83.1.表示力学量的算符 12/99回 式(31-8)中的φ=ψ,有 y'yldx =d'/y'ydx 即A为实数 由式(3.1-8)可直接验证坐标算符和动量算符都是厄密算符 roar (ry)"odx vddx=-i/。dx o ax ihy + ii y Or odx Dxy)φdx ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 12/99 ª(3.1-8)¥ φ = ψ§k λ Z ψ ∗ψdx = λ ∗ Z ψ ∗ψdx. = λ ¢ê© dª(3.1-8)yIÎÚÄþÎѴΩ Z ∞ −∞ ψ ∗ xφdx = Z ∞ −∞ (xψ) ∗ φdx, Z ∞ −∞ ψ ∗ pˆxφdx = −i~ Z ∞ −∞ ψ ∗ ∂ ∂x φdx = −i~ψ ∗φ ∞ −∞ + i~ Z ∞ −∞ ∂ψ∗ ∂x φdx = Z ∞ −∞ (pˆxψ) φdx.
3.2.动量算符和角动量算符 13/996 832动量算符和角动量算符 下面具体讨论动量算符和角动量算符的本征值方程 321动量算符 1.本征值本征函数归一化 动量算符的本征值方程为 ivp(力=p(方, (3.2-1) 式中为动量算符的本征值,(是属于该本征值的本征函数 式(3.2-1)的分量式为 ih p(7)=pxP(r) 一=D( 3.2-2) iav(内=P2( ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ÄþÎÚÄþÎ 13/99 §3.2 ÄþÎÚÄþÎ e¡äN?ØÄþÎÚÄþÎ §© 3.2.1 ÄþÎ 1. ¼ê 8z ÄþÎ § − i~∇ψp(~r) = ~pψp(~r), (3.2-1) ª¥ ~p ÄþÎ §ψp(~r) ´áuT ¼ê© ª(3.2-1)©þª −i~ ∂ ∂x ψp(~r) = pxψp(~r), −i~ ∂ ∂y ψp(~r) = pyψp(~r), −i~ ∂ ∂z ψp(~r) = pzψp(~r). (3.2-2)
3.2.动量算符和角动量算符 14/99回 其解为 (力=Cexp(·), 3.2-3) 式中C为归一化常数,可确定如下 V,(pp(dr =C exp :(px-pr)r +(py -Pv)y+(p2-P2)z dxdydz 因 exp(:(pr -Pr)x dx 2xhS(Px-Pr) 所以 W(p(dr=C2(2xh)6(px-p)6(py-py)6(p2-p2) ≡C2(2mh)6(-p3) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ÄþÎÚÄþÎ 14/99 Ù) ψp(~r) = C exp i ~ ~p · ~r , (3.2-3) ª¥ C 8z~ê§(½Xe Z ∞ ψ ∗ p 0(~r)ψp(~r)dτ = C 2 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ exp i ~ (px − p 0 x )x +(py − p 0 y )y + (pz − p 0 z )z dxdydz. Ï Z ∞ −∞ exp i ~ (px − p 0 x )x dx = 2π~δ(px − p 0 x ), ¤± Z ∞ ψ ∗ p 0(~r)ψp(~r)dτ = C 2 (2π~) 3 δ(px − p 0 x )δ(py − p 0 y )δ(pz − p 0 z ) ≡ C 2 (2π~) 3 δ(~p − p ~0 ).
3.2.动量算符和角动量算符 15/99回 归一化常数C、波函数和归一化条件分别为 C=(2Th) vp(力= ( 2h)3/2 exp h 3.2-4) pp ()wp(dT=5(B-p') (3.2-5) 少n(归一化为δ函数而非1,是因为ψ(内所属的本征值萨可取 任意值,动量的本征值构成连续谱的缘故 2.箱归一化分立谱 设想体系被限制在边长为L的正方形箱中,并要求波函数满足周 期性边界条件一波函数在两个相对箱壁的对应点相同(与两端固定的 弦振动类比).下面将看到这样的边界条件使得动量的本征值由连续 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ÄþÎÚÄþÎ 15/99 8z~ê C!żêÚ8z^©O C = (2π~) −3/2 , ψp(~r) = 1 (2π~) 3/2 exp i ~ ~p · ~r . (3.2-4) Z ∞ ψ ∗ p 0(~r)ψp(~r)dτ = δ(~p − p ~0 ). (3.2-5) ψp(~r) 8z δ ¼ê 1§´Ï ψp(~r) ¤á ~p ?¿§Äþ ¤ëYÌ© 2. 8z ©áÌ . . N. X. . . . 3. >. . . L . . . /. . ¥. §¿. . ¦. Å. ¼. ê. ÷. v. ±. Ï. 5. >. .. ^. . —Å. ¼. ê. 3. ü. . . é. . 9. . é. A. :. . Ó. £üའuÄa'¤©e¡òwù>.^¦Äþ dëY
83.2.动量算符和角动量算符 1699國 谱变为分立谱.如以箱中心为坐标原点,则周期性边界条件意味着 PrL+ pyy +p2z =Cexp:(5PL+Pyy+Pzz,(x,y,z)e C exp h( Px,-apyL+ Pzz =C exp 方(Dx+L+P2x),(x,,z)∈(x,±,L,z Cexp Pxx+Pyy-SP2L C exp-(px+py+p2L),(x,y,z)∈(x,y±L ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ÄþÎÚÄþÎ 16/99 ÌC©áÌ©X±¥%I:§K±Ï5>.^¿X C exp i ~ − 1 2 pxL + py y + pzz = C exp i ~ 1 2 pxL + py y + pzz , (x, y, z) ∈ ± 1 2 L, y, z ; C exp i ~ pxx, − 1 2 pyL + pzz = C exp i ~ pxx + 1 2 pyL + pzz , (x, y, z) ∈ x, ± 1 2 L, z ; C exp i ~ pxx + py y − 1 2 pzL = C exp i ~ pxx + py y + 1 2 pzL , (x, y, z) ∈ x, y ± 1 2 L