83.1.表示力学量的算符 7/99圆6 2.逆算符 逆算符:设Au=p,存在算符B使B=u,则称:A,B互为逆算 符:B=A-1,A=B 3.13力学量用算符表示 在坐标表象下,前面我门已经引入如下算符: B=-inv, (3.1-3) (3.1-4) U(内=U(, V2+U(力 (3.1-5) E=ii at ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 7/99 2. _Î _εAuˆ = v§3ÎBˆ¦Bvˆ = u§K¡µAˆ§Bˆp_ εBˆ = Aˆ−1 , Aˆ = Bˆ −1 ¶ 3.1.3 åÆþ^ÎL« 3ILe§c¡·®²Ú\Xeε ˆ~p = −i~∇, (3.1-3) ˆ~r = ~r, (3.1-4) Uˆ (~r) = U(~r), cP2 = −~ 2∇ 2 , Hˆ = − ~ 2 2µ ∇ 2 + U(~r), (3.1-5) Eˆ = i~ ∂ ∂t .
83.1.表示力学量的算符 8/99 可见,动能、势能和哈密顿量的算符可用r,p表示.可进一步推广到 任意一个有经典对应的力学量或无经典对应的力学量(如:自旋) 由此可得,力学量的经典表示式与量子力学的算符表示间的代换 规则 1.有经典对应的力学量 有经典对应的力学量:F(,保持经典函数关系式不变,但将坐 标产和动量分别用相应算符代替,即 FG力=F(-iV) (3.1-6) 力学量平均值: yF(r,-iV)dT=(,砂)=《F ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 8/99 §ÄU!³UÚMîþÎ^br, bpL«©?Úí2 ?¿k²;éAåÆþ½Ã²;éAåÆþ£Xµg^¤" dd§åÆþ²;L«ªþfåÆÎL«m 5Kµ 1. k²;éAåÆþ k. ². ;. é. A. . å. Æ. þ. µF(~r, ~p) . ±. ². ;. ¼. ê. '. X. ª. Ø. C. §. ò. . I. ~r Ú. Ä. þ. ~p ©. O. ^. . A. . Î. . O. §=. Fb( ˆ~r, ˆ~p) = Fb(~r, −i~∇b). (3.1-6) åÆþ²þµ F = Z ψ ∗F (r, −i~∇) ψdτ = ψ, Fbψ = hψ| Fb |ψi
83.1.表示力学量的算符 9/99 mym, ∑Fenn)=∑cicm(mp=∑| 角动量的算符表示:在力学中,动量为成对点O的位置矢量为 产的质点对参考点O的角动量为 产×成 所以,量子力学中角动量算符为 L=产x=-i产V. (3.1-7) 在直角坐标系中 x=yPz-2Py =i (是 L、=Dx-x2≈h(z3-x32 z =rpy-yPx y ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 9/99 = X m cmφm, X n Fc b nφn ! = X m,n c ∗ mcnλn (φm, φn) = X n |cn| 2 λn ÄþÎL«µ3åÆ¥§Äþ ~p!é: O ¥þ ~r :éë: O Äþ ~L = ~r × ~p. ¤±§þfåÆ¥ÄþÎ Lb = ˆ~r × ˆ~p = −i~~r × ∇. (3.1-7) 3IX¥µ Lbx = ybpz − zbpy = ~ i y ∂ ∂z − z ∂ ∂y Lby = zbpx − xbpz = ~ i z ∂ ∂x − x ∂ ∂z Lbz = xbpy − ybpx = ~ i x ∂ ∂y − y ∂ ∂x
83.1.表示力学量的算符 10/99 2.无经典对应的力学量 将在第七章中讨论 3.14算符与力学量的关系厄密算符 在§25中,我们已知,体系处于哈密顿算符H的本征态ψ时, 能量有确定的值,该值就是H在ψ态中的本征值.下节将看到,体 系处于动量算符庐的本征态时,动量有确定的值,该值就是在ψ 态中的本征值.把这些结论推广到一般算符,提出如下基本假设 1.算符与力学量的关系一量子力学的基本假设 如果算符F表示力学量F,那么当体系处于F的本征态ψ时, 力学量F有确定的值,这个值就是F在ψ态中的本征值 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 10/99 2. ò;éAåÆþ ò31ÔÙ¥?Ø© 3.1.4 ÎåÆþ'X Î 3 §2.5 ¥§·®§NX?uMîÎ Hb ψ § Uþk(½§TÒ´ Hb 3 ψ ¥ ©e!òw§N X?uÄþÎ ˆ~p §Äþk(½§TÒ´ ˆ~p 3 ψp ¥ ©rù (Øí2ΧJÑXeÄ b© 1. ÎåÆþ'X—þfåÆÄ b X. J. . Î. Fb L. «. å. Æ. þ. F§@. o. . N. X. ?. u. Fb . . . . ψ . § å. Æ. þ. F k. (. ½. . . §ù. . . Ò. ´. Fb 3. ψ . ¥. . . . . ©
83.1.表示力学量的算符 1199回6 2.本征值可观测量厄密算符 显然,任何力学量的(可观测)数值必为实数.既然表示力学量 的算符的本征值是该力学量的可能值,因此表示力学量的算符的本征 值必为实数.但是在数学上并非任何算符的本征值都是实数.那么, 具备什么条件的算符的本征值才是实数呢?这个条件就是 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符 厄密算符的定义: 如果对于任意两个函数ψ和φ,算符F满足 F=/()d (3.1-8) 则称F为厄密算符.式中x代表所有变量,积分范围是所有变量变化 的整个区域 证明:以是表示F的本征值,y表示本征函数,则P=№.取 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. L«åÆþÎ 11/99 2. *ÿþ Î w,§?ÛåÆþ£*ÿ¤ê7¢ê©Q,L«åÆþ Î ´TåÆþU§ÏdL«åÆþÎ 7¢ê©´3êÆþ¿?ÛÎ Ñ´¢ê©@o§ äo^Î â´¢êQºù^Ò´µ þ. f. å. Æ. ¥. L. «. å. Æ. þ. . . Î. Ñ. ´. . . . Î. © . . . Î. . ½. Â. µ X. J. é. u. ?. ¿. ü. . ¼. ê. ψ Ú. φ §. Î. Fb ÷. v. Z ψ ∗Fbφdx = Z Fbψ ∗ φdx, (3.1-8) K. ¡. Fb . . . . Î. ©ª. ¥. x . L. ¤. k. C. þ. §È. ©. . . ´. ¤. k. C. þ. C. z. . . . «. . © y²µ± λ L« Fb §ψ L« ¼ê§K Fbψ = λψ©