七章相似标准型 两个矩阵多项式有时也可以进行类似于数字矩阵的带余除法,但条件 是作为“除数”的矩阵多项式的“首项”矩阵是可逆矩阵 引理 设A(A)和B(4)都是n阶A-方阵, 且B(A)=ABm+Am-1Bm-1+…+AB1+B0的表达式中的Bm是 可逆阵,则必存在唯一的λ矩阵Q(λ)和R(A),使得 A()=B()Q()+R() 其中矩阵R(Aλ)的每一项的次数均小于 同时也存在唯一的λ矩阵Q()和R(A),使得 A()=Q(B()+R(), 其中矩阵R(A)的每一项的次数均小于m
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔÙqIO. õªÝ üÝ õªk±?1aquêiÝ {Ø{§^ ´“Øê”Ý õª“Ä”Ý ´_Ý " Ún A (λ) Ú B (λ) Ñ´ n λ- § B (λ) = λ mBm + λ m−1Bm−1 + · · · + λB1 + B0 Lª¥ Bm ´ _ §K73 λ-Ý Q (λ) Ú R (λ)§¦ A (λ) = B (λ) Q (λ) + R (λ) § Ù¥Ý R (λ) zgêþu m¶ Ó3 λ-Ý Q (λ) Ú R (λ)§¦ A (λ) = Q (λ)B (λ) + R (λ)§ Ù¥Ý R (λ) zgêþu m"
七章相似标准型 引理 设A、B为K上n阶方阵,若存在n阶方阵P、Q,满足 AIn-A= P(In-B)Q 则A和B相似 有了以上的准备工作,我们就得到了这一节最重要定理。这个定理也 是以λ-矩阵方法推导出 Jordan标准型理论的重要依据。 定理(数域K上矩阵相似与其A-矩阵相抵的关系) 设A、B是数域K上的n阶方阵,则A、B相似的充分必要条件是相 应的λ-矩阵An2-A与An-B相抵(作为λ-矩阵)。 下面一个结论的证明留在以后,这里先叙述结论。 推论 设数域KCL,并且A、B均为K上的同阶方阵,若A、B在数 域L中相似,则必在数域K中相似
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔÙqIO. õªÝ Ún A!B K þ n §e3 n P!Q§÷v λIn − A = P(λIn − B)Q§ K A Ú B q" k ±þOó§·Ò ù!½n"ù½n ´± λ-Ý {íÑ Jordan IO.nØâ" ½n (ê K þÝ qÙ λ-Ý -'X) A!B ´ê K þ n §K A!B q¿©7^´ A λ-Ý λIn − A λIn − B -£ λ-Ý ¤" e¡(Øy²33±§ùpkQã(Ø" íØ ê K ⊆ L§¿ A!B þ K þÓ §e A!B 3ê L ¥q§K73ê K ¥q"
对于K上的矩阵,我们知道相抵的矩阵中有一个标准型 于入矩阵来说,因为并不是所有的非零多项式在K闪小]中可逆,所以 其标准型略微有些区别。这一节,我们导出λ-矩阵的相抵标准型,并 在下一节中证明该标准型是唯一的。 引理 设A(A)=(a(A)mn是一个非零入矩阵中,则A(A)必相抵于 个A矩阵B(4)=(b(A)mxn,其中bn(A)整除B(A)中的每一项。 证明: 对k=min{dega(A)|(4)≠0i=1,…,m=1,…,n}归纳。 这个引理可导出λ-矩阵的相抵标准型
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔÙqIO. Ý {ª éu K þÝ §·-Ý ¥kIO. Ir 0 0 0 §é u λ-Ý 5`§Ï¿Ø´¤k"õª3 K [λ] ¥_§¤± ÙIO.Ñk «O"ù!§·Ñ λ-Ý -IO.§¿ 3e!¥y²TIO.´" Ún A(λ) = aij (λ) m×n ´" λ-Ý ¥§K A(λ) 7-u λ-Ý B(λ) = bij (λ) m×n§Ù¥ b11 (λ) Ø B (λ) ¥z" y²µ é k = min deg aij (λ) | aij (λ) 6= 0, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n 8B" ùÚnÑ λ-Ý -IO.µ
定理(A-矩阵的相抵标准型定理) 任一λ-矩阵A(λ)mxn都相抵于如下形式的矩阵 d1(A) d2(A) dr() 其中r≤min{m,n},d(A)(i=1,2,…,r)都是首一多项式,且有 d1(A)|l+1(4),(i=1,2,…,r-1) 上面定理中的标准型称为矩阵A()的法式。如果A()是n阶可逆λ-矩 车,仍有上述的标准型成立。这时,按初等变换矩阵的行列式性质,知 有A(=cT=141()×0ד×0,共中c为非零数,而1A(A川为一个 一r个 非零数,于是得到r=n且d1(A)=1
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔÙqIO. Ý {ª ½n (λ-Ý -IO.½n) ? λ− Ý A(λ)m×n Ñ-uXe/ªÝ d1(λ) d2(λ) . . . dr(λ) 0 . . . 0 § Ù¥ r ≤ min {m, n}§di (λ) (i = 1, 2, · · · ,r) Ñ´Äõª§ k di(λ)|di+1(λ)§ (i = 1, 2, · · · ,r − 1)" þ¡½n¥IO.¡Ý A(λ) {ª" XJ A (λ) ´ n _λ-Ý §EkþãIO.¤á"ù§UÐ CÝ 1ª5§ k |A (λ)| = c ∏ r i=1 di (λ) × 0 × · · · × 0 | {z } n−r §Ù¥ c "ê§ |A (λ)| "ê§u´ r = n di (λ) = 1"
命题 ◎可逆的λ-矩阵必是初等矩阵的积 Q若A为n阶数字矩降,则|Mn-A=I11d1(A),其 中d1(A)|a2(A)|……|dn1(A)是AIn-A的法式中的对角元。 下面我们给个具体的例子 求矩阵A3-A的法式,这里A= 269 16 0 1A+24→0(A+6)(A-1)4A-4 -6λ-9 0 0(A-1)(A+6)4A-400x2-3M+2
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔÙqIO. Ý {ª ·K 1 _ λ-Ý 7´Ð Ý È¶ 2 e A n êiÝ §K |λIn − A| = ∏ n i=1 di (λ)§Ù ¥ d1(λ) | d2(λ) | · · · | dn (λ) ´ λIn − A {ª¥é" e¡·äN~f" ~ ¦Ý λI3 − A {ª§ùp A = −3 12 16 1 −2 −4 −2 6 9 " λI3 − A = λ + 3 −12 −16 −1 λ + 2 4 2 −6 λ − 9 ⇒ 1 0 0 0 (λ + 6) (λ − 1) 4λ − 4 0 2λ − 2 λ − 1 ⇒ 1 0 0 0 2λ − 2 λ − 1 0 (λ − 1) (λ + 6) 4λ − 4 ⇒ 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 λ 2 − 3λ + 2