30数攀傅播21卷4期民86年12月但OR=C+B，故分可化為簡罩的曲線之線精分（例如圆周的線精分)，道就是数攀的精神——将-ydr+rdyd -ydr+rdyr2+y?JaBpr+y?復的周题化為簡罩的周题。-psin0)(-psin odo+(p cos e)(pcos odo)3：若C1,C2為任二不相交的分段平滑(pcos 0)?+(psin 0)2封阴曲線而且都原點(0,0)，则271d=2元d =yda+ rdy= d =yde + rdyJc2+y2Jc22+y?追除了同偷理之外，直接的意羲就是該分封於形變（deformation）是一不變量。另外我們可透極座標（po-larcoordinate）来看：今1：此精分值為2元表示曲線C窥了奇翼 = tan-1 y點（0,0）一圈，而稚分值等於0则是没c有窥到（0,0)，所封應的便是復變函则被精分函数（integrand）成篇数理的髋数（windingnumber），在de = =ydr + rdy流體力學则是環流（circulation)。r2 + y?2：證明的程中我發現沿著曲線C之因此追個線精分實上就是在測量沿著線分等於沿著圆周aB。之線精分，道曲線C（逆时針针方向）角度之化量，當裡面的数攀本實就是同偷理（homo-然若是髋了一圈则其化量篇2元，若topytheory)，因此Green定理可推广是顺时针方向了一圈则其變化量為到罩連通匾域（simplyconnectedre-2元，個概念就是前面所说的窥数gion)，而道正是復變函数研究的一重要主題，同时也明復雜的曲線之線稚(winding number)。ccc(0, 0)(0, 0)(0, 0)髋数=1髋数=0髋数=-1
30 數學傳播 21卷4期 民86年12月 但 ∂R′ = C + ∂Bρ, 故 I C −ydx+xdy x 2+y 2 = I ∂Bρ −ydx+xdy x 2+y 2 = Z 2π 0 (−ρ sin θ)(−ρ sin θdθ+(ρ cos θ)(ρ cos θdθ) (ρ cos θ) 2+(ρ sin θ) 2 = Z 2π 0 1 dθ = 2π 註1: 此處積分值為2π表示曲線C 繞了奇異 點 (0, 0) 一圈, 而積分值等於0則是沒 有繞到 (0, 0), 這所對應的便是複變函 數理論的繞數 (winding number), 在 流體力學則是環流 (circulation)。 註2: 證明的過程中我們發現沿著曲線 C 之 線積分等於沿著圓周 ∂Bρ 之線積分, 這 裡面的數學本質就是同倫理論 (homotopy theory), 因此 Green 定理可推廣 到單連通區域 (simply connected region), 而這正是複變函數論研究的一重 要主題, 同時也說明複雜的曲線之線積 分可化為簡單的曲線之線積分 (例如圓 周的線積分), 這就是數學的精神—–將 複雜的問題化為簡單的問題。 註3: 若 C1, C2 為任二條不相交的分段平滑 封閉曲線而且都繞過原點(0, 0), 則 I C1 −ydx + xdy x 2 + y 2 = I C2 −ydx + xdy x 2 + y 2 這除了同倫理論之外, 直接的意義就是 該線積分對於形變 (deformation) 是 一不變量。 另外我們可透過極座標 (polar coordinate) 來看; 令 θ = tan−1 y x 則被積分函數 (integrand) 成為 dθ = −ydx + xdy x 2 + y 2 因此這個線積分實際上就是在測量沿著 曲線C(逆時針方向) 角度之變化量, 當 然若是繞了一圈則其變化量為 2π, 若 是順時針方向繞了一圈則其變化量為 −2π, 這個概念就是前面所說的繞數 (winding number)。 繞數= 1 繞數= 0 繞數= −1
