七章相似标准型 这一节,我们将证明λ-矩阵的法式是唯一的,并给出计算法式的别一 个途径。 定义(行列式因子) 设A(A)是一个n阶A-矩阵,1≤k≤Ⅱ,则A(A)的所有k阶子式的 最大公因式称为A(4)的k阶行列式因子,记首一的k阶行列式因子 为Dk(A)。若所有的k阶子式均为零,则约定k阶行列式因 子Dk(λ)为零。 命题 对任一n阶A-矩阵A(A),必 有D1(A)|D2(A)|…|Dn1-1(A)Dn(A)。 下面我们将通过说明行列式因子在初等变换下是不变的来说明λ-矩阵 的法式是唯一的。 相抵的λ-矩阵有相同的行列式因子
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔÙqIO. ØCÏf ù!§·òy² λ-Ý {ª´§¿ÑO{ªO å»" ½Â (1ªÏf) A(λ) ´ n λ-Ý §1 ≤ k ≤ n§K A (λ) ¤k k fª úϪ¡ A (λ) k 1ªÏf§PÄ k 1ªÏf Dk (λ)"e¤k k fªþ"§K½ k 1ªÏ f Dk (λ) "" ·K é? n λ-Ý A (λ)§7 k D1 (λ) | D2 (λ) | · · · | Dn−1 (λ) | Dn (λ)" e¡·òÏL`²1ªÏf3Ð Ce´ØC5`² λ-Ý {ª´" ·K - λ-Ý kÓ1ªÏf"
七章相似标准型 定理 设A(A)为n阶A-矩阵,若A(A)的法式 d2(A) 为 dr(a) 则必有 d1(A) D1(A),d(4)=D2(A)/D1(A) dr(A)=D(A)/D-1(A),D+1(4)=…=Dn(A)=0 因此A(A)的法式是唯一的。 定义 n阶A-矩阵A(A)的法式中的d1(A),d2(A),…,d(A)称 为A(A)的不变因子组
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔÙqIO. ØCÏf ½n A (λ) n λ-Ý §e A (λ) {ª d1(λ) d2(λ) . . . dr(λ) 0 . . . 0 §K7k d1 (λ) = D1 (λ) §d2 (λ) = D2 (λ) /D1 (λ) § · · · § dr (λ) = Dr (λ) /Dr−1 (λ) §Dr+1 (λ) = · · · = Dn (λ) = 0¶ Ïd A (λ) {ª´" ½Â n λ-Ý A (λ) {ª¥ d1 (λ), d2 (λ), . . . , dr (λ) ¡ A (λ) ØCÏf|"