便 可得到动态误差。 基本要求 (1)运用频率特性分析系统的稳态响应。 (2)确定系统的动态误差系数 (3)做 Nyquist曲线图,Bode图 (4)稳定性判据 (5)相位裕量、幅值裕量的计算。 (6)闭环频率特性的基本知识和有关指标 (7)系统指标的近似估算 (8)用实验数据确定传递函数,由Bode图得到系统的传递函数。 三、重点与难点

·156· sin 1  M r s 1 (35 90 ) sin 1 0.16 0.4                 s K c t   / 式中 1 (35 90 ) sin 1 1 2.5 sin 1 2 1.5 2                         K 10. 在动态误差系数确定中的应用 若系统误差传递函数为 2 2 ( ) ( ) l el e s s s     式中 (s) el 的极点均在 s 左半平面。 系统单位阶跃输入作用下的动态误差可写成                 2 2 1 ( ) ( ) l l l el e s s s s s    将 2 2 l l s    看作输入的拉氏变换，将 l el s s   ( ) 看作专递函数，求相应的正弦响应便 可得到动态误差。 二、基本要求 （1）运用频率特性分析系统的稳态响应。 （2）确定系统的动态误差系数。 （3）做 Nyquist 曲线图，Bode 图。 （4）稳定性判据。 （5）相位裕量、幅值裕量的计算。 （6）闭环频率特性的基本知识和有关指标。 （7）系统指标的近似估算。 （8）用实验数据确定传递函数，由 Bode 图得到系统的传递函数。 三、重点与难点

重点 (1)开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图) (2)奈奎斯特稳定判据 (3)开环频率特性指标; (4)闭环频率特性指标。 2.难点 (1)非最小相位系统相频特性; (2)奈奎斯特路径有变化时奈奎斯特稳定判据的应用 (3)截止频率的计算 O2的确定对于计算系统的相位裕量至关重要,是本章计算内容的重点和难点。O的 计算可按以下步骤进行。 ①按分段描述方法,写出对数幅频特性曲线的渐近线方程表达式 201g4() o≤<1 20lgA(o)1≤0<O2 L(O)= 20lgAm(O)n-2≤O<On 201g A(o) ②按顺序求A()=1之解o,考查O1≤O<O,成立与否;若成立,则O4=O’, 停止计算;若O-1≤O<O1不成立,则令i=i+1,重新解A1(o)=1 (4)幅值裕量的计算 幅值裕量计算之难点在于的计算。ω涉及了三角方程,求解比较困难,有时只 能采用迭代计算。即先做出相频特性的渐近线,然后再估计迭代初值的区间

·157· 1. 重点 （1）开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)； （2）奈奎斯特稳定判据； （3）开环频率特性指标； （4）闭环频率特性指标。 2. 难点 （1）非最小相位系统相频特性； （2）奈奎斯特路径有变化时奈奎斯特稳定判据的应用； （3）截止频率 c 的计算  c 的确定对于计算系统的相位裕量至关重要，是本章计算内容的重点和难点。 c 的 计算可按以下步骤进行。 ① 按分段描述方法，写出对数幅频特性曲线的渐近线方程表达式。                m m m m m A A A A L                 20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 0 1   ② 按顺序求 ()  1 Ai 之解 *  ，考查i1    i 成立与否；若成立，则 *  c   ， 停止计算；若i1    i 不成立，则令i  i 1，重新解 ()  1 Ai 。 （4）幅值裕量的计算 幅值裕量计算之难点在于 g 的计算。 g 涉及了三角方程，求解比较困难，有时只 能采用迭代计算。即先做出相频特性的渐近线，然后再估计迭代初值的区间