Green定理舆應用31物理的角度：P(r,y)dy-Q(r,y)dc(14)(dydr)Green定理也可透物理的角度来韶+F.vds,v=Cds.-dsJc識，令R為平面上的平滑曲線C所圖之罩連通匾域，設 C可表篇=r(t),y=y(t)之另一方面我看小矩形，由於由矩形左侧参数式，而向量垂直遵上的流速篇P(c,y),因此罩位时周内有P(r,y)△y的水流入，而同一時間则約有(11)F(r,y) = (P(r,y), Q(r,y))P(+r,y)y的水流出，所以沿r轴方表示流體的速度，我們想計算流體經邀界C向之罩位净流量之通量（flux）.仿照線精分将曲線C分篇若干小段而看其中一段.首先是分量通[P(r + △r, y) - P(r,y)]Ay△s；之通量（斜線部分之面）為ArAyr→0,得極限aP/or同理沿y轴之罩位净流量爲Q/oy因此罩位净流量篇P+而通整个匾域R之全部通量篇arQuA(P +0) drdy(15)JR（r+y）因為水是不可箱（假設的），同一時間的水量必须徙遗界C流出去（實量守伍），故P(a,y)△sicosa其中ai為朝外法向量v與轴之爽角再将各部份全部加起來利f P dy - Qdr用Riemann和知轴部分之分量篇(0P +) drdy_ P(r, y) cos(v, r) ds(12)(16)R(ar+ou）JC同理y轴之分量篇追再次説明Green定理之物理意為“守伍, Q(r,y) cos(v,y) ds律”。(13)因此全部之通量為1[P(c, y) cos(v, r)+Q(r, y) cos(v, y)]dsP(r,9) →4Ay+P(a+Ar,9)VArr+ArTf[P(g ) -(g, )ds
Green 定理與應用 31 物理的角度: Green 定理也可透過物理的角度來認 識, 令R為平面上的平滑曲線 C 所圍之單連 通區域, 設 C可表為x = x(t), y = y(t) 之 參數式, 而向量 F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) (11) 表示流體的速度, 我們想計算流體經過邊界C 之通量 (flux), 仿照線積分將曲線 C 分為 若干小段而看其中一段, 首先是 x 分量通過 △si 之通量 (斜線部分之面積) 為 Pi(x, y)△si cos αi 其中 αi 為朝外法向量 ν 與 x 軸之夾角, 再將各部份全部加起來並利 用 Riemann 和知 x 軸部分之分量為 I C P(x, y) cos(ν, x) ds (12) 同理y軸之分量為 I C Q(x, y) cos(ν, y) ds (13) 因此全部之通量為 I C [P(x, y) cos(ν, x)+Q(x, y) cos(ν, y)]ds = I C [P(x, y) dy ds −Q(x, y) dx ds ] ds = I C P(x, y) dy − Q(x, y) dx (14) = I C F · νds, ν = dy ds , − dx ds 另一方面我們看小矩形, 由於由這矩形左側 垂直邊上的流速為 P(x, y), 因此單位時間內 有 P(x, y)△y 的水流入, 而同一時間則約有 P(x + △x, y)△y 的水流出, 所以沿x 軸方 向之單位淨流量為 [P(x + ∆x, y) − P(x, y)]∆y ∆x∆y 令 ∆x → 0, 得極限 ∂P/∂x 同理沿 y 軸 之單位淨流量為 ∂Q/∂y 因此單位淨流量 為 ∂P ∂x + ∂Q ∂y 而 通過整個區域 R 之全部通量為 ZZ R ∂P ∂x + ∂Q ∂y dxdy (15) 因為水是不可壓縮 (假設的), 同一時間的水 量必須從邊界C 流出去 (質量守恆), 故 I C P dy − Qdx = ZZ R ∂P ∂x + ∂Q ∂y dxdy (16) 這再次說明 Green 定理之物理意義為 “守恆 律”。 P(x, y) → ∆y → P(x+∆x, y) x ∆x x+∆x .