◆例题解析 例5-1已知单位反馈控制系统的开环传递函数Gk(s) s(s+3)(S+5) (1)用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件 (2)用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部,且实部的绝对值都大于 1的条件 (3)用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部且全部复极点的阻尼系数 都大于-的条件 2 解:(1)此题是Ⅰ型系统,取奈奎斯特路径如图5-1所示,即奈奎斯特路径选取了 由以下各段组成的s平面上的封闭曲线: ①正虚轴:s=jo,频率o从0变化到∞ ②半径为无穷大的右半圆:s=Re,R→∞红变化到一x ③负虚轴:s=jo,频率ω从-∞变化到0; ④半径为无穷小的右半圆:s=Ref",R→0由一2变化到x 先求与路径①对应的奈奎斯特图,将S=j0代入Gk(s) K G o jo(+3)(jo+5) A(@) arctan p(0) qp(∞)=-270° P()= (9+o2)(25+o2) Oo) (a2-15)K o(9+02)25+02) 图5-1 求与实轴的交点,令Q(O)=0,解得a2=15,0=±√15≈±387

·158· 图 5-1 例题解析 例 5-1 已知单位反馈控制系统的开环传递函数 ( 3)( 5) ( )    s s s K G s k （1）用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件； （2）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于 s 左半部，且实部的绝对值都大于 1 的条件； （3）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于 s 左半部且全部复极点的阻尼系数 都大于 2 2 的条件。 解：（1）此题是Ⅰ型系统，取奈奎斯特路径如图 5-1 所示，即奈奎斯特路径选取了 由以下各段组成的 s 平面上的封闭曲线： ① 正虚轴：s＝jω，频率ω从 0＋变化到∞； ② 半径为无穷大的右半圆： ; 2 2 Re , ,    s  j R   由 变化到－ ③ 负虚轴：s＝jω，频率ω从－∞变化到 0－； ④ 半径为无穷小的右半圆： 由－ 变化到 ； 2 2 R e , 0,           s R j 先求与路径①对应的奈奎斯特图，将 s  j 代入G (s) k 求与实轴的交点，令Q()  0, 解得 15, 15 3.87 2        (9 )(25 ) ( 15) ( ) (9 )(25 ) 8 ( ) (0) 90 ; ( ) 270 5 arctan 3 ( ) 90 arctan 9 25 ( ) ( 3)( 5) ( ) 2 2 2 2 2 2 2                                              K Q K P K A j j j K G j k   

8K K P(√l5) 15)(25+1 与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小。角度从-2700逆时针转到2700的圆弧 由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特曲稳定判据应用到闭环系统判稳无关,所以图中略去。 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。 与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大,角度从90顺时针转到-90°的圆弧。 画出奈奎斯特图如5-2所示。要使闭环系统稳定,要求0> K >-1,即当 0<K<120时闭环系统稳定 =+0 K/120o=+∞ =0+ 图5-2 (2)此时,取奈奎斯特路径如图5-3所示,即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成 的s平面上的封闭曲线: ①平行于正虚轴直线:s=j-1,频率由0变化到x; ②半径为无穷大的右半圆:s=Re,R→o,z变化到-z 2 ③平行于正虚轴直线:S=j-1,频率O由-变化到0 先求与路径①对应的奈奎斯特图 K 将S=J0-1代入 G(s)= s(S+3)(S+5) 得 K G(-1)=Gk*(jo)= (o-1)(o+2)(jo+4 注意此时的G*(m)已不是I型系统形式,而是非最小相位传递函数

·159· (9 15)(25 15) 120 8 ( 15) K K P       与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小。角度从－270 o逆时针转到 270 o的圆弧， 由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特曲稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。 与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从 90 o顺时针转到－90 o的圆弧。 画出奈奎斯特图如 5-2 所示。要使闭环系统稳定，要求 1 120 0     K ，即当 0  K  120时闭环系统稳定。 图 5-2 图 5-3 （2）此时，取奈奎斯特路径如图 5-3 所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成 的 s 平面上的封闭曲线： 1 平行于正虚轴直线： s  j 1，频率 由 0 变化到∞； 2 半径为无穷大的右半圆： 2 2 Re , ,    s  j R   由 变化到－ ； 3 平行于正虚轴直线： s  j 1，频率 由-∞变化到 0； 先求与路径 ①对应的奈奎斯特图 将 s  j 1代入 ( 3)( 5) ( )    s s s K G s k 得 ( 1)( 2)( 4) ( 1) * ( )            j j j K G j G j k k 注意此时的G * ( j) k 已不是Ⅰ型系统形式，而是非最小相位传递函数